河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试

河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试

数学

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．

1．设集合A＝{x|x2-4x+3≤0}，B＝{x∈Z|1＜x＜5}，则A∩B＝

A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{1，2，3}

2．若复数z＝1-i，则

A．1 B． C． D．4

3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为

A．19 B．38 C．55 D．65

4．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和在该数列的前2020项中，偶数的个数为

A．505 B．673 C．674 D．1010

5．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p，且检测次数的数学期望为20，则p的值为

A． B． C． D．

7．已知未成年男性的体重G（单位：kg）与身高x（单位：cm）的关系可用指数模型G＝aebx来描述，根据大数据统计计算得到a＝2.004，b＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110 cm，体重为17.5 kg，预测当他体重为35 kg时，身高约为(ln 2≈0.69)

A．155 cm B．150 cm C．145 cm D．135 cm

8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，点N在侧面ADD1A1内，若BM⊥A1N．则△ABN面积的最小值为

A． B． C．1 D．5

二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9．已知，则

A． B． C． D．

10．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法一定正确的是

A．|AB|的最小值为2 B．线段AB为直径的圆与直线x＝-1相切

C．x1x2为定值 D．若M(-1，0)，则∠AMF＝∠BMF

11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，则

A．f(x+4)＝f(x) B．f(x)在区间(-2，0)上单调递增

C．f(x)有最大值 D．是满足条件的一个函数

12．若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(2x-x2-t)(1-t-x)≤0恒成立，则s的值可以为

A． B． C． D．

三、填空题

13．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，且|PF1|＝2|PF2|则△PF1F2的面积为_________．

14．已知实数a，，且满足，则a，b，的大小关系是_________．

15．数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为_________．

16．在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA＝4，AB＝3，二面角P-AB-C的大小为30°，在侧面△PAB内（含边界）有一动点M，满足M到PA的距离与M到平面ABC的距离相等，则M的轨迹的长度为_________．

四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在①对任意n＞1，满足Sn+1+Sn-1＝2(Sn+1)，②Sn+1-2＝Sn+an③Sn＝nan+1-n(n+1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，___________，若数列{an}是等差数列，求数列{an}的通项公式；若数列{an}不一定是等差数列，说明理由．

（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）

18．振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：

（1）若去掉[70，80)内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）

（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X～N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ-σ＜x≤μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ＜x≤μ+2σ)≈0.96．

19．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB·sin∠ABD＝OD·sin∠ADB

，AB＝3BC＝3．

（1）求sin∠DAC；

（2）若，求四边形ABCD的面积．

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAC⊥底面ABCD，PA＝PC＝AC．

（1）证明：AC⊥PB．

（2）若PB与底面所成的角为45°，求二面角B-PC-A的余弦值．

21．知椭圆C的焦点在x轴上，并且经过点(0，1)，离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）动直线l与圆O：x2+y2＝1相切于点M，与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为D，求△OMD面积的最大值，并求此时点D的坐标．

22．已知函数

（1）求函数y＝f(x)在x＝1处的切线方程

（2）证明：（ⅰ）f(x)＜2；

（ⅱ）意n∈N*，en-1＜(2n-ln n)n．

参考答案及解析

河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试·数学

一、选择题

1．C 【解析】因为A＝{x|x2-4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{2，3，4}，所以A∩B＝{2，3}．

2．B 【解析】由z＝1-i，得，则．

3．D 【解析】至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，所以不同选派方案种数为．

4．B 【解析】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第3k(k∈N*)项为偶数，所以前2020项中偶数的个数为673．

5．C 【解析】设与的夹角为θ，由得，所以，所以．

6．A 【解析】若合并检测，检测次数取值为1，21，对应的概率分别为(1-p)20，1-(1-p)20，数学期望为1×(1-p)20+21[1-(1-p)20]，由20＝1×(1-p)20+21[1-(1-p)20]，解得．

7．C 【解析】将x＝110，G＝17.5代入G＝2.004e0.0197x得17.5＝2.004e0.0197×110 ①，将G＝35代入G＝2.004e0.0197x，得35＝2.004e0.0197x ②．由②÷①得2＝e0.0197x-0.0197×110，即0.0197(x-110)＝ln 2，解得x≈145．

8．B 【解析】如图，取DD1的中点为M′，易知AM′∥BM．点P为AD的中点，则在正方形AA1D1D中，A1P⊥AM′，即A1P⊥BM．所以，点N的轨迹为线段A1P．易知△ABN为直角三角形，当NA⊥A1P时，NA取最小值为，此时△ABN面积最小，最小值为．

二、选择题

9．AD 【解析】．因为

，所以，所以．

10．BCD 【解析】抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝-1，过焦点的弦中通径最短，所以|AB|最小值为2p＝4，故A不正确；如图，设线段AB中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，D1，由抛物线定义可知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以，所以以线段AB为直径的圆与直线x＝-1相切，故B正确；设AB所在直线的方程为x＝ny+1，由消去x，得y2-4ny-4＝0，所以y1y2＝-4，，故C正确；又y1+y2＝4n，

，故D正确．

11．AD 【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数得f(x)＝-f(-x)，图象关于直线x＝1对称可得f(-x)＝f(2+x)，所以f(2+x)＝-f(x)，f(4+x)＝-f(2+x)＝f(x)，故A正确；无法判断单调性，故B，C错误；是奇函数，且f(2-x)＝f(x)，故D正确．

12．ABC 【解析】不等式(2x-x2-t)(1-t-x)≤0可化为[(1-t)-(x-1)2][(1-t)-x]≤0，问题转化为：存在实数t，使得在区间(0，s]上，函数y＝(x-1)2与函数y＝x的图象恒在直线y＝1-t的两侧，如图画出函数y＝(x-1)2与函数y＝x的图象，

由得或（舍去），从而得，由抛物线的对称性知y＝1-t与y＝(x-1)2图象的右边交点的横坐标为，故在区间上，函数y＝(x-1)2与函数y＝x的图象恒在直线y＝1-t的两侧，所以实数s的取值范围为．即选项ABC符合题意．

三、填空题

13．4 【解析】由题意得|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|-|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2．又

，所以|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，所以，所以．

14． 【解析】由，得．设，则，当时，f′(x)＞0，f(x)在区间上单调递增，故a＞b，所以．

15． 【解析】随机地填涂了至少一个选项共有种涂法，得分的涂法为3种，故他能得分的概率为．

16． 【解析】如图，过M作MN⊥AP于N，MO⊥平面ABC于O，过O作OQ⊥AB于Q，连接MQ，则∠MQO为二面角P-AB-C的平面角，由∠MQO＝30°得MQ＝2MO．又MO＝MN，所以MQ＝2MN，在△PAB中，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则直线AM的方程为y＝2x，直线PB的方程为4x+3y-12＝0，所以直线AM与PB的交点坐标为，所以M的轨迹为线段AR，长度为．

四、解答题

17．解：选择条件①： 因为对任意n＞1，n∈N*，满足Sn+1+Sn-1＝2(Sn+1)， 所以Sn+1-Sn＝Sn-Sn-1+2， 所以an+1-an＝2． 因为无法确定a1的值， 所以a2-a1不一定等于2． 所以数列{an}不一定是等差数列． 选择条件②： 由Sn+1-2＝Sn+an，得Sn+1-Sn-an＝2， 即an+1-an＝2，n∈N*． 又因为a2＝4，所以a1＝2． 所以数列{an}是等差数列，其公差为2． 因此，数列{an}的通项公式为an＝2n． 选择条件③： 因为Sn＝nan+1-n(n+1)， 所以Sn-1＝(n-1)an-n(n-1)(n≥2)， 两式相减得an＝nan+1-(n-1)an-2n(n≥2)， 即an+1-an＝2(n≥2)． 又S1＝a2-2，即a2-a1＝2， 所以an+1-an＝2，n∈N*， 又a2＝4，a2-a1＝2，所以a1＝2， 所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝2+2(n-1)＝2n．

18．解：（1）由题意，当x＝0时计算其他数据的平均数为

， 故原平均数应满足， 解得7.5≤x＜20，x∈Z， 所以件数在[70，80)的人数的取值范围为8≤x＜20，x∈Z．

（2）因为件数X～N(70，102)， 所以， 所以估计1500人中每天制造产品件数小于等于50的人数为0.02×1500＝30．

19．解：（1）在△ABC中，，AB＝3，BC＝1，由余弦定理得

， 所以． 由正弦定理得

， ． 在△AOB中，由正弦定理得， 即OB·sin∠ABD＝OA·sin∠BAC， 同理，在△AOD中，OD·sin∠ADB＝OA·sin∠DAC． 又因为OB·sin∠ABD＝OD·sin∠ADB， 所以OA·sin∠BAC＝OA·sin∠DAC． 所以．

（2）在△ADC中，由正弦定理得， 即，所以CD＝1． 又由余弦定理得， 即，解得AD＝2．

．

20．（1）证明：连接BD交AC于O， 因为底面ABCD为菱形， 所以AC⊥BD． 因为PA＝PC，O为AC的中点， 所以AC⊥PO． 又BD∩PO＝O，BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD． 又PB⊂平面PBD，所以AC⊥PB．

（2）解：因为PA＝PC，O为AC的中点， 所以PO⊥AC． 又平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD＝AC，PO⊂平面PAC， 所以PO⊥底面ABCD，所以OB，OC，OP两两垂直． 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz， PB与底面所成的角即为∠PBO＝45°， 所以OB＝OP．设

，则OC＝1，， 所以，C(0，1，0)，，A(0，-1，0)，，． 设平面BPC的一个法向量为，则即 令x＝1，得， 又平面APC的一个法向量为， 所以． 又因为二面角B-PC-A为锐角， 所以二面角B-PC-A的余弦值为．

21．解：（1）设椭圆C的标准方程为， 由题意得，b＝1，． 因为a2＝b2+c2， 所以a＝2，， 所以椭圆C的标准方程为．

（2）设动直线l的方程为x＝my+n(m≠0)． 由直线l与圆O相切得，即n2＝m2+1． 由得(m2+4)y2+2mny+n2-4＝0， 其中Δ＝4m2n2-4(m2+4)(n2-4)＝16(m2+

4-n2)＝48＞0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)， 则，从而

，． 所以

．

因为，所以． 当|m|＝2时，上式等号成立，此时． 故△OMD的面积最大值为，此时D点的坐标为或或或．

22．（1）解：f(x)的定义域为(0，+∞)， ，f′(1)＝-1，f(1)＝1， 所以f(x)在x＝1处的切线方程为y-1＝-(x-1)，即x+y-2＝0．

（2）证明：（ⅰ）f(x)＜2可化为． 设，则， 当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，h(x)在区间(0，1)上单调递增， 当x∈(1，+∞)时，h′(x)＜0，h(x)在区间(1，+∞)上单调递减， 故h(x)max＝h(1)＝1． 设g(x)＝xln x+2，则g′(x)＝ln x+1， 当时，g′(x)＜0，g(x)在区间上单调递减， 当时，g′(x)＞0，g(x)在区间上单调递增， 故． 因为，所以

，所以f(x)＜2．

（ⅱ）由f(x)＜2，得， 令，n∈N*，得， 即

， 所以． 所以2n-ln n＞0， 所以en-1＜(2n-ln n)n．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/104f68ecfc4733687e21af45b307e87101f6f8a5.html