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2021年河北省衡水中学中考招生数学模拟试卷(三)

发布时间：2021-04-18   来源：文档文库   
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2021 年河北省衡水中学中考招生数学模拟试卷（三）

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2 分）下列实数为无理数的是（ A．﹣5 C．0 ）
D．π
2．（2 分）如图，这是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（
）

A．
B． C． D．

3．（2 分）一元二次方程 2x2﹣x+1=0 根的情况是（ A．两个不相等的实数根 C．没有实数根
）
B．两个相等的实数根 D．无法判断
4．（2 分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近 10 次跳绳成绩，下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ A．平均数
B．中位数
C．众数
） D．方差
5．（2 分）如图，直线 l1∥l2，且分别与直线 l 交于 C，D 两点，把一块含 30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，则∠2 的度数为（
）

A．92° B．98° C．102° ）
D．108°
6．（2 分）下列运算正确的是（

1
A．7a﹣a=6 B．a2•a3=a5 C．（a3）3=a6 D．（ab）4=ab4 7．（2 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过 B，C 两点的⊙O 交 AC 于点 D， 交 AB 于点 E，连接 EO 并延长交⊙O 于点 F，连接 BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2 ，则 AE2+BE2 的值为（
）
A．8 B．12 C．16 D．20 8．（2 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm，动点 P 从点 A 出发，以 cm/s 的速度沿 AB 方向运动到点 B，动点 Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 AC→CB 方向运动到点 B．设△APQ 的面积为 y（cm2），运动时间为 x（s） ，则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是（

）


A．


B． C． D．

二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）因式分解：x3﹣4x= ．
10．（3 分）上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体框架内，设立 300 亿元人民币等值专项贷款，将 300 亿元用科学记数法表示为


元 ． 11．（2
3 分）如图，这是一幅长为 3m，宽为 2m 的长方形世界杯宣传画，为测

3
量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数 0.4 附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 m2．


12．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，已知△AOB 与△A1OB1 位似，位似中心为原点 O，且相似比为 3：2， 点 A，B 都在格点上，则点 B1 的坐标为 ．
13．（3 分）如图，直线 y1=﹣x+a 与 y2=bx﹣4 相交于点 P，已知点 P 的坐标为（1， ﹣3），则关于 x 的不等式﹣x+a＜bx﹣4 的解集是
．
14．（3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 OH，若 OB=4，S 菱形ABCD=24，则 OH 的长为
．
4

15．（3 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴上，顶点 B 在第一象限，AB=1，将线段 OA 饶点 O 按逆时针方向旋转 60°得到线段 OP，连接 AP， 反比例函数 （k≠0）的图象经过 P，B 两点，则 k 的值为 ．



16．（3 分）如图，射线 OM 在第一象限，且与 x 轴正半轴的夹角为 60°，过点 D （6，0）作 DA⊥OM 于点 A，作线段 OD 的垂直平分线 BE 交 x 轴于点 E，交 AD 于点 B，作射线 OB，以 AB 为边在△AOB 的外侧作正方形 ABCA1，延长 A1C 交射线 OB 于点 B1，以 A1B1 为边在△AOB 的外侧作正方形 A1B1C1A2，延长 A2C1 交射线 OB 于点 B2，以 A2B2 为边在△A2OB2 的外侧作正方形 A2B2C2A3…按此规律进行下去，则正方形 A2017B2017C2017A2018 的周长为 ．


三、综合题
17．（7 分）先化简，再求值）÷，其中 x=3．
18．（7 分）为了解同学们每月零花钱数额，校园小记者随机调查了本校部分学生，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：

5
请根据以上图表，解答下列问题：

零花钱数额 x/元
0≤x＜30 30≤x＜60 60≤x＜90 90≤x＜120 120≤x＜150 人数（频数）
6 12 16 b 2 人，a= 频率 0.15 0.30 0.40 0.10 a ．
（1）这次被调查的人数共有 （2）计算并补全频数分布直方图；
（3）请估计该校 1500 名学生中每月零花钱数额低于 90 元的人数．

四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8，共 16 分） 19．（8 分）动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有 4 张（小猪佩奇）角色卡片，分别是 A 佩奇，B 乔治，C 佩奇妈妈，D 佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到 A 佩奇的概率为 ．
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好姐姐抽到 A 佩奇，弟弟抽到 B 乔治的概率．
6

20．（8 分）为迎接“七•一”党的生日，某校准备组织师生共 310 人参加一次大型公益活动，租用 4 辆大客车和 6 辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多 15 个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了 40 人，学校决定调整租车方案， 在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？

五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）
21．（8 分）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 B 处的求救者后，又发现点 B 正上方点 C 处还有一名求救者，在消防车上点 A 处测得点 B 和点 C 的仰角分别为 45°和 65°，点 A 距地面 2.5 米，点 B 距地面 105.米，为救出点 C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 BC 约为多少米？
（结果保留整数，参考数据
≈1.4）
22．（8 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，O 是 AB
7
上一点，经过 A，E 两点的⊙O 交 AB 于点 D，连接 DE，作∠DEA 的平分线 EF 交⊙ O 于点 F，连接 AF．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线． （2）若 ，AF=5 ，求线段 AC 的长．
六 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 1 小 题 ， 共 10 分 ） 23．（10 分）某商场销售一种商品，进价为每个 20 元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于 60 元，经调查发现，每天的销售量 y（个）与每个商品的售价 x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的 售价 x（元） 每天的销售 量 y（个）
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为 w（元），求 w 与 x 之间的函数表达式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大， 最大利润是多少？

… 30 40 50 …
100 80 60 …

七、解答题（本大题共 2 小题，共 24 分）
24．（12 分）如图 1，以▱ABCD 的较短边 CD 为一边作菱形 CDEF，使点 F 落在边 AD 上，连接 BE，交 AF 于点 G．
（1）猜想 BG 与 EG 的数量关系，并说明理由；

8
（2）延长 DE、BA 交于点 H，其他条件不变： ①如图 2，若∠ADC=60°，的值；
的值（用含 α 的三角函数表示）
②如图 3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写25．（12 分）在平面直角坐标系中，直线 x﹣2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点C，二次函数 x2+bx+c 的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A，动点D 在直线 BC 下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式；
（2）如图 1，连接 DC，DB，设△BCD 的面积为 S，求 S 的最大值； （3）如图 2，过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，是否存在点 D，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的 2 倍？若存在，直接写出点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由．
9


2018 年辽宁省锦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析


一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2 分）下列实数为无理数的是（ A．﹣5 C．0 ）
D．π

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数， 而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：A、﹣5 是整数，是有理数，选项错误； B是分数，是有理数，选项错误； C、0 是整数，是有理数，选项错误； D、π 是无理数，选项正确； 故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数．

2．（2 分）如图，这是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（
）

A．
B． C． D．
10



【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可． 【解答】解：左视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 2，1． 故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．

3．（2 分）一元二次方程 2x2﹣x+1=0 根的情况是（ A．两个不相等的实数根 C．没有实数根
）
B．两个相等的实数根 D．无法判断


【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：△=（﹣1）2﹣4×2×1=﹣7＜0， 所以方程无实数根． 故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△ =b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．

4．（2 分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近 10 次跳绳成绩，下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ A．平均数
B．中位数
C．众数
） D．方差


【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差． 故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差

11
的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

5．（2 分）如图，直线 l1∥l2，且分别与直线 l 交于 C，D 两点，把一块含 30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，则∠2 的度数为（
）

A．92° B．98° C．102° D．108°


【分析】依据 l1∥l2，即可得到∠1=∠3=52°，再根据∠4=30°，即可得出从∠2=180°﹣ ∠3﹣∠4=98°．
【解答】解：如图，∵l1∥l2， ∴∠1=∠3=52°， 又∵∠4=30°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣∠4=180°﹣52°﹣30°=98°， 故选：B．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．

6．（2 分）下列运算正确的是（ A．7a﹣a=6 B．a2•a3=a5 ）
C．（a3）3=a6 D．（ab）4=ab4


【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一计算可得．
【解答】解：A、7a﹣a=6a，此选项错误；

12
B、a2•a3=a5，此选项正确； C 、（a3）3=a9，此选项错误； D 、（ab）4=a4b4，此选项错误； 故选：B．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方．

7．（2 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过 B，C 两点的⊙O 交 AC 于点 D， 交 AB 于点 E，连接 EO 并延长交⊙O 于点 F，连接 BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2 ，则 AE2+BE2 的值为（
）
A．8 B．12 C．16 D．20

【分析】由四边形 BCDE 内接于⊙O 知∠EFC=∠ABC=45°，据此得 AC=BC，由 EF 是⊙O 的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE，再根据四边形 BECF 是⊙ O 的内接四边形知∠AEC=∠BFC，从而证△ACE≌△BFC 得 AE=BF，根据 Rt△ECF 是等腰直角三角形知 EF2=16，继而可得答案．
【解答】解：∵四边形 BCDE 内接于⊙O，且∠EDC=135°， ∴∠EFC=∠ABC=180°﹣∠EDC=45°， ∵∠ACB=90°，
∴△ABC 是等腰三角形， ∴AC=BC，
又∵EF 是⊙O 的直径， ∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°， ∴∠BCF=∠ACE，
∵四边形 BECF 是⊙O 的内接四边形，

13
∴∠AEC=∠BFC，
∴△ACE≌△BFC（ASA）， ∴AE=BF， ∵Rt△ECF 中∴EF2=16，
则 AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16， 故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．

8．（2 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm，动点 P 从点 A 出发，以cm/s 的速度沿 AB 方向运动到点 B，动点 Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 AC→CB 方向运动到点 B．设△APQ 的面积为 y（cm2），运动时间为 x（s） ，则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是（

、∠EFC=45°，
）


A．


B． C． D．

【分析】作 QD⊥AB，分点 Q 在 AC、CB 上运动这两种情况，由直角三角形的性质表示出 QD 的长，利用三角形面积公式得出函数解析式即可判断． 【解答】解：（1）过点 Q 作 QD⊥AB 于点 D， ①如图 1，当点 Q 在 AC 上运动时，即 0≤x≤3，
14



由题意知 AQ=x、∵∠A=45°， ∴QD=则 •
AQ=x，
x， x=x2；
②如图 2，当点 Q 在 CB 上运动时，即 3＜x≤6，此时点 P 与点 B 重合，
由题意知 BQ=6﹣x、∵∠B=45°， ∴QD=则 ×3 故选：D．
BQ=，
（6﹣x），
（6﹣x）=﹣x+9； 【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意弄清两点的运动路线，据此分类讨论并得出函数解析式．

二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）因式分解：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2） ．


【分析】首先提取公因式 x，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：x3﹣4x =x（x2﹣4）

15
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

10．（3 分）上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体框架内，设立 300 亿元人民币等值专项贷款，将 300 亿元用科学记数法表示为 3×1010 元．

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，据此判断即可． 【解答】解：300 亿元=3×1010 元． 故答案为：3×1010．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a×10n，其中1≤|a|＜10，确定 a 与 n 的值是解题的关键．

11．（3 分）如图，这是一幅长为 3m，宽为 2m 的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数 0.4 附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 2.4 m2．


【分析】根据题意求出长方形的面积，根据世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系计算即可．
【解答】解：长方形的面积=3×2=6（m2），

16
∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数 0.4 附近， ∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的 40%， ∴世界杯图案的面积约为：6×40%=2.4m2， 故答案为：2.4．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，正确得到世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系是解题的关键．

12．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，已知△AOB 与△A1OB1 位似，位似中心为原点 O，且相似比为 3：2， 点 A，B 都在格点上，则点 B1 的坐标为 （﹣2，﹣ ） ．



【分析】把 B 的横纵坐标分别乘以得到 B′的坐标．
【解答】解：由题意得：△AOB 与△A1OB1 位似，位似中心为原点 O，且相似比为 3：2， 又∵B（3，1）
∴B′的坐标是），1×（﹣）]，即 B′的坐标是）； 故答案为）．
【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标 与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．

17


13．（3 分）如图，直线 y1=﹣x+a 与 y2=bx﹣4 相交于点 P，已知点 P 的坐标为（1， ﹣3），则关于 x 的不等式﹣x+a＜bx﹣4 的解集是 x＞1
．


【分析】观察函数图象得到当 x＞1 时，函数 y=﹣x+a 的图象都在 y=bx﹣4 的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4 的解集为 x＞1；
【解答】解：当 x＞1 时，函数 y=﹣x+a 的图象都在 y=bx﹣4 的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4 的解集为 x＞1； 故答案为 x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y=ax+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

14．（3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 OH，若 OB=4，S 菱形ABCD=24，则 OH 的长为
3 ．

【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求 AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

18
【解答】解：∵ABCD 是菱形， ∴BO=DO=4，AO=CO，S 菱形 ∴AC=6，
∵AH⊥BC，AO=CO=3， ∴OH=AC=3．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．

15．（3 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴上，顶点 B 在第一象限，AB=1，将线段 OA 饶点 O 按逆时针方向旋转 60°得到线段 OP，连接 AP， 反比例函数 （k≠0）的图象经过 P，B 两点，则 k 的值为 ．
=24，


【分析】作 PQ⊥OA，由 AB=1 知 OA=k，由旋转性质知 OP=OA=k、∠POQ=60°， 据此求得 式解之可得．
【解答】解：过点 P 作 PQ⊥OA 于点 Q，

k，PQ=OPsin60°=k，即 k，k），代入解析 ∵AB=1， ∴OA=k，
由旋转性质知 OP=OA=k、∠POQ=60°， 则 OQ=OPcos60°= k，PQ=OPsin60°= k，

19
即 k，k），
k2=k， ，
代入解析式，得解得：k=0（舍）或
故答案为．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点 P 的坐标 ．

16．（3 分）如图，射线 OM 在第一象限，且与 x 轴正半轴的夹角为 60°，过点 D （6，0）作 DA⊥OM 于点 A，作线段 OD 的垂直平分线 BE 交 x 轴于点 E，交 AD 于点 B，作射线 OB，以 AB 为边在△AOB 的外侧作正方形 ABCA1，延长 A1C 交射线 OB 于点 B1，以 A1B1 为边在△AOB 的外侧作正方形 A1B1C1A2，延长 A2C1 交射线 OB 于点 B2，以 A2B2 为边在△A2OB2 的外侧作正方形 A2B2C2A3…按此规律进行 下去，则正方形 A2017B2017C2017A2018 的周长为 4•（

）2016•（1+ ）2017 ．


【分析】从特殊到一般探究规律后即可解决问题； 【解答】解：由题意：正方形 ABCA1 的边长正方形 A1B1C1A2
的边长+1，
），
）2，
+1）（1+ ）2016．
20 ，
正方形 A2B2C2A3…的边长为（ 正方形 A3B3C3A4
的边长为
+1）（1+ 由此规律可知：正方形 A2017B2017C2017A2018
的边长为

∴正方形 A2017B2017C2017A2018 的周长为 4•（ 1+）2017．
）2016•（1+ ）2017．
）2016=4•（）2016•（
故答案为
【点评】本题考查规律型问题、解直角三角形、点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．

三、综合题
17．（7 分）先化简，再求值）÷，其中 x=3．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将 x 的值代入求解可得 ．

【解答】解：（2 ﹣ =[==﹣×， ﹣
]×

）÷
当 x=3 时，原式=﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键．

18．（7 分）为了解同学们每月零花钱数额，校园小记者随机调查了本校部分学生，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表： 请根据以上图表，解答下列问题：

零花钱数额 x/元
0≤x＜30 30≤x＜60 60≤x＜90
人数（频数）
6 12 16 频率 0.15 0.30 0.40 21
90≤x＜120 120≤x＜150 b 2 0.10 a （1）这次被调查的人数共有 40 人，a= 0.05 ． （2）计算并补全频数分布直方图；
（3）请估计该校 1500 名学生中每月零花钱数额低于 90 元的人数．

【分析】（1）根据 0≤x＜30 组频数及其所占百分比可得总人数，120≤x＜150 组人数除以总人数可得 a 的值．
（2）根据以上所求结果即可补全直方图； （3）利用总人数 1500 乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）这次被调查的人数共有 6÷0.15=40，则 a=2÷40=0.05； 故答案为：40；0.05； （2）补全频数直方图如下：

22


（3）估计每月零花钱的数额 x＜90 范围的人数为
．
【点评】此题主要考查了频数直方图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8，共 16 分） 19．（8 分）动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有 4 张（小猪佩奇）角色卡片，分别是 A 佩奇，B 乔治，C 佩奇妈妈，D 佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到 A 佩奇的概率为 ．

（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好姐姐抽到 A 佩奇，弟弟抽到 B 乔治的概率．
23
【分析】（1）直接利用求概率公式计算即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【解答】解：（1）∵姐姐从 4 张卡片中随机抽取一张卡片， ∴恰好抽到 A 佩奇的概率， 故答案为； （2）画树状图为：

共有 12 种等可能的结果数，其中姐姐抽到 A 佩奇，弟弟抽到 B 乔治的结果数为1，
所以姐姐抽到 A 佩奇，弟弟抽到 B 乔治的概率．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．

20．（8 分）为迎接“七•一”党的生日，某校准备组织师生共 310 人参加一次大型公益活动，租用 4 辆大客车和 6 辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多 15 个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了 40 人，学校决定调整租车方案， 在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？

【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的座位数比小客车多 15 个以及师生共 301 人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为 310+40，进而得出不等式求出答案． 【解答】解：（1）设每辆小客车的座位数是 x 个，每辆大客车的座位数是 y 个，

24
根据题意可得：



，
解得：
．

答：每辆大客车的座位数是 40 个，每辆小客车的座位数是 25 个；


（2）设租用 a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则25a+40（10﹣a）≥310+40， 解得，
符合条件的 a 最大整数为 3． 答：最多租用小客车 3 辆．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．

五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 21．（8 分）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 B 处的求救者后，又发现点 B 正上方点 C 处还有一名求救者，在消防车上点 A 处测得点 B 和点 C 的仰角分别为 45°和 65°，点 A 距地面 2.5 米，点 B 距地面 105.米，为救出点 C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 BC 约为多少米？
（结果保留整数，参考数据
≈1.4）
25
【分析】如图作 AH⊥CN 于 H．想办法求出 BH、CH 即可解决问题； 【解答】解：如图作 AH⊥CN 于 H．

在 Rt△ABH 中，∵∠BAH=45°，BH=10.5﹣2.5=8（m）， ∴AH=BH=8（m）， 在 Rt△AHC 中，
∴CH=8×2.1≈17（m）， ∴BC=CH﹣BH=17﹣8=9（m），
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

22．（8 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，O 是 AB 上一点，经过 A，E 两点的⊙O 交 AB 于点 D，连接 DE，作∠DEA 的平分线 EF 交⊙ O 于点 F，连接 AF．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线． （2）若 sin∠EFA= ，求线段 AC 的长．
26



【分析】（1）连接 OE，根据同圆的半径相等和角平分线可得：OE∥AC，则∠BEO= ∠C=90°，解决问题；
（2）过 A 作 AH⊥EF 于 H，根据三角函数先计算 三角形，则
，证明△AEH 是等腰直角AH=8，证明△AED∽△ACE，可解决问题．
【解答】证明：（1）连接 OE， ∵OE=OA， ∴∠OEA=∠OAE， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠OAE=∠CAE， ∴∠CAE=∠OEA， ∴OE∥AC， ∴∠BEO=∠C=90°， ∴BC 是⊙O 的切线；
（2） 过 A 作 AH⊥EF 于 H， Rt△AHF 中∵AF=5∴AH=4， ，
，
∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AED=90°， ∵EF 平分∠AED， ∴∠AEF=45°，

27
∴△AEH 是等腰直角三角形， ∴AE=AH=8，
，
∵sin∠EFA=sin∠ADE==∴AD=10，
∵∠DAE=∠EAC，∠DEA=∠ECA=90°， ∴△AED∽△ACE， ∴∴， ，
∴AC=6.4．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

六 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 1 小 题 ， 共 10 分 ） 23．（10 分）某商场销售一种商品，进价为每个 20 元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于 60 元，经调查发现，每天的销售量 y（个）与每个商品的售价 x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的 售价 x（元） 每天的销售 量 y（个）

28
… 30 40 50 …
100 80 60 …

（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为 w（元），求 w 与 x 之间的函数表达式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大， 最大利润是多少？

【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式； （3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况． 【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 y=kx+b， 则 解得

， ，
即 y 与 x 之间的函数表达式是 y=﹣2x+160；
（2）由题意可得，w=（x﹣20）（﹣2x+160）=﹣2x2+200x﹣3200， 即 w 与 x 之间的函数表达式是 w=﹣2x2+200x﹣3200；
（3）∵w=﹣2x2+200x﹣3200=﹣2（x﹣50）2+1800，20≤x≤60， ∴当 20≤x≤50 时，w 随 x 的增大而增大； 当 50≤x≤60 时，w 随 x 的增大而减小； 当 x=50 时，w 取得最大值，此时 w=1800 元
即当商品的售价为 50 元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是 1800． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．

七 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 2 小 题 ， 共 24 分 ） 24．（12 分）如图 1，以▱ABCD 的较短边 CD 为一边作菱形 CDEF，使点 F 落在边 AD 上，连接 BE，交 AF 于点 G．
（1）猜想 BG 与 EG 的数量关系，并说明理由； （2）延长 DE、BA 交于点 H，其他条件不变： ①如图 2，若∠ADC=60°，求 的值；

29
②如图 3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写
的值（用含 α 的三角函数表示）

【分析】（1）证明△BAG≌△EFG 可得结论；
（2）①如图 2，设 AG=a，CD=b，则 DF=AB=b，分别表示 BH 和 DG 的长，代入计算即可；
②如图 3，连接 EC 交 DF 于 O 根据三角函数定义得 DG=a+2bcosα，同理表示 AH 的长，代【解答】解：（1）BG=EG，理由是： 如图 1，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵四边形 CFED 是菱形， ∴EF=CD，EF∥CD， ∴AB=EF，AB∥EF， ∴∠A=∠GFE， ∵∠AGB=∠FGE， ∴△BAG≌△EFG， ∴BG=EG；
（2）①如图 2，设 AG=a，CD=b，则 DF=AB=b， 由（1）知：△BAG≌△EFG， ∴FG=AG=a， ∵CD∥BH，
计算即可．
，则 OF=bcosα，

30
∴∠HAD=∠ADC=60°， ∵∠ADE=60°，
∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°， ∴△ADH 是等边三角形， ∴AD=AH=2a+b，
∴==；
②如图 3，连接 EC 交 DF 于 O， ∵四边形 CFED 是菱形， ∴EC⊥AD，FD=2FO，
设 FG=a，AB=b，则 FG=a，EF=ED=CD=b， Rt△EFO 中，
∴OF=bcosα， ∴DG=a+2bcosα， 过 H 作 HM⊥AD 于 M， ∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α， ∴AH=HD，
∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα， Rt△AHM 中∴AH=∴

， ， =cosα．
= 【点评】本题是四边形综合题，其中涉及到菱形的性质，等边三角形、全等三角
31
形、平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合及类比思想是解题的关键．

25．（12 分）在平面直角坐标系中，直线 x﹣2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点C，二次函数 x2+bx+c 的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A，动点D 在直线 BC 下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式；
（2）如图 1，连接 DC，DB，设△BCD 的面积为 S，求 S 的最大值； （3）如图 2，过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，是否存在点 D，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的 2 倍？若存在，直接写出点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）根据题意得到 B、C 两点的坐标，设抛物线的解析式为 （x﹣4） （x﹣m），将点 C 的坐标代入求得 m 的值即可；
（2）过点 D 作 DF⊥x 轴，交 BC 与点 F，设 x2﹣x﹣2），则 x2+2x ，然后列出 S 与 x 的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；
（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取 AB 的中点 ，过 D 作 Y 轴的垂线，垂足为 R，交 AC 的延线于 G，设 D（x， x2﹣x﹣2），则 DR=x，CR=﹣x2+x，最后，分为∠DCM=2∠BAC 和∠MDC=2 ∠BAC 两种情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）把 x=0 代 y= x﹣2 得 y=﹣2，

32
∴C（0，﹣2）． 把 y=0 代 x﹣2 得 x=4， ∴B（4，0），．
设抛物线的解析式为 （x﹣4）（x﹣m），将 C（0，﹣2）代入得：2m=﹣2，解得：m=﹣1， ∴A（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式 （x﹣4）（x+1），即 x2﹣x﹣2． （2）如图所示：过点 D 作 DF⊥x 轴，交 BC 与点 F．

设 x2﹣x﹣2），则 x﹣2），DF=（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）=﹣x2+2x ．
∴S△BCD=OB•DF=×4×（﹣x2+2x）=﹣x2+4x=﹣（x2﹣4x+4﹣4）=﹣（x﹣2）2+4．
∴当 x=2 时，S 有最大值，最大值为 4．
（3）如图所示：过点 D 作 DR⊥y 垂足为 R，DR 交 BC 与点 G．

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）， ∴AC=，BC=2，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，

33
∴△ABC 为直角三角形．
取 AB 的中点 E，连接 CE，则 CE=BE， ∴∠OEC=2∠ABC． ∴tan∠OEC==．
当∠MCD=2∠ABC 时，则
． 设 x2﹣x﹣2），则 x2+x．
∴= ，解得：x=0（舍去）或 x=2．
∴点 D 的横坐标为 2．
当∠CDM=2∠ABC 时，设 MD=3k，CM=4k，CD=5k． ∵tan∠MGD=， ∴GM=6k，GD=3k，
∴GC=MG﹣CM=2k， ∴GR=∴RD=3 k，CR= k．
k= k．
∴ = ，整理得：﹣ x2+ x=0，解得：x=0（舍去）或
x= ．
∴点 D 的横坐标．
．
综上所述，当点 D 的横坐标为
2 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
34

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/034b9f2dfb0f76c66137ee06eff9aef8951e482d.html

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