2019年河南省中考数学试卷解析

{来源}2019年河南省中考数学试卷

{适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年河南省中考数学试卷

考试时间：100分钟 满分：120分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．

{题目}1．（2019河南省，T1） 7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png的绝对值是( )

b91133982ea335bf779ea66323ee2ab5.png 21a74c7ec9758aead348c0ed50849a25.png 5b605770b62e7464af469b4aaceef27a.png 99086ca93d0648a741e58e1abc466257.png

{答案} B

{解析}本题考查了绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的意义．此类问题容易出错的地方是容易与倒数或相反数混淆．根据绝对值的意义:一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，从而可得7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png的绝对值是93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，即04ea9394a2571b3e699566884fc5f4c9.png．

故答案选B

{分值}3

{章节:[1-1-2-4]绝对值}

{考点:绝对值的意义}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2．（2019河南省,T2） 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克 ．数据“0.0000046”用科学记数法表示为

（A） 46×10-7 （B） 4.6×10-7 （C）4.6×10-6 （D）0.46×10-5

{答案} C

{解析}本题考查了科学记数法，解题的关键是正确确定a的值以及n的值．

0.0000046是绝对值小于1的数，这类数用科学计数法表示的方法是写成a×10-n（1≤9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png＜10，n＞0 ）的形式，关键是确定－n，确定了n的值，－n的值就确定了．确定方法是：n 的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．故0.0000046中左起第一个非零数为4，其左边六个零，即0.0000046=4.6×10-6．答案选C．

{分值}3

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}

{类别:常考题}{类别:易错题}

{难度:2-简单}

{题目}3．（2019河南省,T3） 如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为

（A）45° （B）48° （C）50° （D）58°

{答案} B

{解析}如图，设CD和BE的交点为F，

∵AB∥CD，∠B=75°，∴∠B=∠CFE=75°，∵∠CFE=∠D+∠E， ∠E=27°，

∴∠D=∠CFE-∠E=75°-27°=48°.故选B．

{分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{考点:两直线平行同位角相等}

{类别:常考题}{类别:易错题}

{难度:2-简单}

{题目}4．（2019河南卷,T4）下列计算正确的是（　　　）

A.a00e7eaaae9a2f51725c7f832ce716fa.png B.9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png C.415290769594460e2e485922904f345d.png D.790a6b75fc9f0e1800690c00e27c468e.png

{答案} D

{解析}本题考查了合并同类项、积的乘方、乘法公式、合并同类二次根式，A合并同类项系数2+3=5，,不是2×3=6，B错-3的平方等于9，C中乘法公式用错，D正确，选D

{分值}3

{章节:[1-14-1]整式的乘法}

{考点:多项式乘以多项式}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}5.（2019河南,T5）如图（1）是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图（2），关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（　　　）

A.主视图相同 B.左视图相同 C. 俯视图相同 D.三种视图都不相同

{答案} c

{解析}本题考查了三视图，对比平移前后结果A主视图不同，B左视图不同，AB选项不对，C俯视图相同，C正确.故选Ｃ．

{分值}3

{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形}

{考点:简单组合体的三视图}

{类别:常考题}{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}6．（2019河南,T6）一元二次方程9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的根的情况是（　　　）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根

{答案} A

{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，先化简，∵d9d1bea7fdf08cc1324db4d29da0cc11.png，∴2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，△=d9d1bea7fdf08cc1324db4d29da0cc11.png>0，故选A

{分值}3

{章节:[1-21-2-2]公式法}

{考点:根的判别式}

{类别:常考题}{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}7．（2019河南,T7）．某超市销售 A，B，C，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）

A．1.95 元 B．2.15 元 C．2.25 元 D．2.75 元

{答案}C

{解析}本题考查了加权平均数的概念和意义，由题意可知各种不同价格的百分比就是权重，最终的平均数就等于每个价格乘以权重，所以平均单价为：5×10%+3×15%+2×55%+1×10%=2.25，所以最后的平均单价为2.25元.因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-20-1-1]平均数}

{考点:加权平均数（权重为百分比）}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}8．（2019年河南,T8）已知抛物线 y = x2 +bx + 4 经过(-2 ，n)和）(4 ，n)两点，则 n 的值为（ ）

A． 2 B． 4 C．2 D．4

{答案}B

{解析}本题考查了二次函数的对称性;中点坐标公式;求对称轴的公式及二次函数解析式，由题意知抛物线过（-2，n）和（4，n）,说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x=1，所以-9948b8e022e4b502ead8d4ec77a15fdf.png=1，又因为a=-1，所以可得b=2，即抛物线的解析式为y=-x2+2x+4，把x=-2代入解得n=-4.因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{类别:常考题}

{难度:4-较高难度}

{题目}9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3，分别以点A，C为圆心，大于93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngAC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）

A.44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png

B.4

C.3

D.216554093aa007ab9947ed316b9c44a1.png

{答案}A

{解析}本题考查了尺规作图 ，矩形的判定及性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质 ，勾股定理，如图，过点B做BM⊥AD于点M,连结AE、CE，

∵AD∥BC，∴∠BCD+∠D=180°，又∵∠D=90°∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°，

∴四边形BCDM为矩形 ，∴MD=BC=3 ， BM=CD，由作图可知AE=CE 又∵O是AC的中点，

∴EO⊥AC，∴EB是AC的垂直平分线，∴AB=BC=3.

在Rt△ABM中，∠AMB=90°，AM=AD-MD=1，

∴BM=d2e4d348666d8ebb4982fbebb3894fd6.png ，∴CD= 44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png.故选A.

word/media/image30_1.png

{分值}3

{章节:[1-18-2-1]矩形}

{考点:矩形的性质}

{考点:矩形的判定}

{类别:常考题}

{难度:4-较高难度}

word/media/image31_1.png10．（2019河南，T10）如图，在△OAB中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）

A.（10,3）

B.（-3,10）

C.（10，-3）

D.（3，-10）

【答案】D

【解析】由A、B两点的坐标可知线段AB的长度和它与x轴的关系，由正方形的性质可知AD=AB，延长DA交x轴于点M,则DA⊥x轴，Rt△DMO中，MO=3,DM=10，将△OAB和正方形ABCD绕点O每次顺时针旋转90°，Rt△DMO也同步绕点O每次顺时针旋转90°，点D的落点坐标可由Rt△DMO的旋转得到。仔细观察图形得到点D坐标的变化规律，每旋转四次完成一个循环，从而可得到第70次旋转后的坐标。

【解题过程】如图，延长DA交x轴于点M，∵A（-3,4），B（3,4），∴AB=6,AB∥x轴，∵四边形

ABCD为正方形，∴AD=AB=6,∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°.连结OD,Rt△DMO中，MO=3 DM=10 则

点D的坐标为（-3,10），将△OAB和正方形ABCD绕点O每次顺时针旋转90°，Rt△DMO也同步绕点O每

次顺时针旋转90°，当图形绕点O顺时针第一次旋转90°后， 点D的坐标为（10,3）；当图形绕点O

顺时针第二次旋转90°后， 点D的坐标为（3,-10）；当图形绕点O顺时针第三次旋转90°后， 点D

的坐标为（-10,-3）；当图形绕点O顺时针第四次旋转90°后， 点D的坐标为（-3,10）；当图形绕

点O顺时针第五次旋转90°后， 点D的坐标为（10,3），……，每四次为一个循环.∵70÷4=17…2，

∴旋转70次后，点D的坐标为（3，-10）.故选D

word/media/image32_1.png

{分值}3

{章节:[1-23-1]图形的旋转}

{考点:正方形的性质}

{考点:坐标系内的旋转}

{考点:几何选择压轴}

{类别:常考题}

{难度:4-较高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．

{题目}11．（2019河南卷，T11）计算：a00e7eaaae9a2f51725c7f832ce716fa.png-2-1 = .

{答案}9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png

{解析}本题考查了二次根式、负整数指数幂，根据算术平方根的求法可以得到415290769594460e2e485922904f345d.png=2,2-1=790a6b75fc9f0e1800690c00e27c468e.png，可知2-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png=d9d1bea7fdf08cc1324db4d29da0cc11.png．

{分值}3

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}

{考点:负指数参与的运算}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}12．（2019河南,T12）不等式组2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的解集是 .

{答案} x≤-2

{解析}根据不等式组的解法，分别求出两个不等式的解集，在数轴上找出他们的公共部分，或者是根据“同大取大，同小取小，大大小小解不了，大小小大中间找”也能求出他们的解集.

解不等式41e4eeeeffc63436aa240249fc78b9a1.png≤-1得x≤-2，解不等式-x+7＞4得x＜3，∴不等式组的解集为x≤-2.

{分值}3

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}

{考点:解一元一次不等式组}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}13．（2019河南，T13）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 .

{答案}d9d1bea7fdf08cc1324db4d29da0cc11.png

{解析}在第一个袋子里随机摸出一个球，第一个袋子里的白球和第二个袋子里的黄球颜色不同，只有红色的颜色相同.第一个袋子摸出红球的概率为415290769594460e2e485922904f345d.png，第二个袋子里摸出红球概率为2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，所以摸出颜色相同的球的概率为10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png×ee98f4f9429a8bfcca4699ed2a57b764.png=68e749724dc0193048d0e86ace97b36d.png.

{分值}3

{章节:[1-25-2]用列举法求概率}

{考点:两步事件不放回}

{类别:常考题}

{难度:4-较高难度}

{题目}14．（2019河南，T14）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D,且OC⊥OA.OA=a00e7eaaae9a2f51725c7f832ce716fa.png，则阴影部分的面积为 .

{答案}9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png+π

{解析}本题考查了与圆有关的计算，（圆内半径相等），等腰三角形的性质（等边对等角），解直角三角形，特殊角三角函数，扇形的面积，不规则图形的转化.

解法1：

∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，∴OA=OB，所以∠BAO=∠ABO=415290769594460e2e485922904f345d.png（180°-120°）÷2=30°，

∵OC⊥OA，∴在Rt△AOD中，AO=790a6b75fc9f0e1800690c00e27c468e.png，∠BAO=30°，∴OD=AOtan∠BAO=9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png×d9d1bea7fdf08cc1324db4d29da0cc11.png=2，

又∵在△BOC中，∠BOC=∠AOB-∠AOD=120°-90°=30°.如图，过点B作BE⊥OC于点E

∴BE=OBsin30°=2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png×d9d1bea7fdf08cc1324db4d29da0cc11.png=415290769594460e2e485922904f345d.png，∴2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png=10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png

=ee98f4f9429a8bfcca4699ed2a57b764.png =68e749724dc0193048d0e86ace97b36d.png =fd20058c5d3f9f6cfe3bf6ade3ae6248.png.

解法2：∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，∴OA=OB,∴∠BAO=∠ABO=2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png（180°-120°）÷2=30°，

∵OC⊥OA，∴在Rt△AOD中，OD=AOtan∠BAO=2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png×bd4abd3d04693c3fa49cac51b0d0bb23.png=2，∴2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png=790a6b75fc9f0e1800690c00e27c468e.png×2×bd4564295cd57515cb876a3bac5fef07.png=03dd21edecf4c61ee25723a72ecdf3bf.png

如图，取AD的中点E，利用直角三角形斜边上的中线，可得①a00e7eaaae9a2f51725c7f832ce716fa.png=b66ba766f2624e55aa99371a17c0731a.png；②△AEOac71e6c4b55598aaccf35dcf42f38bb1.png△BDO，∴546c989ff4dfd5938c58a4c79b69fc37.png∴9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png=ee98f4f9429a8bfcca4699ed2a57b764.png+68e749724dc0193048d0e86ace97b36d.png=fd20058c5d3f9f6cfe3bf6ade3ae6248.png+π.

{分值}3

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}

{考点:扇形的面积}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题目}15．（2019河南,T15）如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，点E 在边BC 上，且BE =463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.pnga .连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 .

word/media/image73_1.png

{答案}1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png或fa21af7b4aa2fa85d9ddbe5a4ea785ad.png

{解析}本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定，一线三直角的相似，勾股定理的应用.先确定折叠时点B′的位置在哪一条边上，画出图形，再根据图形的特征利用折叠的特征及相似等知识解决.由折叠可得，AB=A B′, ∠B′=∠B=900，BE= B′E.由题意可得，点B′的位置有以下两种情况：

①当点B′落在矩形的边AD上时，则四边形ABEB′为正方形，所以BE=AB=1，则463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.pnga=1，所以a=1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png；②当点B′落在边CD上时，则由已知可得BE=E B′=463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.pnga，EC=add2b5c8b974155f65e931df2054a985.pnga，所以3255c73070eb8d091ab2b3c419969ae6.png=6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png.

由一线三直角易得，△ECB′∽△B′DA，所以7e65eb4664b8a7f69fc000b12eff9e0c.png=3255c73070eb8d091ab2b3c419969ae6.png=6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png，则DB′=6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png.

在Rt△AD B′中，则有勾股定理可得AD=fa21af7b4aa2fa85d9ddbe5a4ea785ad.png,则a=fa21af7b4aa2fa85d9ddbe5a4ea785ad.png.综上所述，a的值为1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png或fa21af7b4aa2fa85d9ddbe5a4ea785ad.png.

{分值}3

{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}

{考点:全等三角形的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共8小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

{题目}16．（2019河南，T16）先化简，再求值：，其中.

{解析}本题考查了分式的混合运算，利用分式的加减法则计算，然后根据除法法则将原式转化为乘式，约分后得到最简结果，最后把代入化简后的式子即可．

{答案}解：原式=

=

=

当时，原式=

{分值}8

{章节:[1-15-2-2]分式的加减}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{考点:分式的混合运算}

{题目}17．（2019河南,T17）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是a00e7eaaae9a2f51725c7f832ce716fa.png上不与点B,D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点C.

⑴求证：△ADF ≌ △BDG ；

⑵填空：

①若AB = 4，且点E是9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的中点，则DF的长为 ；

②取415290769594460e2e485922904f345d.png的中点H，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形.

{解析}⑴首先根据在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，判定△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAB＝45°，再根据直径所对的圆周角是直角，得到 △ABD是等腰直角三角形，从而

DA = DB，又因为∠CAE与∠DBG对着同一条弧 DE，得到∠CAE=∠DBG，根据ASA可以判定△ADF ≌ △BDG.

⑵①DF=4 - 2790a6b75fc9f0e1800690c00e27c468e.png；②30°.

①由△ADF ≌ △BDG得到DG = DF.由点E是9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的中点，得到∠CAE=∠BAE.根据AB为直径，

得∠AEB=∠AEG=90°，又AE=AE，得到 △AEG ≌ △AEB，从而得到AG=AB=4.再根据△ABD是等

腰直角三角形，可得AD=2d9d1bea7fdf08cc1324db4d29da0cc11.png，所以 DF=DG=AG-AD=4 - 22db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png.

②连接OE，因为 四边形OBEH为菱形，所以 BE=BO.因为OB，OE都是半径，所以 OB= OE，推得

△OBE是等边三角形，所以∠ABE=60°.又AB是直径，所以∠AEB=90°，根据三角形内角和定理，

可得∠EAB=30°.

{答案}解：∵ 在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴ ∠CAB＝45°.

∵ AB为直径，

∴ ∠ADB＝∠BDG＝90°.

∴ △ABD是等腰直角三角形，

∴ DA = DB.

∵ ∠CAE与∠DBG对着同一条弧，

∴ ∠CAE=∠DBG，

∴ △ADF ≌ △BDG.

⑵∵△ADF ≌ △BDG，

∴DG = DF.

∵点E是d9d1bea7fdf08cc1324db4d29da0cc11.png的中点，

∴∠CAE=∠BAE.

∵ AB为直径，

∴ ∠AEB=∠AEG=90°.

又AE=AE，

∴ △AEG ≌ △AEB，

∴ AG=AB=4 .

∵ △ABD是等腰直角三角形，

∴AD=2415290769594460e2e485922904f345d.png，

∴ DF=DG=AG-AD=4 - 22db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png.

②如图，连接OE，

∵ 四边形OBEH为菱形，

∴ BE=BO.

∵ OB= OE，

∴△OBE是等边三角形，

∴ ∠ABE=60°.

∵ AB是直径，

∴ ∠AEB=90°，

∴ ∠EAB=30°.

{分值}9

{章节:[1-24-1-1]圆}

{难度:4-较高难度}

{类别:常考题}

{考点:圆的其它综合题}

{题目}18．（2019河南，T18）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：

a.七年级成绩频数分布直方图：

word/media/image100_1.png

b.七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：

70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79

c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人；

（2）表中m的值为 ；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.

{解析}（1）先确定七年级成绩频数分布直方图，成绩在80≤x＜90，,90≤x＜100，分别有15人，8人，相加即可求出;

（2）根据七年级成绩中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数在70≤x＜80这一组，数据即确定m的值;

(3)根据两个年级的平均分，中位数，解答可得;

(4)用总人数乘以样本中超过76.9分的人数所占比例可得.

{答案}解：（1）∵七年级成绩频数分布直方图80≤x＜90,90≤x＜100的人数为15人和8人，

∴七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人.

（2）中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数这一组中的77和78，所以中位数m=1c0e4554b1c802ecf09226481c0a5768.png=77.5；

（3）∵七年级学生的成绩超过平均分76.9分且高于中位数77.5分，位于中上等，而八年级学生的成绩低于平均分且低于中位数，位于中下等.

∴七年级学生的排名更靠前.

（4）估计七年级400人成绩超过平均分76.9分的人数为：400×b0d77290eaabada66ebec23b4b697719.png=224人

答：七年级成绩超过平均数76.9分的人数是224人.

{分值}9

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}

{难度:4-较高难度}

{类别:常考题}

{考点:中位数}

{考点:用样本估计总体}

{题目}19．（2019河南，T19）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.(精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，e803ee3da120bc1939a4add5b9be2fa4.png)

{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形.先在Rt△ACE中，利用三角函数求出AC，然后求出BC的长，最后在Rt△BCD中，利用三角函数求出CD的长，从而可求DE的长.

{答案}解：由题意可得：CE=55,AB=21，∠A=34°，∠CBD=60°.

在Rt△ACE中：∵tanA=060669100b28a0ef47d10d4f36945527.png=2ead1ffabec804c9ffd9c0deecbb1f8c.png,

即tan34°=2ead1ffabec804c9ffd9c0deecbb1f8c.png≈0.67,∴AC≈82.1.

∴BC=AC-AB≈82.1-21=61.1，

在Rt△BCD中：∵tan∠CBD=f4c1012d1576e0ef4dcdf74fa5e51561.png=14264966856be7cfd28f5d7334666f7d.png，即tan60°=14264966856be7cfd28f5d7334666f7d.png≈1.73，

∴CD≈61.1×1.73≈105.7，

∴DE=CD-CE≈105.7-55≈51.

答：炎帝塑像DE的高度约为51m.

{分值}9

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}

{难度:4-较高难度}

{类别:常考题}

{考点:解直角三角形的应用－仰角}

{题目}20．（2019河南，T20）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.

（1）求A、B两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A、B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

{解析}（1）分别根据“购买3个A奖品和2个B奖品共需120元”、“ 购买5个A奖品和4个B奖品共需210元”列出方程组并求解即可得出A、B两种奖品的单价；

（2）设学校准备购买A种奖品6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png个，则B种奖品购买7c99438e0ba2c5336042467b9825709e.png个，由“A奖品的数量不少于B奖品数量的7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png”可列出不等式，求得6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围；设学校购买A、B两种奖品所需的钱数为w元，写w出6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png与之间的函数关系式，由函数的增减性即可求出最省钱的购买方案.

{答案}解：（1）设A、B两种奖品的单价分别为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png元、415290769594460e2e485922904f345d.png元，依题意，得：

0398188e625d7a9592a1e3cbdabe4973.png，解得：359b7bdffee0fbd6cf91f44e95503386.png.

答：A、B两种奖品的单价分别为30元、15元.

（2）设学校准备购买A种奖品6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png个，则B种奖品购买7c99438e0ba2c5336042467b9825709e.png个，则：

f2ed7c5df122c9a69f93ac91d99a5d71.png，解得b26bd526e630c00077fa84a946076f38.png；

设学校购买A、B两种奖品所需的钱数为w元，则：

401e5ac4f17692c00ae2310e01aee0b1.png，因11bef268362b401ac9d6a742b4404639.png，所以f1290186a5d0b1ceab27f4e77c0c5d68.png随6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的增大而增大，故当6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png=8时，购买A、B两种奖品所需的钱数最少，此时购买A种奖品8个，B种奖品22个.

{分值}9

{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}

{难度:4-较高难度}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:一元一次不等式的整数解}

{考点:一元一次不等式的应用}

{题目}21. (2019河南，T21)模具厂计算生产面积为4，周长为6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的矩形模具.对于6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png，由矩形的面积为4，得723a43af5b8185b21850ac54a93e7a87.png，即623b04d45c26bcf2cdf6d78be8a7895a.png；由周长为6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，得3f073e8b9f445dda08dc96db481cc0ae.png，即3c6c7d8ad83cfd5df0f7310950d1fe23.png.满足要求的（9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png）应是两个函数图象在第象 限内交点的坐标.

（2）画出函数图象

函数f5cc99053fee19e66683e476f0ff0df0.png的图象如图所示，而函数3c6c7d8ad83cfd5df0f7310950d1fe23.png的图象可由直线9d41bad04520a29bdd62232e461f366c.png平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线9d41bad04520a29bdd62232e461f366c.png.

（3）平移直线9d41bad04520a29bdd62232e461f366c.png，观察函数图象:

①当直线平移到与函数f5cc99053fee19e66683e476f0ff0df0.png的图象有唯一交点（2，2）时，周长6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的值为 ；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围.

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围为 .

{解析}（1）根据实际意义，矩形的长和宽不可能是0或负数，所以满足要求的（9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；

（2）描点、连线，画出函数图象即可；

（3）①交点（2，2）在函数3c6c7d8ad83cfd5df0f7310950d1fe23.png的图象上，代入可求得周长6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的值；

②观察图象，不难发现，在直线的平移过程中，除了两个函数图象有唯一交点（此时e15a0254bcdfbe62226ef5eb1e4598a3.png）外，交点的个数还有其它两种情况：一是无交点，此时09d13fc6bc9399175f1d969bc58fe516.png；二是有两个不同的交点，此时1af9dadc4ec21ad4032084a8f9f4b83c.png；

（4）观察图象，当两函数图象有交点时，能生产出面积为4的矩形模具，其周长周长6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围为a333cb0e11a7c08505d414378c693175.png.

{答案}解：（1）一；

（2）如图所示：

（3）①交点（2，2）在函数3c6c7d8ad83cfd5df0f7310950d1fe23.png的图象上，所以27501cf9c98ab44f34a67eee8ce1fd53.png，解得e15a0254bcdfbe62226ef5eb1e4598a3.png，故填8；

②直线在第一象限内平移的过程中，其与函数的图象交点的个数还有两种情况：一是无交点，二是有两个不同的交点，如下表：

（4）a333cb0e11a7c08505d414378c693175.png.

{分值}9

{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}

{难度:4-较高难度}

{类别:发现探究}

{考点:反比例函数与一次函数的综合}

{题目}22．（2019年河南）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的
任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.

(1)观察猜想

如图1，当α＝60°时，13955850f5dc0bdbf4cd30a97c57c8b7.png的值是 .

直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是: .

(2)类比探究

如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由.

(3)解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时a3445cc0cb1c884fb2596d170a29d9ea.png的值.

word/media/image142_1.png

{解析}本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理．

第（1）问中，利用“SAS”可以证得△ACP≌△ABD.可得BD=CP,BD与CP的夹角等于∠BAC.

第（2）问中,模仿（1）中的思路，可以利用两边成比例且夹角相等来证明△ACP∽△ABD，BD与CP的夹角仍然等于∠BAC. 第（3）问中,画出对应的图形后，找出有关的角度即可解决问题.

(1) {答案}解：1；60° （证得△ACP≌△ABD即可）

(2) df81678754482a864552df691ba53cb2.png,直线BD与CP相交所成的角度是45°,

理由如下：

如图1，假设BD与CP相交于点M，AC与BD交于点N，

由题意可知，△PAD是等腰直角三角形

∴∠DAP＝45， b0d559bacf8a8a5c0989cce6b56f5030.png,

∵CA＝CB，∠ACB＝α＝90°，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝45°，8808d6ef0087875794b0184508bbcd12.png，

∵∠CAP＝∠PAD+∠CAD＝45°+∠CAD，

∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+∠CAD，

∴∠PAC＝∠DAB，

又∵96bd5a24a9b085f8af3eb1261c66a26d.png，∴△APC∽△ADB，∴b84ce4d97a82dd2e13eaf7ec7a366dc5.png，∠PCA=∠ABD.

∵∠ANB=∠DNC，∴∠CMN=∠CAB=45°

即直线BD与CP相交所成的角度为45°.

综上所述：df81678754482a864552df691ba53cb2.png,直线BD与CP相交所成的角度是45°.

（3）35fbd38646a71f4ab0b9cd9864728675.png或e817de627d14f1cbdfb9318af4ae0a47.png

解法提示：如图2，设CP=a，由（2）则可得BD=8dd29557796852e12173b3c60a0a6522.png.设CD与AB相交于点Q，由平行线分线段成比例则可得PQ=CP=a.可证∠DQB=∠DBQ=67.5°，则DQ=BD=8dd29557796852e12173b3c60a0a6522.png，易得56749bf4e41cfa2e170bb28f8c30e764.png,所以c223750347df9760ae3f33efa951e0f4.png.

如图3，可设AP=DP=b，则AD=3fcf74755b9220df8f3d100fb68f83e7.png.由EF∥AB，∠PEA=∠CAB=45°，可证∠ECD=∠EAD=22.5°，易得CD=AD=3fcf74755b9220df8f3d100fb68f83e7.png，CP= 3fcf74755b9220df8f3d100fb68f83e7.png+b,所以1aa70805ecead69c990c38325b66722a.png.

综上所述：51e4045b52f3adaed053519e8d87aad7.png.

word/media/image159_1.pngword/media/image160_1.pngword/media/image161_1.png

{分值}10

{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}

{难度:4-较高难度}

{类别:发现探究}

{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}

{题目}23.（2019河南，T23）如图，抛物线a00e7eaaae9a2f51725c7f832ce716fa.png交9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴于A，B两点，交415290769594460e2e485922904f345d.png轴于点C，直线790a6b75fc9f0e1800690c00e27c468e.png经过点A，点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上一动点，过点P作9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的垂线，交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.

①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点B′,则平面内存在直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png,使点M,B,B′到该直线的距离都相等.当点P在415290769594460e2e485922904f345d.png轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png:10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png的解析式.(k,b可用含m的式子表示).

{解析}（1）根据一次函数求出点A和点C的坐标，代入抛物线解析式联立成方程组求解即可解决；

（2）word/media/image169.gif是直角三角形存在性问题，因为∠PMC与∠OCA这个角确定不变，所以分∠MPC=90°和∠PCM=90°两种情况讨论即可，再结合对称性特点或构造一线三直角相似建立方程即可求出点P的坐标；

word/media/image170.gif三个不同的点到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离都相等，所以直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png一定过任意两点的中点，由于点C为BB′的中点，所以只需确定MB的中点坐标，两个点确定一条直线，由两个中点坐标则直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的解析式就可确定.

{答案}（1）∵790a6b75fc9f0e1800690c00e27c468e.png经过点A，点C，∴Abd4564295cd57515cb876a3bac5fef07.png，C03dd21edecf4c61ee25723a72ecdf3bf.png，∵a00e7eaaae9a2f51725c7f832ce716fa.png过点A和点C，

∴1f5887babd4efa566174dfc3d659e23e.png，∴解得16f03154891ec3f4780f9e9d3e421142.png，

∴抛物线的解析式为：546c989ff4dfd5938c58a4c79b69fc37.png；

（2）word/media/image169.gif∵PM⊥9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴， ∴∠PMC=∠OCA,∵ △PCM为直角三角形 ,

∴只有两种情况：∠MPC=90°或∠PCM=90°，

当∠MPC=90°时，∴PM⊥PC，∴PC07b71b0c30c5e44746c34f464b26c88c.png9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴 ，

∴点P和点C关于546c989ff4dfd5938c58a4c79b69fc37.png的对称轴对称，

∵546c989ff4dfd5938c58a4c79b69fc37.png的对称轴为e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png，C03dd21edecf4c61ee25723a72ecdf3bf.png，∴Pdf919d79400acf49ab779300a318acda.png.

当∠PCM=90°时，过点C作AC的垂线交抛物线与点P，即为所求，如图：

第一种方法（几何法）过点P作PE⊥415290769594460e2e485922904f345d.png轴与点E，过点M作MF⊥415290769594460e2e485922904f345d.png轴与点F.

∵Pd05345ad494c5aa144fc57e49c9e9583.png，∴Md7b6707aafaba1523518543f51e51cc8.png，E4399309433f58b5672bc280f5381a9f1.png，F774e10238b3f4843b690a98c73f545fd.png，C03dd21edecf4c61ee25723a72ecdf3bf.png，

∴PE=6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png, EC=4714e2359d2b67ea6b11b277be1a3ea3.png, CF=4ea48dd50618feb3c396e6feb63e2275.png, MF=6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，

∵△PEC∽△CFM， ∴4f24547defbf04489dafc5be86539830.png，即d6b242cec28613be51eaa57c04fe65c4.png，

∴8b69fa54bda9cf2861238caab62353fb.png ， ∴f711d4255917d40a68d272b8464223cc.png ，∴P3b9efee01f89f335559a9f4764d565e3.png，

第二种方法（代数法） CP⊥AC，直线AC的解析式为790a6b75fc9f0e1800690c00e27c468e.png，

∴直线CP的解析式为de2a3521b74c025e2ef00d3a629a123c.png，

∴由92e4adb9b0c0c6a6114db03e9ceb22a4.png得f426041a7060d7eb4fe76da8f461f5b5.png，

∴8cd7ee151bb4a52d3332608d3d15a179.png ∴P3b9efee01f89f335559a9f4764d565e3.png.

（3）1908ba98842e4f3d681990a0e64c7508.png.提示：由（1）可得点B（0,2），

∵ C03dd21edecf4c61ee25723a72ecdf3bf.png 又∵点B和点B′关于点C03dd21edecf4c61ee25723a72ecdf3bf.png对称∴由中点坐标公式可得B′（-2，-4），

∵P4fdc747701cf7ba35ebb249c202ab740.png,∴Md7b6707aafaba1523518543f51e51cc8.png.

∵点B与点B′到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离相等 ∴直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png必过BB′的中点C03dd21edecf4c61ee25723a72ecdf3bf.png∴k≠0，b=-2,

连MB，取MB的中点Q,

∵Md7b6707aafaba1523518543f51e51cc8.png，B（0,2） ∴Q971c5838e23ae94d18c5b287ee1b1462.png，

∵ 点B与点M到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离相等， ∴直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png必过5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png的中点Q971c5838e23ae94d18c5b287ee1b1462.png,∴

021e365e470d983492526e7f93a07e3f.png,31e6c744d80bf47d835e801e8c1abebd.png,解得4da047be50395375150e6facef90913c.png，

∴直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的解析式为1908ba98842e4f3d681990a0e64c7508.png.

{分值}11

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{难度:4-较高难度}

{类别:发现探究}

{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{考点:二次函数中讨论直角三角形}

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1596bcaf1fd9ad51f01dc281e53a580217fc5038.html