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中国著名大学自主招生试题集锦

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中国著名大学自主招生试题集锦
复旦大学2004年保送生考试数学试题(150分钟2003.12.21一、填空题(每题8分，共80分
842421(，则________(x，1,(x，2x，1(x，ax，1a,5x，3，5x,4,72(已知，则的范围是____________(x
22xy3(椭圆，,1，则椭圆内接矩形的周长最大值是_____________(169
4(12只手套(左右有区别形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成双，有
___种取法(
中，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为_____(5(已知等比数列,,aa,3n1
26(的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是_____________(x,(a，1x，a,0a
2222(x,4yxy，7(已知，,1，则的最大值为____________(49493328(设是方程的两解，则=_________(x,xsin,，cos,,0x,xarctgx，arctgx121255
3z,z9(的非零解是___________(1,x
1，xy,210(的值域是___________(二、解答题(每题15分，共120分log(x,x,3,11(解方程:(5

2

412,tg2,sin(,,,2(已知sin(，,，，且0,0,，求(,,,,,,，,,,,,1352



223（已知过两抛物线C:,C:的交点的各自的切线互1x,1,(y,12(141yxa,,,,
相垂直，求(a
f(xf(xf(x,Mt,D4(若存在，使任意(为函数的定义域，都有，则称函数MD111有界(问函数在上是否有界,f(x,sinx,(0,xx21111，，，？，,35(求证:(33323n
6(已知E为棱长为a的正方体ABC—ABCD勺棱AB的中点，求点B到平面AEC的11111
距离(
7(比较与的大小并说明理由(log26log2525248(已知数列、满足，且，又，，,,,,ba,,a,2bab,6a1nn11
anlim求(1;(2(a,bnnbn简单解答:
1(,0.6,0.8一、填空题:1.2.3.204.,23二、解答题:5(证明1:
11111.,(,,3(m,1m(m，1(m,1m(m，1mm，1,m，1m111m，1，m,1=(,,,2m,1m，1mm，1，m,1m，1，m,1,,m而22111.,
3m,1m，1m
，6ba,2b,4nn，1nnnn，
，
111111211,，,，？，,原式＜1+=2，,,,312324n,1n，1nn，12n,n，n,n(n,1，(n,1(n,1证明2:11n,n,1,,2nn,1(n，n,1n,11n,n,111,,,



2nnn(n,1n,1n
111111原式〈1，2(1,，,，？，,,3,,3223n,1nn
同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题(本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本
大题满分40分
1(函数fxxx(log(sincos,，的单调递增区间是(12
vvt,(的2(如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数v(cm/s图象，则该质点运动的总路程s=______(厘米(
203(设a与b是两条非相互垂直的异面直线，,与,分别是过直线a与b15的平面，有以下4个结论:(1b//,
，(2b,,，(3,//,
，(4,,,，
10则其中不可能出现的结论的序号为____________(
4(设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位5恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。若水位高度h(米015t(s510的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度
h(米作为时间
(单位:时，从该日零时起算的函数的表达式为t________________(
357,,_______________________________________________________,,,5(设,是第二象限角，sin,sin2,,则=______________________________________(,,58,,
6(已知复平面上点A与点B分别对应复数2与2i，线段AB上的动点P对应复数Z,若
2复数z对应点Q点Q坐标为(x,y，则点Q的轨迹方程为
_______________________(7(设有正数a与b，满足a，若实数x,y,x,y，使x+y是a与b的算术平均数，x?y1122112222



xy11是a与b的几何平均数，则的取值范围是___________________(2(xy，
22



8(从0,1,2，…,9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除
的五位数的概率是________________(用分数给出答案(
二、解答题(本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，本大题满分60分
22fxxxx(421,,值(
10((本题满分12分求证：对于任何实数a与b,三个数：|a+b|,|a-b|,|1,a|中至少有一个不
1小于(2
211((本题满分12分设抛物线y=x,(2k,7x
，4k,12与直线y=x有两个不同的
，,9((本题满分12分试利用三角函数求函数的最大值与最小
交点，且交点总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖，试问：实数k应满足什么条件,
P12((本题满分12分设四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA1面ABCD(
(1求证：直线PC?ft线BD;
(2过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,如果三棱锥E—BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P-ABC啲高(EADBC
213((本题满分12分设有抛物线y=2px(p>0，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A在抛物线上，试问：点C在什么范围之内时？BAC是锐角，
上海交通大学2005年保送、推优生数学试题一、填空题(每小题5分，共50



分
1442xx,,,221(方程的两根满足，则p,_________(p,R(xpx,,,0xx,121222p41,88，则x=_______________(2(，,,sincos,(0,xxx1282
11n,120043(已知n,Z，有，贝Un,____________(,,,(1(1n2004
4(将3个12cmK12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分(如左图，将这6部分接
于一个边长为的正六边形上(如下图，若拼接后的图形是一个多62面体的表面展开图，该多面体的体积为___________________________(5(已知，x、y,R，则(x,y=_______________(23333,,,xy222212n，6(=_________(2468(1(2,
，,，，,？n
3327(若z=1,且乙C,则z，2z，2z，20,_____________(
8(一只蚂蚁沿1X2X3立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为(9(4封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为________，恰好只有一封装错的
概率为______(
10(已知等差数列{a}中，，=____________(aaaa，，，,44aaa，，n3711195916
二、解答题(第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分
32xaxbxc，，，,01(的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的
值(
2(是否存在三边为连续自然数的三角形，使得
(1最大角是最小角的两倍;(2最大角是最小角的三倍;若存在，求出该三角形;若不存在，请说明理由(



2axxb，，83(的最大值为9，最小值为1，求实数a,b(y,2x，1
4(已知月利率为,，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m
关于,的函数关系式(假设贷款时间为2年(5(对于数列{a}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,r,s,t，使得对于n
arnst,,,[]任意正整数n都有恒成立([x]表示不超过x的最大整数(n2005年复旦大学考试试卷一、填空题:
Cxx1,C2x,,,R|221B1(A=，B=，A=_____(表xlogxx,,,,R|10:B,,示B在R上的补集(
113002(数x满足，求(x，,,1x，,______300xx3(求,=的圆心坐标，53sin5cos,,,，,,,0,2,
22y,x，1AB4(抛物线与直线交于A和B两点，最大时，a=______(y,2x，2ax，a
22lim11nnnn，，,,,5(,______(n(n，16(求1+3+6+…，(,_______2
7(一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为
_______(
100038(求在十进制中最后4位_______________________(
x，2002,,，，fx，2f,4015,x9(定义在R上的函数f(x(x,1满足，则,,x,1,,f(2004,(1，sinxy,10(求的最大值是___________________(2，cosx、解答题

…，即正奇数k有k个，是否存在整数
，，,,2
，，n,,


22xy,,11(在四分之一个椭圆(x>o,y>0上取一点P,使过P点椭圆的切线与坐标22ab
轴所围成的三角形的面积最小(
AC2在△ABC中，tanA:tanB:tanC=1:2:3，求(AB
3(在正方体ABCD—ABCD中,E、F、G点分别为ADAAAB中点，1111111求:(1B到面EFG距离;(2二面角G-EF—D平面角,(1444(在实数范围内求方程:的实数根(1073，，,,xx
nnsin,，cos,sin,，cos,,a5(已知，，，求关于a的表达式(0,a,26(直线I与双曲线xy,1交于P和Q两点，直线I与x轴交于A,与y轴交于B,求证：AP,BQ(xn,4121,,,,,,
，，7(定义在R上的函数fx,，S,f，f，，f
n=2,3,…?,,,,,,nxnnn4，2,,,,,,
111，，，,?M,n,2(1求；(2
是否存在常数M>0，有(SnSSS231n,
2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题一、填空题(每题5分，共50分
1(矩形ABCD中,AD=aAB=b过AC作相距为h的平行线AEAFDCF,贝UAF=_(
2(一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是_________(BCE3(2005〜的末尾有连续_________零(3210x4(展开式中，项的系数为___________((2xx,,
5(在地面距离塔基分别为100m200m300m的AB、C处测得塔顶的仰角分别为，贝塔高为______________(,,,,,,,,,90且，，,:
6(三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为



在一次游戏中，甲获胜的概率为____________(
2yxaxa,,,,,,,log((,13在7(函数上单调递增，则实数a的取值范围是3(528(的非实数根，=____________(,,,(1(1，，,是x,1
9(2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_______种不同的面值(k,210(已知，则数列前100项和为__________(a,{}aknkkk!(1!(2!
，，，，
二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分211(a,b,c,R，abc,0，b,c，a(b,cx，b(c,ax，c(a,b,0有两个相等根，111成等差数列(求证:,,abc
2x2，,,ya1(112(椭圆，一顶点A(0,1，是否存在这样的以A为直角顶点的内接于椭2a
圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由(213(已知|z|=1,k是实数，z是复数，求|z+kz+1|的最大值(14(若函数形式为为关于x的多项式，fxyaxbycxdyaxcx(,((((,(,(,其中
bydy(,(fxy(,为关于y的多项式，则称为P类函数，判断下列函数是否是P类函数，并说明理由(22(11+xy;(21+xy+xy(
32215(设(kxkxkxk,，，，，,9,29270解方程
2006年复旦大学推优、保送生考试数学试题1((本题20分求和:(17777777777，，，，？？,,,,,n个7

，


(2200520052005200520052005200520052005，，，，？？,,,,,,,,,n个20052((本题15分试构造函数f(x,g(x其定域为(0,1，值域为[0,1](1对于任意a,[0,1]，f(x,a只有一解;(2对于任意a,[0,1]，g(x,a有无穷多个解(
3((本题15分对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四
位数(
14((本题15分对于任意均为非负实数，且，nNxxx,,,,？xxx，，，,？12n12n21试用数学归纳法证明:成立(,,,,xxx
？(1(1(112n2
,,,,,?nnnnn2
0212222nn5((本题20分求证:(((((CCCCC
2xaxb,,6((本题20分a,b满足何条件，可使,1恒成立(2xx,,22
7((本题20分下列各式能否在实数范围内分解因式,若能，请作出分解;若不能，请说
232432明理由((1x+1(2x+x+1(3x+x+x+1(4x+x+x+x+1,8((本题20分解三角方程:为一实常数(axxasin(sin29,，,，4
2x2,yx,2CCy:1,,9((本题20分已知曲线，曲线C关于直线对称的曲线为曲线，41,,,,,,CCCC曲线与曲线关于直线对称，求曲线、的方程(yx,,，52
210((本题20分已知抛物线，直线都过点(1，,2且互相垂直，若抛物线yax,ll,12与直线l,l中至少一条相交，求a的取值范围(12
11((本题15分f(x在[1,,,上单调递增，且对任意x,y,[1,,,，都有f(x，y,f(x，f(y成立，
证明：存在常数k，使f(x,kx在x,[1,,,上成立(



上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分fx(2(3(2361fxfxx
，,,，fx(,1(设函数满足，则(
11ab364,,abc,,2(设均为实数，且，则(,,ab
x2axxa，,,，，122a,0a,13(设且，则方程的解的个数为(4(设扇形的周长为6，则其面积的最大值为(11!22!33!!,，,，,，，,,？nn5((22xxyy(1(1,,,MN,6(最小值为(
x21n,fx(,7(设函数，则(Sfxfxnfx,，，，，,12(3((
？x
设不等式与的解集分别为M和N(若，则k的xyk，
25fxaxax((cos(sin,，，a,08(设，且函数的最大值为，则(a,2
9(6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为(
21x,n,1,2,？10(已知函数，对于，定义，若，fxffx(((,fxfx((,fx(,1nn
则(fx(,28
二、计算与证明题(每小题10分，共50分11(工件内圆弧半径测量问题(
为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与ROOO,,r123工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度h，O2
rmmhmm,,10,4用h表示的函数关系式，并计算当时，的值(试写出RR

，11553x，1



fx(fxxx(sincos,，12(设函数，试讨论的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期
0,2，性，求其极值，并作出其在内的图像(,,
2313(已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标(M
43214(设，试证明对任意实数：fxaxxaxa((1(324,fx(0,(1方程总有相同实根；(2存在，恒有(xfx(0,00
ba15(已知等差数列的首项为，公差为b，等比数列的首项为b，公比为，aa,,,,nnn,1,2,？ab,，其中均为正整数，且(ababa,,,,11223(1求的值;a
ab,(2若对于，存在关系式，试求b的值；ab，,1,,,,nnmn(3对于满足⑵中关系式的，试求(aaaa，，，？m12m
参考答案:21x,1.12.,23.294.4

ABABMyxy,
，，,，,a


n，,1!15.，，6.2
1,nnx，,10，，,2,7.,n，,,n1121，，，，,x,0,,48.,22439.4523x,10.53,x
22Rmm,6011.，Rrr,，h
11,11,k，，，，，，，kZ,kZ,kk,，k，,12.;偶函数;;;1,2,,,,
，，，，,,,,，，242224，，，，
,周期为2
,,525M,,13.;d,,,min,,424,,14.略;反证法
232nn,,322，，15.2;3;
2008年交大冬令营数学试题2008.1.1一(填空题x,213,1fx,1(若，，则((gxfx((,g(_______,xx,12(函数的最大值为__________(y,2x,8
3(等差数列中，，则前项和取最大值时，的值为_____________(53aa,Snn813n22zazaa,，,,20||1z,4(复数,若存在负数使得，则(a,________a1335(若，则(cossin______xx,,cossinxx,,2
1a,a6(数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和,,nnnnnn，，，1(1(S,______99
329899x7(……中的系数为________(,,,,(1(1xx(1(1
,,,,xx
，215
135a8(数列中，，，，，，，，a,0a,6a,20a,42a,,a,,a,,,,n13502462467,,_____________________________此数列的通项公式为(a,a,72a,,7n88



9(甲、乙两厂生产同一种商品(甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%;甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%(若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为_______________(
222210(若曲线与Cxay:(1,a,______(Cxy:0,,21
二(解答题
1(30个人排成矩形，身高各不相同(把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为;把每a
b行最高的人选出，这些人中最矮的设为(b(,是否有可能比高,ab(,和是否可能相等,a2(0a,fxx(,ffxx((,2(
已知函数，且没有实数根(那么是fxaxbxc(,，，，,的图像有3个交点，则
否有实数根,并证明你的结论(
3(世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛(规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分(比赛结束后前两名可以晋级((,由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分(于是
甲专家预测:中国队至少得10分才能确保出线;乙专家预测:中国队至少得11分才能确保出线(问:甲、乙专家哪个说的对,为什么,
1(,若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线inN、,4(通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，(设(,,,aaaa......a,0123ni



duv(,，，表示和中相对应的元素不同的uaaaa,(,,........vbbbb,(,,........uv123n123n个数(u,(0,0,0,0,0duv(,1,(,u,(1,1,1,1,1duv(,3,(,
问存在多少个5元数组使得;v问存在多少个5元数组使得;v(,
令，，，个0
uaaaa,(,,........vbbbb,(,,........w,(0,0,00..........123n123n,,,,,n
duwdvwduv(,(,(,，,求证:(
222AB、ypxp,,205(曲线与圆交于两点，线段的中点在AByx,(23xy,，,，，上，求(p
2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1一(填空题x,213,1fx,1(若，，则(2(gxfx((,g(________,xx，112(函数的最大值为________(y,24x，8
3(等差数列中，，则前项和取最大值时，的值为____________(2053aa,Snn813n15,22zazaa,，,,20||1z,4(
复数,若存在负数使得，则(a,________a2
，215
111335(若，则(cossin________xx,,cossinxx,,1621a,a6(数列的通项公式为，则这个数列的前9(S,_____9910
3429899x7(……中的系数为(3921225________C,,,,,(1(1xx(1(1
，，，，xx100
99项之和，,nnnnnn,,,1(1
135a8(数列中，，，，，，，，a,0a,6a,20a,42a,,a,,a,,,,n1350246246nn(1,7(1(1,
，nn,,此数列的通项公式为(a,_________a,72a,,n788



9(甲、乙两厂生产同一种商品(甲厂生产的此商品占市场上的80%乙厂生产的占20%;甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为90%若某人购买了此商品发现为次品，
2则此次品为甲厂生产的概率为___________(3
222210(若曲线与Cxay:(1,，,的图像有3个交点，贝U(,1Cxy:0,,a,21二(解答题
1(30个人排成矩形，身高各不相同(把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每a
b行最高的人选出，这些人中最矮的设为(b(,是否有可能比高,ab(,和是否可能相等,a11(解:不可能，，
a、bab,?若为同一人，有；a、bab,?若在同一行、列，则均有；
a、bb?若不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记所在列与所在a行相交的人为。x
因为为列最矮的人，所以有；aa、xax,bx、bx,又因为b为列最高的人，所以有；axb,,于是有。ab,综上，不可能有









1




b



a





1,2,330……2有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为，如图2所
ab,,26此时有(
2(0a,fxx(,ffxx((,2(已知函数，且没有实数根(那么是fxaxbxc(,，，根,并证明你的结论(解:没有.
2法一:无实数根，fxxaxbxc((10,,，,，,2;,,,,,(140bacffxx((0,,(
222aaxbxcbaxbxccx((0，，，，，，,,
22222(aaxbxcaxaxbaxbxccx((0，，,，，，，，2222(aaxbxcxaxbxcxbaxbxcb(((1(1(10，，222，，，，，，
aaxbxcaxbxcbaxbxc，,，，，，，，，,，,(1(1(1(10(，222，，，，axbxcaxabxbc，,，，，，，，,(1(110(，，222于是有或(axbxc，,，,(10axabxacb，，，，，,(1102;,,,,,(140bac1
222,,，,，，abaacb(14(12222，，,,,,,,abaca(14440。，，实数根。
fxx(,a,0法二:若，则，ffxfxx(((,,;于是fxx(,若a,0，贝U，ffxfxx(((,,于是;
ffxx((,没有实数根。所以

否有实数
故均不存在

3(世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛(规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分(比赛结束后前两名可以晋级((,由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分(于是
甲专家预测:中国队至少得10分才能确保出线;
乙专家预测:中国队至少得11分才能确保出线(问:甲、乙专家哪个说的对,为什么,1中条件，中国队至少得多少分才能确保出线,(,若不考虑，，1解:乙专家，，
若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。
澳澳中中卡卡伊伊总分30303312澳03130310中03103310卡0030003伊
假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾〜
所以中国队得11分可以确保出线。
2若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。，，澳澳中中卡卡伊伊总分30303312澳



0303331203303312卡0000000伊
中
假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾〜故中国队至少得13分才可以确保
出线。
inN、,4(通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，(设(,,,aaaa.........a,0123ni
duv(,，，表示和中相对应的元素不同的uaaaa,(,,.........vbbbb,(,,.........uv123n123n个数(
u,(0,0,0,0,0duv(,1,问存在多少个5元数组使得;(,vu,(1,1,1,1,1duv(,3,(,问存在多少个5元数组使得;v(,
令，，，
uaaaa,(,,.........vbbbb,(,,..........w,(0,0,00.....123n123n,,,,,n个0
duwdvwduv(,(,(,，,求证:(1解:5;，，32;C,10，，5
3记中对应项同时为0的项的个数为，对应项同时为1的项的个数为，则pquv、，，
(pqNpqn、，,，,对应项一个为1，一个为0的项的个数为;(npq,,duw(,dvw(,duv(,即是中1的个数，即是中1的个数，是中对应项一个uv、为1,一个为0的项的个数。
duvnpq(,,,,于是有

uv

2(qnpq，,,duwdvwnpq(,(,，,,，中1一共有个，即uv、duwdvwduvq(,(,(,20
，,,,所以有
duwdvwduv(,(,(,，,于是(
222AB、ypxp,,205(曲线与圆交于两点，线段的中点在AByx,(23xy,，,，，上，求(p
解:设，，Axy(,Bxy(,1122222联立与，(23xy,，,ypx,22得:(xpx，,，,2(210XX,12知，；，,2pxx,1122
222yyyyyypxx，,，,,，(22(12121212且(yyxx，,，1212得(yypp,,,4(2(1122222又(yypxxp,,4412122所以yyppp,,,，2812412717,717，p,p,解得或(舍(44


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