2021届神州智达高三诊断性大联考（二）文数试卷(质检卷II)

2019届神州智达高三诊断性大联考（二）文数试卷（质检卷II）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合则（ ）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，且复数满足则复数在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是

A．乙的记忆能力优于甲的记忆能力

B．乙的创造力优于观察能力

C．甲的六大能力整体水平优于乙

D．甲的六大能力中记忆能力最差

4．在中，若则（ ）

A． B． C． D．

5．已知是等差数列的前项和，则（ ）

A． B． C． D．

6．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具)先后抛掷次，记第一次出现的点数为第二次出现的点数为则的概率为（ ）

A． B． C． D．

7．已知为坐标原点，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，若则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

8．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则在处的切线斜率为（ ）

A． B． C． D．

9．立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.已知正方体的内切球的直径为过球的一条直径作该正方体的截面，所得的截面面积的最大值为（ ）

A． B． C． D．

10．已知函数，若相邻两个极值点的距离为且当时， 取得最小值，将的图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象，则满足题意的的最小正值为（ ）

A． B． C． D．

11．如图，在三棱锥中，两两垂直，且点为中点，若直线与底面所成的角为则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B．

C． D．

12．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数有零点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知函数是上的偶函数，则_________．

14．已知点满足约束条件，则的最小值是___________．

15．已知数列中，数列为公比不为的等比数列，且则____________．

16．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上异于原点的任意一点，直线交抛物线于点分别过点作抛物线的切线，两条切线交于点以为直径作为圆心，则线段长度的最小值为__________．

三、解答题

17．已知中角所对的边分别为且.

（1）求角；

（2）若且的面积为求的周长，

18．炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量与冶炼时间（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：

（1）据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明（，则认为与有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，精确到0.001）；

（2）建立关于的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；

（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，

，相关系数

参考数据：，

.

19．在如图所示的四棱锥中，底面为菱形，,为正三角形.

（1）证明:；

（2）若，四棱锥的体积为16，求的长.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆过点离心率点在椭圆上，延长与椭圆交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）记与的面积之和为求的最大值.

21．已知函数其中实数.

（1）当时，求函数的最小值.

（2）已知当时，恒成立，求的取值范围.

22．已知平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且过点以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程并说明其轨迹；

（2）若直线与曲线相交于两点，求.

23．已知函数

（1）当时，求不等式的解集.

（2）若函数的值域包含集合求实数的取值范围.

参考答案

1．A

【分析】

分别求出集合，然后求交集即可.

【详解】

解：由已知得

故选：A

【点睛】

考查集合的运算，是基础题.

2．A

【分析】

求出复数，然后根据复数的几何意义判断即可.

【详解】

解：

故复数在复平面内的对应点位于第一象限

故选：A

【点睛】

考查复数的运算及其几何意义，是基础题.

3．C

【解析】

【分析】

从六维能力雷达图中我们可以得到甲的各种能力的大小、乙的各种能力的大小以及甲、乙的各项能力的大小关系等，从而可判断A，B，D.而整体水平的优劣取决于六种能力的数字之和的大小，计算可得孰优孰劣.

【详解】

从六维能力雷达图上可以得到甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错.

乙的创造力为3，观察能力为4，乙的观察能力优于创造力，故B错.

甲的六大能力总和为，乙的六大能力总和为，

故甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确.

甲的六大能力中，推理能力为3，为最差能力，故D错.

综上，选C.

【点睛】

本题为图形信息题，要求不仅能从图形中看出两类数据之间的差异，还要能根据要求处理所给数据.

4．C

【分析】

先把拆成，然后根据向量加法法则进行运算，注意用上即可求解.

【详解】

解：

为边的中点.

故选：C

【点睛】

考查向量的线性运算和中点向量公式，是基础题.

5．C

【分析】

根据是等差数列，由列出关于和的方程组，然后求解即可.

【详解】

解：由

得

又由，

，

故选：C

【点睛】

考查等差数列的有关运算，是基础题.

6．D

【分析】

根据题意，列表表示两次出现的点数情况，然后找出满足的情况，再利用对立事件概率的性质求概率即可.

【详解】

解：根据题意，列表表示两次出现的点数情况:

共种情况，其中的有种情况，

则的概率为

故选：

【点睛】

考查古典概型的概率运算，是基础题.

7．A

【分析】

根据和双曲线的性质确定为直角三角形且，然后根据离心率的定义代入计算即可.

【详解】

解：若

则

又.

故选：A

【点睛】

考查双曲线的性质及有关运算，是基础题.

8．D

【分析】

先根据为奇函数，确定的值，再求出时的解析式，然后求导数即可得斜率.

【详解】

解：函数是定义在上的奇函数，得

故当时，

时，

0' altImg='26b50ca766f98affaecba8bdcd0f19ad.png' w='169' h='21' class='_5'>，

在处的切线斜率为，

故选：D

【点睛】

考查奇函数的性质及曲线在某一点处的切线斜率的求法，是基础题.

9．D

【分析】

先判断出正方体的内切球直经就是其棱长，显然截面面积最大是对角面.

【详解】

解：当截面为正方体的对角面时，截面面积最大，

由已知得正方体棱长为截面面积的最大值为

故选：D

【点睛】

考查正方体的截面问题的有关计算，是基础题.

10．A

【分析】

根据相邻两个极值点的距离为求出最小正周期，进一步求出，再根据当时， 取得最小值，求出，再根据平移关系即可求解.

【详解】

解：由函数相邻两个极值点的距离为，

知函数最小正周期为

由时，取得最小值，

知，

图象向左平移个单位，得

由题意得

故满足题意的的最小正值为

故选： A

【点睛】

考查型函数的有关性质，是基础题.

11．C

【分析】

根据两两垂直确定再将三棱锥补成正方体，正方体的对角线就是三棱锥的外接球的直径，最后求外接球的表面积即可.

【详解】

解：点为的中点

两两垂直，

平面

为直线与底面所成的角，

由题意可知，

将三棱锥补成棱长分别为的长方体，

设三棱锥外接球的半径为

则，

三棱锥外接球的表面积为

故选：C

【点睛】

本题考查三条侧棱两两互相垂直的三棱锥的外接球的表面积的求法，三条侧棱两两互相垂直的三棱锥可以由长方体分割得到，这样便于理解，本题是基础题.

12．B

【解析】

作出函数的图象如图，

由图可知，函数 有零点，即有根，与在上有交点，则的最小值为，设过原点的直线与的切点为，由得，则切线方程为，把代入，可得，即，∴切线斜率为，即的取值范围是，故选B．

点睛：本题考查函利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，较难； 作出函数的图象，可知，把题意转化为与在上有交点，然后利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围．

13．

【分析】

先求，再根据是偶函数，得即可.

【详解】

解：函数是上的偶函数.

【点睛】

本题考查偶函数的有关性质，是基础题.

14．

【分析】

先画出可行域，然后表示出，根据截距可求最小值.

【详解】

由约束条件作出可行域如右图阴影部分所示，

，，

，

当直线经过点时，的最小值为.

【点睛】

考查线性规划的有关知识，是基础题.

15．

【分析】

先表示出，然后根据是等比数列即可求解.

【详解】

解：由己知得，

因为数列为等比数列，，

所以.

故答案为：4.

【点睛】

已知等比数列求其中参数，考查等比数列的性质，是基础题.

16．

【分析】

表示出直线把它和抛物线联立，得到两根之积，判断出直线和互相垂直，从而得出点在以为直径的圆上，为的中位线，再根据基本不等式可求.

【详解】

解：由题意得

设直线

由得

故又

因此过的抛物线的切线的斜率为

同理过的拋物线的切线斜率为

因此

则点在以为直径的上，

且又

故线段长度的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线的性质、曲线上过某一点的切线的斜率的求法及基本不等式的应用，是中档题.

17．（1）（2）6

【分析】

由 ，根据正余弦定理易求.

由得再用余弦定理表示出解方程即可.

【详解】

解：由正弦定理得，

由余弦定理，得

则

又

由得

又由余弦定理，得

，

为

的周长为.

【点睛】

本题主要考查正、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题.

18．（1）可以认为与有较强的线性相关关系;（2）;（3）172min

【分析】

(1)代入公式计算r，再作判断，(2)根据数据计算 ，利用计算 ，(3)即计算时对应函数值.

【详解】

（1）由题得

可以认为与有较强的线性相关关系.

（2）

所以回归方程为

（3）当时，

即大约需要冶炼172min

【点睛】

函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.

19．（1）见解析（2）

【解析】

分析：（1）由正三角形的性质可得，，根据线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直的性质可得结论；（2）根据勾股定理，，结合可得，平面，设，利用棱锥的体积公式列方程解得，由勾股定理可得的长.

详解：（1）证明：取中点为,连接

∵底面为菱形，,

∴为正三角形，

∴

又∵为正三角形，

∴

又∵平面,平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）法一：设，则，

在正三角形中，，同理，

∴，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面,

∴，

∴，

∵

∴

∴.

法二：设，则，

在正三角形中，，同理，

∴，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面,

∴，

∴，

连接,

∵在中，，

∴由余弦定理得，

∴在中，.

点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

20．（1）（2）最大值为

【分析】

根据椭圆过点和离心率易求.

分两种情况：的斜率不存在和斜率存在；的斜率存在时，设出的方程，证明，从而表示出，然后再利用换元法求最大值.

【详解】

解：依题意，得，

解得

故椭圆的方程为

当直线的斜率不存在时，其方程为

此时

当直线的斜率存在时，

设其方程为，设，

显然直线不与轴重合，即

联立，解得

故

因为

故分别为的中点，

故

故与同底等高，

故，

点到直线的距离

令，

故

故的最大值为

【点睛】

知识：椭圆方程、韦达定理的应用、直线和椭圆的位置关系及弦长公式的求解、求函数的最值的方法等.能力：考查了逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.是难题.

21．（1）.（2）

【分析】

（1）把代入原函数，根据函数的单调性易求的最小值.

（2）构造新函数，求的最大值即可.

【详解】

解：函数定义域为

当时，

令0,' altImg='4a7df10e10e211c272e66a0fa6418cec.png' w='86' h='21' class='_8'>解得；

令解得，

所以在处取得唯一的极小值，即最小值.

所以函数的最小值为.

令，

因为

又因为

所以

所以当时，则时

所以函数单调递减，

所以有恒成立；

当时，则时0,' altImg='fc2804dd680be6142f1db30ab0004957.png' w='89' h='21' class='_8'>

所以函数单调递增，

所以不符合题意.

综上，的取值范围是.

【点睛】

知识：利用导数求函数的单调区间、最值，不等式恒成立求参数的取值范围.能力：推理论证能力、分析问题、解决问题的能力、运算求解能力.试题难度大.

22．（1）曲线的普通方程为，其轨迹是以为圆心，为半径的圆.（2）

【分析】

（1）用公式直接代入即可.

（2）设出的参数方程，利用参数的几何意义求解即可.

【详解】

解：曲线的极坐标方程为

即

也就是

即得，

即得

故曲线的普通方程为

其轨迹是以为圆心，为半径的圆.

由条件可设直线的参数方程: (为参数)，

将代入

化简并整理，得

设对应的参数分别为，

则且

因此

故所求的的值为.

【点睛】

知识：极坐标方程转化为普通方程和参数方程中参数的几何意义求距离.能力：逻辑思维能力和运算求解能力.中档题.

23．（1）（2）

【分析】

（1）根据绝对值不等式解法，分两种情况讨论即可.

（2）把分段表示，然后根据两个集合的关系求解即可.

【详解】

解:当时，原不等式即为

当即时，无解；

当即时，，

解得.

所以

所以当时，取得最小值

所以的值域为

若则

解得

即实数的取值范围为

【点睛】

知识：考查绝对值不等式的解法和已知两个集合的关系求其中参数.能力：考查运算求解能力和逻辑思维能力.中档题.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/157634791511cc7931b765ce0508763231127431.html