全国统一高考数学试卷（理科）（全国一卷）

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全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合, 则=

A． B． C． D．

2．设复数z满足, z在复平面内对应的点为(x, y), 则

A． B． C． D．

3．已知, 则

A． B． C． D．

4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm

5．函数f(x)=在的图像大致为

A． B．

C． D．

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A． B． C． D．

7．已知非零向量a, b满足, 且b, 则a与b的夹角为

A． B． C． D．

8．如图是求的程序框图, 图中空白框中应填入

A．A= B．A= C．A= D．A=

9．记为等差数列的前n项和．已知, 则

A． B． C． D．

10．已知椭圆C的焦点为, 过F2的直线与C交于A, B两点．若, , 则C的方程为

A． B． C． D．

11．关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增

③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上, PA=PB=PC, △ABC是边长为2的正三角形, E, F分别是PA, PB的中点, ∠CEF=90°, 则球O的体积为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。

13．曲线在点处的切线方程为____________．

14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若, 则S5=____________．

15．甲、乙两队进行篮球决赛, 采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时, 该队获胜, 决赛结束）．根据前期比赛成绩, 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6, 客场取胜的概率为0.5, 且各场比赛结果相互独立, 则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1, F2, 过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点．若, , 则C的离心率为____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题, 考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．(12分)

的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 设．

（1）求A；

（2）若, 求sinC．

18．（12分）

如图, 直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形, AA1=4, AB=2, ∠BAD=60°, E, M, N分别是BC, BB1, A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

19．（12分）

已知抛物线C：y2=3x的焦点为F, 斜率为的直线l与C的交点为A, B, 与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4, 求l的方程；

（2）若, 求|AB|．

20．（12分）

已知函数, 为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

21．（12分）

为了治疗某种疾病, 研制了甲、乙两种新药, 希望知道哪种新药更有效, 为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠, 随机选一只施以甲药, 另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后, 再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时, 就停止试验, 并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题, 约定：对于每轮试验, 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分, 乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分, 甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β, 一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分, 表示“甲药的累计得分为时, 最终认为甲药比乙药更有效”的概率, 则, , , 其中, , ．假设, ．

(i)证明：为等比数列；

(ii)求, 并根据的值解释这种试验方案的合理性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a, b, c为正数, 且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/02a67411b107e87101f69e3143323968011cf48d.html