2018年中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题

构造基本图形巧解含45º角的问题

本文以两道含有45º角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们参考.

一、试题呈现

题1 (2017年丽水中考题)如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，已知点.

(l)略;

(2)设为线段的中点，连结，若，则的值是 .

题2 (2017年金华中考题)如图2，已知点和点，点在反比例函数的图象上.作射线，再将射线绕点按照逆时针方向旋转45º，交反比例函数的图象于点，则点的坐标是 .

上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特点，都存在一个45º的特殊角.因此，如何利用45º角成为了解题的突破口，45º角的两边与轴的交点都形成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法.

二、共同解法展示

1.构造“一线三等角”，利用相似三角形

丽水题解法1 如图3，在轴截取，此时，可以证得

，.

进而得到方程，

解得.

金华题解法1 如图4，过点作等腰直角，作，连结，易得

，.

设，

可以证得，

得，

∴，

解得，

∴.

求出的解析式为,

再与联列方程，得到点坐标为.

分析 “一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45º的角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程.

2.构造“三垂型”模型，利用全等三角形

丽水题解法2 如图5，过点作，交于点，再作轴，易得

，

∴，，

.

∵，

∴，

列出方程，

解得.

金华题解法2 如图6，过点作，构造如图所示的辅助线，易得

.

设的坐标为，

可得，.

因为点在直线上，可以求得点的坐标为，

进而求得，.

∵，

∴，列出方程2:

，

解得(舍去).

所以点的坐标为.

分析 “三垂型”模型是一个基本图形.该模型不仅可以找到全等的三角形，也可以用来证明勾股定理.看到45º角可以构造等腰直角三角形，进而形成“三垂型”模型.

3.构造“角平分线”，运用内角平分线的性质

预备知识:如图7，是的角平分线，则有(证略).

丽水题解法3 如图8，过点作.

∵，所以为的角平分线，

∴’

∵，并且求出的坐标，

可得，

解得.

金华题解法3 如图9，方法同上.

分析 由于45º是90º的一半，构造了角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质，45º这一条件，让人产生了很多遐想，补全直角也是一种常见的手段.

4.构造“正方形”，借用正方形旋转

预备知识:如图10，正方形，点、分别在和上，且，求证:.(证略)

丽水题解法4 如图11，过点构造正方形.

，，

根据预备知识得到

.

又∵，在中有

，

解得.

金华题解法4 如图12 ，∵，

∴，.

设点为，

则，.

利用预备知识，

可得.

在直角中，

，

解得，得到.

分析 “半角模型”也是一种常见的基本图形，这类问题一般利用旋转完成，可以得到全等三角形，进而得到线段之间的关系.

5.构造 “三角形的高”，回到匀股定理

丽水题解法5 如图13，作，可知为等腰直角三角形.

由，

，

易得，

.

在中，利用勾股定理，得

，

解得.

金华题解法5 如图14，作(后面计算可得和重合).

设，则，，.

又∵，

得到，

∴，

∴.

分析遇到直角问题，有时要回归到勾股定理，利用勾股定理能够列出方程.尤其在折叠问题中，我们经常会利用勾股定理构造方程.本题中依靠构造等腰直角三角形，同时得到，一箭双雕.

6.构造“四点共圆”，运用两点间的距离公式

丽水题解法6 如图15，以为直角边构造等腰直角.

∵，

所以、、、四点共圆，且以为直径，为圆心.

∵，，，

根据，可得

，

解得.

金华题解法6如图16，方法同上.

分析“四点共圆”是一种常见的基本图形，它可以运用同弧所对的圆周角相等，半径相等直径所对的圆周角是直角等一系列知识点，灵活多变.

三、解题后的反思

1.明确解题方向，确定解题途径

这两道中考题都是以函数为载体的几何问题，以上的解法都充分利用了数形结合，把题中的“形”转化为运算，达到“化形为数”的目的，这是解决问题的关键所在，也是基本思

路，有了这些基本思路就有了解决问题的方向在解决函数中的几何问题时，一定要充分利用几何的基本性质，抓住问题表象中的隐含条件，利用几何性质的同时结合平面直角坐标系的有关计算，达到几何与代数的完美结合.上述解法中的勾股定理和三角形的相似与全等，等腰直角三角形的性质的运用，既在意料之外，又在情理之中，顺其自然，水到渠成.

2.抓住问题本质，学会异中求同

以上两道题目看似不同，却有着共同的本质，可以称得上是多题一解.数学问题千变万化，仅仅依靠题海战术是很难抓住数学的本质，盲目地做题还不如静下心来去思考.我们应该由表及里，发现题与题之间的内在联系，抓住问题的本质达到有效的解题.一题多解能拓展思维的广度，多题一解更能挖掘思维的深度，因此，我们在数学解题教学中，要两者兼顾，做到收放自如.

3.活用解题模型，呈现多样解法

基本图形是解决综合性几何问题的一个很好的突破口，从复杂的图形中抽出简单的图形，利用基本图形的性质往往可以化难为易，顺利得解.我们要通过解题教学，达到“学会思考”这一核心的教学理念，注重解题的方法，加强知识之间的迁移，从而提高解题能力.

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