（整理）基本积分方法

§2 基本积分方法

一、换元积分法

◆ 1．第一类换元积分法：

设f(u)，为连续函数，可导，且，则

常见的凑微分形式：

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

例2.1计算

解:令，，则

==

=。

例2.2计算下列积分：

（1）； （2）

解：（1）

（2）

◆ 2．第二类换元积分法：

单调、可导且，又有原函数。则

第二类换元法中常用的变量代换：

① 三角代换：变根式积分 ⇒ 三角有理式积分

注意：辅助三角形可为变量还原提供方便。

② 倒数代换：可消去分母中的变量x。

③ 指数代换： 适用被积函数由a x 或e x 构成的代数式。

例2.3计算积分

解：令

例2.4计算积分。

解：=

例2.5计算积分

解：令，则

=

二、分部积分法

分部积分公式：

◆分部积分法条件： u，v 具有连续导数。

选取u，v 的原则：

◆ 可用分部积分法求积分的类型：

例2.6 计算积分。

解：原式=

例2.7 计算积分

解：

。

例2.7设，计算。

解：，设，则，。

=

。

三、几种特殊类型的积分：

1．有理函数的积分 部分分式之和的积分

对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

其中；dt=dx；。

可以很容易地求出（4）中的第一个积分为

。

而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式

，其中：。

【注意】从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被积函数的特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法。

例2.8 计算积分。

解：

=

例2.9 计算下列积分

（1）； （2）

解：（1）令，则，于是

原式=

=

=

（2）令，则，于是

原式=

=

2．三角函数有理式

的积分 有理函数的积分

由，及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作：，积分称为三角函数有理式积分。

【解题方法】

① 尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成 sinkx 或 coskx 的单项式，或将分母整个看作一项。

② 尽量使 R(cosx，sinx) 的幂降低，常用倍角公式或积化和差公式。

常用积化和差公式：

倍角公式：

，，

③ 在积分的过程中注意“”的妙用。

例2.10 计算下列积分

（1）；（2）；（3）。

解：

故 原积分=

（2）

=

=

=

（3）

=

=

故 原积分=

=

3．无理函数的积分有理函数的积分

无理函数的积分，一般是通过选择变量替换，化为有理函数的积分来进行。

【解题方法】

① 利用第二类换元法中的三角代换；

② 若被积函数含有，，可令，；

若被积函数含有，，可令，其中m，n为正整数，p为m，n的最小公倍数。

【注意】

无理函数分子或分母可有理化时，应先有理化。

例2.11 计算积分

解：令

原积分=

=。

四、分段函数的积分

连续函数必有原函数，且原函数连续。因此有

◆ 如果函数在分界点连续，则在包含该点的区间内原函数存在。

◆ 如果分界点是函数的间断点，那么在包含该点的区间内，不存在原函数。

【解题方法】

方法一

◆ 先分别求出函数的各分段在相应区间内的原函数；

◆ 由原函数的连续性确定出各积分常数之间的关系。

方法二

◆ 利用变上限积分函数，先求出的一个原函数，则有

=+C

（注意：方法二省去了确定常数的麻烦）

◆

◆

◆

例2.12 设，求。

解法一：由于f (x)在在x=0连续，故f (x)的原函数存在，因此先分别求出 f (x)在(–∞，0)，(0，+∞)内的原函数。

由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x= 0处的左、右极限，得

解法二：设f (x)的一个原函数为，而

=

故 ==。

例2.13 求。

解：

由于min{1,x²}在x=－1，x=1连续，故min{1,x²} 的原函数存在，因此先分别求出min{1,x²}在(–∞，－1)，(－1，1)，(1，+ ∞)内的原函数。

由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x=－1，x=1处的左、右极限，得

目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。

故 ，。

因此

发现规划环境影响报告书质量存在重大问题的，审查时应当提出对环境影响报告书进行修改并重新审查的意见。五、抽象函数的积分

3.规划环境影响报告书的审查效力

所谓抽象函数的不定积分，是指被积函数由抽象函数所构成的一类积分。其解法同样可用换元法和分部积分法。

3）选择价值。选择价值（OV）又称期权价值。我们在利用环境资源的时候，并不希望它的功能很快消耗殆尽，也许会设想未来该资源的使用价值会更大。

安全评价可针对一个特定的对象，也可针对一定的区域范围。例2.13 求不定积分。

解：

。

第五章　环境影响评价与安全预评价例2.14 求设 f (x)的原函数为：，求。

8.编制安全预评价报告解：

（2）环境的非使用价值。环境的非使用价值（NUV）又称内在价值，相当于生态学家所认为的某种物品的内在属性，它与人们是否使用它没有关系。

仍以森林为例，营养循环、水域保护、减少空气污染、小气候调节等都属于间接使用价值的范畴。

因为为f (x)的原函数，故

（3）生产、储存烟花爆竹的建设项目；，

因此有 =。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/089becb6842458fb770bf78a6529647d26283416.html