2017年普通高等学校招生全国统一考试（含答案）

2017年普通高等学校招生全国统一考试

(课标全国卷Ⅲ)

文　数

本卷满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共60分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

2.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图

根据该折线图,下列结论错误的是(　　)

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

4.已知sin α-cos α=,则sin 2α=(　　)

A.- B.- C. D.

5.设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是(　　)

A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3]

6.函数f(x)=sin+cos的最大值为(　　)

A. B.1 C. D.

7.函数y=1+x+的部分图象大致为(　　)

8.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(　　)

A.π B. C. D.

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(　　)

A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC

11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

12.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(　　)

A.- B. C. D.1

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=　　　　. 

14.双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=　　　　. 

15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　. 

16.设函数f(x)=则满足f(x)+f >1的x的取值范围是　　　　. 

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17.(12分)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列的前n项和.

18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.

19.(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.

(1)证明:AC⊥BD;

(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:

(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;

(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

21.(12分)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.

23.[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)

一、选择题

1.B　因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中元素的个数为2.

2.C　z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.

3.A　由题中折线图可知,每年的月接待游客量从8月份开始有下降趋势.故选A.

4.A　∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α==,∴sin 2α=-.

解后反思　涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α进行转换.

5.B　由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).

由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2,

故z=x-y的取值范围是[-3,2].故选B.

6.A　∵f(x)=sin+cos

=+cos x+sin x

=sin x+cos x

=×2sin

=sin,

∴f(x)的最大值为.

故选A.

一题多解　∵cos=cos

=sin =sin,

∴f(x)=sin,∴f(x)max=.故选A.

7.D　当x∈(0,1)时,sin x>0,

∴y=1+x+>1+x>1,排除A、C.

令f(x)=x+,则f(-x)=-x+=-f(x),

∴f(x)=x+是奇函数,

∴y=1+x+的图象关于点(0,1)对称,故排除B.

故选D.

解后反思　函数图象问题,一般从定义域、特殊点的函数值、单调性、奇偶性等方面入手进行分析.选择题通常采用排除法.

8.D　本题考查程序框图.

要求N的最小值,观察选项,发现其中最小的值为2,不妨将2代入检验.当输入的N为2时,第一次循环,S=100,M=-10,t=2;第二次循环,S=90,M=1,t=3,此时退出循环,输出S=90,符合题意,故选D.

9.B　设圆柱的底面圆半径为r,

由题意可得12+(2r)2=22,

解得r=.

∴圆柱的体积V=πr2×1=,故选B.

10.C　∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,且B1C∩A1B1=B1,∴BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,∴BC1⊥A1E.故选C.

11.A　由题意可得a=,故a2=3b2,

又b2=a2-c2,所以a2=3(a2-c2),所以=,

所以e==.

方法总结　求离心率问题的实质就是找出a、b、c之间的关系,再利用a2=b2+c2(椭圆)或c2=a2+b2(双曲线),转化为a、c间的关系.

12.C　由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,

即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,

令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=.

令h(t)=,易得h(t)为偶函数,

又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,

所以a==,故选C.

二、填空题

13.答案　2

解析　∵a⊥b,∴a·b=0,又a=(-2,3),b=(3,m),∴-6+3m=0,解得m=2.

14.答案　5

解析　由题意可得=,所以a=5.

15.答案　75°

解析　由正弦定理得=,

∴sin B=,

又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.

易错警示　本题求得sin B=后,要注意利用b

16.答案　

解析　当x≤0时,f(x)+f=x+1+x-+1>1,∴x>-,∴-

当0时,f(x)+f=2x+x-+1>1恒成立;

当x>时, f(x)+f=2x+>1恒成立.

综上,x的取值范围为.

三、解答题

17.解析　(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,

a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).

两式相减得(2n-1)an=2.

所以an=(n≥2).

又由题设可得a1=2,

从而{an}的通项公式为an=(n∈N*).

(2)记的前n项和为Sn.

由(1)知==-.

则Sn=-+-+…+-=.

思路分析　(1)条件a1+3a2+…+(2n-1)an=2n的实质就是数列{(2n-1)an}的前n项和,故可利用an与Sn的关系求解.(2)利用(1)求得的{an}的通项公式,然后用裂项相消法求和.

易错警示　(1)要注意n=1时,是否符合所求得的通项公式;(2)裂项相消后,注意留下了哪些项,避免遗漏.

18.解析　本题考查概率的计算

(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,

若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;

若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.

所以,Y的所有可能值为900,300,-100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

19.解析　(1)取AC的中点O,连接DO,BO.

因为AD=CD,所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.

(2)连接EO.

由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.

在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.

又AB=BD,所以

BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.

由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=AC.

又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.

故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.

20.解析　(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:

设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.

又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,所以不能出现AC⊥BC的情况.

(2)BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2.

由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.

联立

又+mx2-2=0,可得

所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.

故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

21.解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=+2ax+2a+1=.

若a≥0,则当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.

若a<0,则当x∈时, f '(x)>0;当x∈时, f '(x)<0,故f(x)在单调递增,在单调递减.

(2)由(1)知,当a<0时, f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.

所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln++1≤0.

设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1.

当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln++1≤0,即f(x)≤--2.

22.解析　(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).

设P(x,y),由题设得

消去k得x2-y2=4(y≠0).

所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).

联立

得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).

故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=,

代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.

23.解析　(1)f(x)=

当x<-1时, f(x)≥1无解;

当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,

解得1≤x≤2;

当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.

所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.

(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而

|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|

=-+≤,

且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.

故m的取值范围为.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/022d5bf1bbf3f90f76c66137ee06eff9aef84903.html