2016辽宁轻工职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)

一、选择题：（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．函数的最小正周期为 （ ）

A．2π B．π C． D．

2．如图，I是全集，M、N、S是I的子集，则图中阴影部分所示集合是 （ ）

A． B．

C． D．

3．函数的大致图象是 （ ）

4．实数x，y满足x+2y=4，则3x+9y最小值为 （ ）

A．18 B．12 C． D．

5．若关于x的方程有解，则m的取值范围是（ ）

A．m＞10 B．0＜m＜100 C．0＜m＜10 D．0＜m≤10－3

6．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲商品因供不应求，连续两次提价10%，

而乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后甲、乙两种电脑均以9801元

售出.若商场同时售出甲、乙电脑各一台与价格不升不降比较，商场盈利情况是 （ ）

A．前后相同 B．少赚598元 C．多赚980.1元 D．多赚490.05元

7．（理科做）在极坐标方程中，曲线C的方程是，过点作曲线C的切线，

则切线长为 （ ）

A．4 B． C． D．

（文科做）函数的最大值为（ ）

A．10 B．9 C．8 D．7

8．右图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶

点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

9．数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相

邻三项.若b2=5， 则bn= （ ）

A．5· B．5· C．3· D．3·

10．过双曲线的右焦点F作一条长为的弦AB，将双曲线绕其右准线旋转

240°，则由弦AB生成的曲面面积为 （ ）

A．40π B．30π C．20π D．10π

11．设的展开式的各项系数之和为M，而二项式系数之和为N，且M－N=992.

则展开式中x2项的系数为 （ ）

A．250 B．－250 C．150 D．－150

12．某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F为左焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m

千米，远地点B距离地面n千米，地球的半径为k千米.关于椭圆有以下四种说法：

①焦距长为n－m；②短轴长为；③离心率为；

④以AB方向为x轴的正方向，F为坐标原点，则左准线方程为

以上正确的说法有 （ ）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：（每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。）

13．某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调5名教师，每所学校至

少抽调1人到山区5所学校支援，每校一人，则有 种支教方案.

14．数列，则数列的通项为an= .

15．过底面边长为1的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为，那么

这个三棱锥的侧面与底面所成角的正切值为 .

16．一系列椭圆以定值线l为准线，所有椭圆的中心都在定点M，点M到l的距离为2，若

这一系列椭圆的离心率组成以为首项，公比为的等比数列，而椭圆相应的长轴长

为Cn，则为 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知关于x的方程：有实数根b.

（1）求实数a，b的值；

（2）若复数z满足求，z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.

18．（12分）三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧面AA1C1C是菱形，

PA⊥BC，点P是A1C1的中点，∠C1CA=60°.

（1）求证：PA⊥平面ABC；

（2）求直线CC1与直线B1P所成角的正弦值；

（3）求四棱锥P—AA1B1B的体积.

19．（12分）函数对任意的m，n∈R都有，并且当x＞0

时，.

（1）求证：在R上是增函数；

（2）若，解不等式.

20．（12分）（文科做）已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用

甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物

内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

（1）用x，y表示混合食物成本c元；

（2）确定x，y，z的值，使成本最低.

（理科做）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度

d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.

（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？

（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，

其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

21．（12分）等比数列{an}首项为a1=2002，公比为.

（1）设表示该数列的前n项的积，求的表达式；

（2）（理科做）当n取何值时，有最大值.

（文科做）当n取何值时，||有最大值.

22．（14分）双曲线G的中心在原点O，并以抛物线的顶点为右焦点，以

此抛物线的准线为右准线.

（1）求双曲线G的方程；

（2）设直线与双曲线G相交于A、B两点，

①当k为何值时，原点O在以AB为直径的圆上？

②（理科做，文科不做）是否存在这样的实数k，使A、B两点关于直线为

常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

CABAD BC（D文）CDA BC

二、填空题：（每小题4分，共16分）

13．720 14． 15．2； 16．

三、解答题：（共74分）

17．（12分）解

（1）∵b是方程的实根，∴（b2－6b+9）+（a－b）i=02分

故…………………4分 解得a=b=3……………………6分

（2）设 由，得…8分

即 ∴z点的轨迹是以O1（－1，1）为圆心，

为半径的圆.……………………………10分

如图，当z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，

，∴当z=1－i，时………………11分

最小值，……………………………12分

18．（12分）证明：（1）∵四边形AA1C1C是菱形，∠C1CA=60°，∴△AC1A1是正三角形，又P是A1C1

的中点，∴PA⊥A1C1，……2分 ∴PA⊥AC. 又PA⊥BC，AC∩BC=C ∴PA⊥平面ABC.……4分

（2）由（1），PA⊥平面ABC，∴PA⊥平面 A1B1C1，由△AC1A1是正三角形，∴PB1⊥A1C1， 6分

∴B1P⊥平面AA1C1C，∴B1P⊥CC1. ∴CC1与B1P所成的角的正弦值为1.…………8分

（3）……10分 ……………12分

19．（12分）（1）证明：设，且，则……………2分

而………………4分

∴是增函数.……………………6分

（2）解：

……………8分 ∴不等式即，

是增函数，∴……………10分 解得－3＜a＜2…………12分

20．（12分）解：（文科）解：（1）依题意， 2分

（2）由 得，，……4分

…………6分 …………8分

当且仅当时等号成立.……………10分 ∴当x=50千克，y=20千克，

z=30千克时，混合物成本最低为850元.………………………………………12分

（理科）解（1）安全负荷为正常数） 翻转………2分

，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变小. 6分

（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则.

∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.

……8分

.………………………………………10分，当且仅当，即取，

取时，u最大， 即安全负荷最大.………………12分

21．（12分）解：（1）等比数列的通项为……………………………2分

前n项的积为………5分

（2）（文科）令，……6分………………8分

，…………………………………………10分

，b11是最大值.

故当n=11时，……………………………12分

（理科）………6分 ∴当＞1，

……7分 当＞10时，＜1，

，……………………………8分

……10分 故，只需比较f（9）与f（12）的

大小就可以确定f（n）的最大值.

………………11分

故，n=12时，f（n）有最大值.…………………12分

22．（14分）解：（1）抛物线的项点为（文2理1分）

准线为……………………………（文4，理2分）

设双曲线G为则有，可得，a2=3，b2=9.

∴双曲线G的方程为.……………………（文6，理4分）

（2）①由，得………………………………（文7分）

又由.………（文8，理5分）

设…………………………（文9分）

∵若原点O在AB为直径的圆上，有OA⊥OB，KOA·KOB=－1，，即

……（文10，理6分） 化简为

………（文12，理7分）解得，.

故，当k=±1时，原点O在AB为直径的圆上.………（文14，理8分）

②设这样的实数k存在，则有

由②③得，…………………………………………（12分）

即，推得km=3，……………………………………（13分）

这与km=－1矛盾，所以适合条件的k不存在.………………………（14分）

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