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2003年高考数学试题(广东)及答案

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2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学
一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．暂缺2．已知x(
A．

2
,0,cosx
724
4
,则tan2x5724B．－C．
247

C．sin2
D．－
（）
24
7
（）
3．圆锥曲线
8sin
的准线方程是2
cos
B．cos2
A．cos2D．sin2
（）
4．等差数列{an}中，已知a1
A．48
B．49
1
,a2a54,an33，则n为3
C．50
D．51
5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）
A．3
B．
6
2
C．
63
D．
33
2x1,x0,
5．设函数f(x1若f(x01，则x0的取值范围是
,2x0x

A．（－1，1）

B．（－1，+∞）
D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
D．2
（）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞）
7．函数y2sinx(sinxcosx的最大值为
A．12
B．21
C．2
（）
22
8．已知圆C:(xa(x24(a0及直线l:xy30.当直线l被C截得的弦长为23时，则
a=
A．2
B．2

D．21
（）
2C．21
9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）
A．2R
2
B．R
94,
2
C．R
83
2
D．r
（）
32
2
10．函数f(xsinx,x[
3
22
]的反函数f1(x
A．arcsinx,x[1,1]C．arcsinx,x[1,1]
B．arcsinx,x[1,1]D．arcsinx,x[1,1]
11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB
夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射

角）.设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tan的取值范围是
A．（


（）
1
，1）3
B．(,）
12
33
C．(,
2152
D．(,
2253
12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A．3π
B．4π
C．33
D．6π
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上13．不等式4xx2x的解集是
9
14．(x12x9展开式中x的系数是
2
15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则
16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离.18．（本小题满分12分）
已知复数z的辐角为60°，且|z1|是|z|和|z2|的等比中项.求|z|.
x

19．（本小题满分12分）已知c>0，设P：函数yc在R上单调递减Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如
果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南(arccos
2
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北10
45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）
已知常数a0,在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA
上移动，且
BECFDG
，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离
BCCDDA
的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）
n1
设an为常数，且an32an1(nN

（1）证明对任意n1,an
1n
[3(1n12n](1n2nan；5
（2）假设对任意n1有anan1，求an的取值范围.
2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学试题参考答案
一、选择题：
1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B10.D11.C12.A二、填空题：
13．(2,4]14．三、解答题：
（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=又EC=

21
15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S△BCD2
1D1D2
1
CC1，且EC⊥MC，2
∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1∵BD1面DBD1，
∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线.（II）解：连结ED1，有VEDBD1
VD1DBE

由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，
则S△DBC·d=S△DBD1·EF.………………9分∵AA1=2·AB=1.
BDBEED2,EF
22

SDBD1
1133d222,SDBC(222222
2
2
223
33
2
故点D1到平面BDE的距离为
23
.3
18．解：设z
r
rcos60rsin60，则复数z的实部为.zzr,zzr2由题设
2

|z1|2|z||z2|即:(z1(z1|z|(z2(z2,r2r1rr22r4,整理得r2r10.解得:r21,r21(舍去.即|z|21.
19．
2


20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（x,
22
x30020t,y）的坐标为102
y30072202t.102

此时台风侵袭的区域是(xx2(yy[r(t]2,其中r(t
10t60,若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
222722220t(30020t102102
(0x2(0y2(10t602.即(300
(10t602,即t236t2880,解得12t24
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
BECFDC
(0k1BCCDDA
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：2ax(2k直线GE的方程为：a(2k
1y0①
1xy2a0②
2
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程2a整理得x2(ya2当a1
1a22当a
2
2
x2y22ay0

1
时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.2


1
时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长2
111时，点P到椭圆两个焦点（a2,a,(a2,a的距离之和为定值2
222
111时，点P到椭圆两个焦点（0，aa2,(0,aa2的距离之和为定值2a.
222
当a
2
当a
2

22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.

（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则ak那么ak1
1
[3k(1k12k](1k2a0,5
2
3k2ak3k[3k(1k12k](1k2k1a0
51k1
[3(1k2k1](1k12k1a0.
5
也就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.证法二：如果设an
3n12(an1a3n1,用an3n12an1代入，可解出a
1
.5
3n是公比为－2，首项为3所以a1的等比数列.an
55
3n33n(1n12nn1即an(12a0(2(nN.an(1n2na0.
555
23n1(1n132n1
（2）解法一：由an通项公式anan1(1n32n1a0.
53
anan1(nN等价于(1n1(5a01(n2(nN.……①
2
3
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为(12k2(5a01(2k3
2
131
即为a0(2k3.……②
525
②式对k=1，2，…都成立，有a1(3111.
0
5253
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为
即为
3
(12k1(5a01(2k2.
2
131
a0(2k2.……③③式对k=1，2，…都成立，有
5251311a0(2120.综上，①式对任意n∈N*，成立，有0a0.
5253
1
故a0的取值范围为(0,.
3
解法二：如果an
an1（n∈N*）成立，特别取n=1，2有a1a013a00.
11
a2a16a00.因此0a0.下面证明当0a0.时，对任意n∈N*，
33
anan10.由an的通项公式5(anan123n1(1n132n1(1n532n1a0.
（i）当n=2k－1，k=1，2…时，5(anan123n132n1532n1a0
22n132n1532n10
（ii）当n=2k，k=1，2…时，5(anan123n132n1532n1a0

123n132n10.故a0的取值范围为(0,.
3


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0bd88e980a4e767f5acfa1c7aa00b52acec79c75.html

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