常用数学公式

常用数学公式

一、乘法与因式分解公式

1.1

1.2

1.4  

二、三角不等式

2.1

2.2

2.3

2.4

2.6

三、一元二次方程 的解

 3.2(韦达定理)根与系数的关系：

四、某些数列的前n项和

4.2   

4.3   

4.7  

五、二项式展开公式

六、三角函数公式

1  两角和公式

6.1

6.2

2  倍角公式

6.5

6.6

3  半角公式

4  和差化积

七、导数与微分

1  求导与微分法则

2  导数及微分公式

 八、不定积分表（基本积分）

二、因式分解

在第一章中，我們知道兩個x的一次式乘積展開後成為x的二次多項式。反過來說，如果能將一個x的二次式寫成兩個x的一次式的乘積，我們稱這樣的過程為這個二次式的因式分解。此時，這兩個一次式都稱為二次多項式的因式，而這個二次多項式則稱為這兩個一次式的倍式。

在高中的課程中，我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這種過程也稱為這個多項式的因式分解。例如：

=

=

在國中階段做因式分解時，我們只考慮因式的係數為有理數（整數或分數）的情形。但從此以後，我們將不再要求因式的係數一定是有理數。

現在來介紹幾個常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式。

2-1 提公因式

【從各項提公因式】

如果發現每一項都有共同的因式時，我們可先將此公因式提出。

【範例1】因式分解下列多項式：

(1) (2)

(3)

【解】 (1) = =

(2) = (ab)( ab) 2( ab)

= (ab)[(ab) 2]

= (ab)(ab2)

(3) =

=

=

【分組提公因式】

當各項沒有公因式時，可嘗試分組或去括號重新分組，使得每組之間有公因式。

【範例2】因式分解下列多項式：

(1) (2)

(3) (4)

【解】 (1) =

=

(2) 方法一：

=

=

=

方法二：

= （交換律）

=

=

(3) 方法一：

=

=

=

方法二：

=

=

=

(4) 可嘗試去括號展開後，再重新分組。

=

=

=

=

=

從上面的例子我們可以看出，某些多項式可能有不只一種分組的方式來做因式分解。

【拆項後分組提公因式】

有時候，可嘗試先將多項式中某一項拆開後，再利用分組提公因式。

【範例3】因式分解下列多項式：

(1) (2)

【解】 (1)

=

=

=

(2)

=

=

=

=

=

事實上，範例3的第(2)題也可用分組的方式來因式分解：

= (x4x22) (3x33x)

= (x21)(x22) 3x(x21)

= (x21)(x23x2)

= (x1)(x1)(x1)(x2)

= (x1)2(x2)(x1)

【類題練習】因式分解下列多項式：

(1) (2)

【家庭作業】

因式分解下列多項式：

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

2-2十字交乘法

因為大家都已熟悉十字交乘法，所以在這裡只舉例，而不做文字說明。

【二次三項式】

【範例1】因式分解下列多項式：

(1) (2)

【解】 (1) =

(2) =

【類題練習】因式分解下列多項式：

(1) (2)

【家庭作業】

因式分解下列多項式：

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

2-3利用乘法公式

對於某些多項式，我們可直接利用乘法公式來做因式分解。

【完全平方】

【範例1】因式分解下列各式：

(1) (2)

(3)

【解】 (1) = =

(2) =

=

(3)

=

=

=（或寫成）

【平方差】

【範例2】因式分解下列各式：

(1) (2) (3)

【解】 (1) =

=

=

=

=

(2 ) =

=

=

=

(3) =

=

=

=

【立方差、立方和】

=

=

【範例3】因式分解下列各式：

(1) (2) (3)

【解】 (1) =

=

=

(2) =

=

=

(3) =

=

=

【類題練習1】因式分解下列各式：

(1) (2)

　　在範例3的第(3)題中，也可以將寫成，因此得到：

=

=

=

顯然的，可以再分解，我們將在下一個單元裡，介紹它的分解方法。

【配方法】

利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介紹的方法，可以處理一些特殊多項式的因式分解，這裡需要一些拆項(分項)或補項(加減項)的技巧，要多練習。

【範例4】因式分解下列多項式：

(1) (2)

【解】 (1) =

=

=

=

=

(2) =

=

=

=

=

事實上，在範例4的第(1)題中，所見到的

=

也是一個常見的乘法公式。

【類題練習2】 因式分解下列各式：

(1) (2)

【範例5】因式分解下列多項式：

(1) (2)

【解】 (1) 雖然可以直接引用立方差公式來因式分解，我們也可以用補項的概念來因式分解。

=

=

=

=

=

(2) 很顯然，無法直接使用平方差公式來分解。所以，我們嘗試用補項的方法來克服困難。

=

=

=

=

在國中時期，因為我們要求因式分解後的各個因式的係數皆為有理數，所以有些二次式無法分解。如果允許因式的係數可為任意實數，那麼我們就可以用配方法來分解它。

【範例6】因式分解。

【解】 =

=

=

=

【類題練習3】利用配方法的技巧，來因式分解下列各式：

(1) (2) (3)

【家庭作業】

因式分解下列各式：

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

三角函数及反三角函数

知识重点：

1、三角函数定义、图像、性质（单调性、单调区间、奇偶性、周期性）

2、重点掌握三角函数公式：

（1）诱导公式（2）两角和差公式（3）倍角公式（4）万能公式（5）积化和差、和差化积公式（6）其中

3、掌握的周期、最值、单调区间、平移伸缩变换

4、三角变换的三条原则：

（1）降低式子的次数：常用公式，降次，

因式分解（或配方）也是常用方法（注：为了达到约分和化同名同角的目的，有时也需升次）

（2）减少式中角的种数

①造特殊角（等）

②寻找不同角间的关系（互补、互余、或和、差、倍、半等）

③利用已知条件中角的关系（如三角形内角和为等）

（3）减少式中三角函数的种类

常用方法：切割化弦

5、三角形中的边角关系：

（1）

（2）正弦定理：（2R为外接圆直径）

（3）余弦定理：

（a、b、c分别为三内角A、B、C的对边）

6、掌握四个反三角函数定义（包括定义域、值域）、图像、性质及其应用

练习题

1、是第四象限角，则等于（ ）

(A) 1 (B) (C) (D)

2、若，则=

3、设，则y的值为（ ）

（A）正值 （B）负值 (C)非负值 （D）正值或负值

4、求值： =

5、要得到函数的图像，只需将的图像（ ）

（A）向左平移个单位 (B)向右平移个单位

(C) 向左平移个单位 (D) 向右平移个单位

6、函数的递减区间是（ ）

（A） (B)

(C) (D)

7、已知：，则它的最大值，最小值是（ ）

（A）最大值不存在，最小值为 （B）最大值是，最小值不存在

(C)最大值是 -1，最小值是 -13 （D）最大值是1，最小值是 -1

8、函数的最大值为

9、函数的最大值是（ ）

（A） (B) (C) (D)

10、化简=

11、求值： =

12、中，已知，则的形状为

13、当 时，方程无解

14、函数的图像的一条对称轴方程是（ ）

（A） （B） (C) (D)

15、“”是“函数的最小周期为”的（ ）

(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分条件也非必要条件

16、在中，若，则的形状为（ ）

（A）等腰直角三角形 （B）直角三角形

（C）等腰三角形 （D）等边三角形

17、函数在内的递增区间是

18、函数的反函数是（ ）

（A） (B)

(C) (D)

19、函数的值域是( )

(A) (B) (C) (D)

20、满足的的取值范围是（ ）

（A） (B) (C) (D)

21、解简单的三角方程：

（1）

（2）

22、已知：，试用表示的值。

23、已知：，求的值。

24、在中，分别是角的对边，设成等差数列，，

求的值。

25、已知的三个内角满足，

求的值。

数学总复习（一）答案

一、（1）C （2）15 （3）57 （4）120 （5）轴 （6） （7）①③

（8） （9）（1，2） (10) C (11) (12) (13) A

(14) 540 (15) D (16) B (17) A (18) (19) (20)

(21) B (22) B (23) C (24) B (25) A (26) A

二、1、（1） （2） （3）

（4） （5）（0，1）

2、（1）2 （2）

(3) (4) (5)

3、（1）①3 ③45 （2） （3）② （4）② ③

4、（1）①②2 （2） （3）①

②

5、

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/037a67200722192e4536f670.html