2003年高考数学试题全国文及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（文史类）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

其中、分别表示

上、下底面周长，表示斜高或母线长.

球体的体积公式： ，其中R

表示球的半径.

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1．直线对称的直线方程为 （ ）

（A） （B） （C） （D）

2．已知，，则 （ ）

（A） （B） （C） （D）

3．抛物线的准线方程是的值为 （ ）

（A） （B） （C） （D）

4．等差数列中，已知为（ ）

（A）48 （B）49 （C）50 （D）51

5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（ ）

（A） （B） （C） （D）

6．设函数 ，若，则的取值范围是 （ ）

（A）（，1） （B）（，）

（C）（，）（0，） （D）（，）（1，）

7．已知（ ）

（A） （B） （C） （D）

8．函数（ ）

（A）0 （B） （C） （D）

9．已知（ ）

（A） （B） （C） （D）

10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）

（A） （B） （C） （D）

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角）若重合，则tg= （ ）

（A） （B） （C） （D）1

12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

（A） （B） （C） （D）

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上

13．不等式的解集是____________________.

14．的展开式中系数是 ________ .

15．在平面几何里，有勾股定理：“设”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则______________________________________________.”

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种_______________________（以数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱点中点

（Ⅰ）证明的公垂线

（Ⅱ）求点的距离

18．（本小题满分12分）

已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求.

19．（本小题满分12分）

已知数列满足

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明

20．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象

21．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

22．（本小题满分14分）

已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（文）参考解答及评分标准

说明：

一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13． 14． 15． 16．72

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，

∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=D1D

又EC=CC1，且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1

又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1

∵BD1面DBD1，

∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线

（II）解：连结ED1，有V

由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，

则S△DBC·d=S△DCD·EF.

∵AA1=2·AB=1.

故点D1到平面BDE的距离为.

18．解：设z=

由题设

即

（舍去） 即|z|=

19．（I）解∵

（II）证明：由已知

=

所以

20．解（I）

所以函数的最小正周期为π，最大值为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

故函数在区

间上的图象是

21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：t（h）台风中心的坐标为

此时台风侵袭的区域是，其中t+60，

若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

即

即， 解得.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）

设，

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.

直线OF的方程为：， ①

直线GE的方程为：.　　②

从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程，

整理得.

当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.

当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.

当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/01c7dc604b7302768e9951e79b89680203d86bcc.html