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河北衡水第一中学平面向量及其应用练习题(有答案) -

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一、多选题1．题目文件丢失！

2．已知非零平面向量a，b,c,则（ ）
A．存在唯一的实数对m,n，使cmanb B．若abac0，则b//c C．若a//b//c，则a+b+cabc D．若ab0，则abab 3．正方形ABCD的边长为1，记ABa，BCb，ACc，则下列结论正确的是（ ）
C．acba0
A．abc0
B．abca0 D．abc2
4．已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足2PAPC0，QA2QB，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A．PB//CQ C．PAPC0
B．BP21BABC 33D．S2
5．ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB2a，AC2ab，则下列结论正确的是（ ） A．a是单位向量 C．ab1
B．BC//b D．BC4ab
6．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ab:ac:bc9:10:11，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA:sinB:sinC4:5:6 C．ABC的最大内角是最小内角的2倍
B．ABC是钝角三角形
D．若c6，则ABC外接圆半径为87
77．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
A．若ab，则sinAsinB
B．若sin2Asin2B，则ABC是等腰三角形 C．若acosBbcosAc，则ABC是直角三角形 D．若a2b2c20，则ABC是锐角三角形 8．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A．e10,0，e21,1
B．e11,2，e22,1

C．e13,4，e2,354 5D．e12,6，e21,3
9．在下列结论中，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 C．两个相等向量的模相等
B．平行向量又称为共线向量
D．两个相反向量的模相等
10．已知正三角形ABC的边长为2，设AB2a，BCb，则下列结论正确的是（ ） A．ab1
B．ab
C．4abb
D．ab1
11．已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是（ ） A．mabmamb C．若mamb，则ab
B．mnamana
D．若manaa0，则mn
12．点P是ABC所在平面内一点,满足PBPCPBPC2PA0,则ABC的形状不可能是( A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
13．已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足BA．2 B．3 C．3,ac3b,则D．a(
c1 21
314．已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的是( A．若abab,则a与b方向相同 B．若abab,则a与b方向相反 C．若abab,则a与b有相等的模
D．若abab,则a与b方向相同15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题
16．在△ABC中，M是BC的中点．若AB＝a，BC＝b，则AM＝(
1(ab
217．下列命题中正确的是（ ）
A．B．A．若ab，则a在b上的投影为a B．若acbc(c0，则ab
1(ab
2C．1ab
2D．a1b 2C．若A,B,C,D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件 D．若ab0，则a与b的夹角为锐角；若ab0，则a与b的夹角为钝角

18．已知向量OA与OB的夹角为，OA2，OB1，OPtOA，OQ1tOB，PQ在tt0时取得最小值，则当0t0（ ）
1时，夹角的取值范围为52 D．0,
319．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为ABC的面积，满A．0,
3B．,
32C．2,23足bcosAacosB，且角B是角A和角C的等差中项，则ABC的形状为（ ） A．不确定 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．等边三角形
b，c.①若AB，则sinAsinB；20．ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，②若sin2Asin2B，则ABC一定为等腰三角形；③若acosBbcosAc，则ABC一定为直角三角形；④若B3，a2，且该三角形有两解，则b的范围是3，.以上结论中正确的有（ ）
B．2个
C．3个
D．4个
A．1个
21．a，b为单位向量，且a2bA．30
B．45
7，则向量a，b夹角为（ ）
C．60
D．90
22．已知点O是ABC内部一点，并且满足2OA3OB5OC0，OAC的面积为S1，ABC的面积为S2，则A．C．S1 S2B． D．4 21383 102
523．ABC内有一点O，满足3OA4OB5OC0，则OBC与ABC的面积之比为（ ） A．1:4
B．4:5
C．2:3
D．3:5
OP24．若向量OP1OP2OP31，则1,OP2,OP3，满足条件OP1OP2OP30，PP12P3的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．不能确定
25．在ABC中，若CACBCACB0，则ABC为（ ） A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．无法确定
26．在ABC中，AB8，AC6，A60，M为ABC的外心，若
AMABAC，、R，则43（ ）
A．3 4B．5 3C．7 3D．8
327．已知a1，b3，且向量a与b的夹角为60，则2ab（ ） A．7
B．3 C．11
D．19
28．已知M(3，－2，N(－5，－1，且MPA．(－8,1 3C．1,
21MN，则P点的坐标为(
23B．1,
2D．(8，－1
29．已知向量m2cosx,3，n1,sin2x，设函数fxmn，则下列关于函数2yfx的性质的描述正确的是(
A．关于直线xC．周期为2
12对称
B．关于点5,0对称 12,0上是增函数 3D．yfx在30．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF（ ）

A．C．13ABAD 24B．D．12ABAD 2313ABAD 2411ABAD 3231．ABC中，a2:b2tanA:tanB，则ABC一定是（ ） A．等腰三角形 C．等腰直角三角形
B．直角三角形 D．等腰或直角三角形
32．如图所示，设P为ABC所在平面内的一点，并且AP与ABC的面积之比等于（ ）
11ABAC，则BPC42

A．2 5B．3 5C．3
4D．1 433．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝3，则λ的值为( A．，点P满足AP＝λAB，λ∈R，若BD·CP＝－3C．1 2B．－1
21 3D．－1
334．在ABC中，下列命题正确的个数是（ ）
①ABACBC；②ABBCCA0；③点O为ABC的内心，且OBOCOBOC2OA0，则ABC为等腰三角形；④ACAB0，则ABC为锐角三角形．
A．1
B．2
C．3
D．4
35．如图，在ABC中，C60,BC23,AC3，点D在边BC上，且sinBAD27，则CD等于（ ）
7
A．23
3B．3
3C．33
2D．43
3
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除


一、多选题 1．无 2．BD 【分析】

假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确. 【详解】
A选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】
假设a与b共线，c与a，b都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确. 【详解】
A选项，若a与b共线，c与a，b都不共线，则manb与c不可能共线，故A错； B选项，因为a，b,c是非零平面向量,若abac0，则ab，ac，所以b//c，即B正确；
C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由a//b//c不能推出a+b+cabc；如a与b同向，c与a反向，且abc，则a+b+cabc，故C错；
D选项，若ab0，则ababab2ab2ab222ab22，
ab2ab2ab222ab，所以abab，即D正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
3．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误. 【详解
解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误. 【详解】 如下图所示：


对于A选项，四边形ABCD为正方形，则BDAC，
abABBCABADDB，abcDBAC0，A选项正确；
对于B选项，abcABBCACACAC0，则abca0a0，B选项正确；
对于C选项，acABACCB，则acbCBBC0，则acba0，C选项正确；
对于D选项，abc2c，abc2c22，D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
4．BCD 【分析】
本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确； 再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确. 【详解】 解：因为，，
所以B是的中点，P是的
解析：BCD 【分析】
本题先确定B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确； 再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出S△APQ2，故选项D正确. 【详解】
解：因为2PAPC0，QA2QB，
所以B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；


因为BPBAAPBA121BCBABABC，故选项B正确； 333因为S△APQS△ABC112ABh32，所以，S2△APQ2，故选项D正确. 13ABh2故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
5．ABD 【分析】
A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长
解析：ABD 【分析】
A. 根据ABC是边长为2的等边三角形和AB2a判断；B.根据AB2a，AC2ab，利用平面向量的减法运算得到BC判断；C. 根据a1AB,bBC，利用2数量积运算判断；D. 根据bBC， ab1，利用数量积运算判断. 【详解】
A. 因为ABC是边长为2的等边三角形，所以AB2，又AB2a，所以 a是单位向量，故正确；
B. 因为AB2a，AC2ab，所以BCACABb，所以BC//b，故正确； C. 因为a111AB,bBC，所以abABBC22cos1201，故错误； 222D. 因为bBC， ab1，所以BC4abb4ab4abb440，所以BC4ab，故正确.
2
故选：ABD 【点睛】
本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．ACD 【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为
所以可设：（其中），解得： 所以，所以A正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为
解析：ACD 【分析】

先根据已知条件求得a:b:c4:5:6，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】
因为ab:ac:bc9:10:11
ab9x所以可设：ac10x（其中x0），解得：a4x,b5x,c6x
bc11x所以sinA:sinB:sinCa:b:c4:5:6，所以A正确； 由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大，
a2b2c2(4x2(5x2(6x21又cosC0 ，所以C角为锐角，所以B错2ab24x5x8误；
由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小，
c2b2a2(6x2(5x2(4x23又cosA，
2cb26x5x4所以cos2A2cosA121，所以cos2AcosC
8由三角形中C角最大且C角为锐角,可得：2A0,，C0,所以2AC，所以C正确；
2
由正弦定理得：2Rc37，又sinC1cos2C sinC8所以2R87，所以D正确. 37 ，解得：R786故选:ACD. 【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
7．AC 【分析】
对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A正确；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC 【分析】
对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A正确；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到sinAcosAsinBcosB，从而得到ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C正确；对D，首先根据余弦定理得到A为锐角，但B，C无法判断，故D错误. 【详解】
对选项A，ab2rsinA2rsinBsinAsinB，故A正确； 对选项B，因为sin2Asin2BsinAcosAsinBcosB 所以AB或AB2，则ABC是等腰三角形或直角三角形.故B错误；
对选项C，因为acosBbcosAc，
所以sinAcosBsinBcosAsinCsinAC，
sinAcosBsinBcosAsinAcosBcosAsinB，sinBcosAcosAsinB，
因为sinB0，所以cosA0，A，ABC是直角三角形，故③正确；
2a2b2c2对D，因为abc0，所以cosA0，A为锐角.
2ab222但B，C无法判断，所以无法判断ABC是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
8．ACD 【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属
解析：ACD 【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】
A，C，D中向量e1与e2共线，不能作为基底；B中e1，e2不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
9．BCD 【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误； B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD 【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误； B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确； C. 相等向量方向相同，模相等，正确； D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
10．CD 【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知，，与的夹角是. 由，故B错误，D正确； 由，所以，故A错误； 由，所以，故C正确. 故选：CD
【点睛】
解析：CD 【分析】
分析知a1，b2，a与b的夹角是120，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知a1，b2，a与b的夹角是120.
由ab12cos12010，故B错误，D正确；
a2abb1243，所以ab3，故A错误； 由4abb4abb4140，所以4abb，故C正确.
由ab2222故选：CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
11．ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A和B正确；C中，当时，，但与不一定相等，
解析：ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过m的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A和B正确；C中，当m0时，mamb0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由mana，得mna0，因为a0，所以mn，故D正确. 故选：ABD 【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.
12．AD 【解析】 【分析】
由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，
两边平方并化简得， ∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故
解析：AD 【解析】 【分析】
由条件可得|ABAC||ACAB|，再两边平方即可得答案. 【详解】
∵P是ABC所在平面内一点，且|PBPC||PBPC2PA|0， ∴|CB||(PBPA(PCPA|0， 即|CB||ACAB|， ∴|ABAC||ACAB|， 两边平方并化简得ACAB0， ∴ACAB，
∴A90，则ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.
13．AC 【分析】
将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，
由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦定理的应
解析：AC 【分析】
将ac3b两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵B3,ac3b，
2222∴(acac2ac3b①， 由余弦定理可得，ac2accos223b2②，
联立①②，可得2a25ac2c20，
aa即2520， cc2a1a2或. cc2故选：AC. 【点睛】
解得本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.
14．ABD 【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时
解析：ABD 【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当a,b不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||a||b|||ab||a||b|. 当a,b同向时有|ab||a||b|,|a||b||ab|. 当a,b反向时有|ab|||a||b||,|a|+|b||ab|


故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.
15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．D 【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】
在ABC中，M是BC的中点， 又ABa,BCb， 所以AMABBMAB故选D. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 17．C 【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
因为ab，所以a,b的夹角为0或者，则a在b上的投影为|a|cos|a|，故A不正确；设c(1,0,b(0,0,a(0,2，则有acbc(c0，但ab，故B不正确；
11BCab， 22ABDC,|AB||DC|且AB//DC，又A,B,C,D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB//DC且|AB||DC|，所以ABDC，故C正确；ab0时，a,b的夹角可能为0，故D不正确.

故选：C 【点睛】
本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．C 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，22PQPQ54cost224cost1，根据二次函数的最值可得出12cos1，再由0t0，可求得夹角的取值范围.
554cos【详解】 t0因为OAOB2cos，PQOQOP1tOBtOA，PQPQ54cost224cost1，
∵PQ在tt0时取得最小值，所以t02212cos1，又0t0，则554cos12cos11，得cos0，∵0，
254cos52所以，
23故选：C. 【点睛】 0本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 19．D 【分析】
先根据bcosAacosB得到A,B之间的关系，再根据B是A,C的等差中项计算出B的大小，由此再判断ABC的形状. 【详解】
因为bcosAacosB，所以sinBcosAsinAcosB， 所以sinBA0，所以AB， 又因为2BACB，所以B所以AB故选：D. 【点睛】
3，
3，所以ABC是等边三角形.

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b是a,c的等差中项，则有2bac；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．B 【分析】
由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】
①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得AB或AB2，ABC是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；
③由正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC， 结合sinCsinABsinAcosBsinBcosA 可知cosAsinB0，因为sinB0，所以cosA0， 因为0A，所以A④由正弦定理2，因此③正确；
abasinB3得b， sinAsinBsinAsinA2AB,A 332因为三角形有两解，所以所以sinA故选：B 【点睛】
3,1，即b23,2，故④错误.
本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 21．C 【分析】
首先根据题的条件a2b7，得到(ab27，根据a，b为单位向量，求得1，进而求得向量夹角. 2【详解】 ab因为a2b27，所以(ab27，
2即a4ab4b7， 因为ab1，所以ab所以cosa,b221，
21，因为向量a，b夹角的范围为[0,180]，
2
所以向量a，b夹角的范围为60， 故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 22．A 【解析】
∵2OA3OB5OC0，∴2OAOC3OBOC． 设AC中点为M，BC中点为N，则2OM3ON, ∵MN为ABC的中位线，且OMON3，
23SABC10S13．选A． ABC，即S210∴SOAC2SOMC32S5CMN61S5423．A 【解析】
分析：由题意，在ABC内有一点O，满足3OA4OB5OC0，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．
详解：由题意，在ABC内有一点O，满足3OA4OB5OC0，
由奔驰定理可得SBOC:SAOC:SBOA3:4:5，所以SBOC:SABC3:121:4， 故选A．
点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 24．C 【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】
由|OP，可知点O是PP12P3的外心， 1||OP2||OP3|1又OP，可知点O是PP12P3的重心， 1OP2OP30所以点O既是PP12P3的外心，又是PP12P3的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】
本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.

25．C 【分析】
利用平面向量的数量积的运算性质可得(CACB (CACBCACBb2a20，从而可得答案． 【详解】 解：在ABC中，(CACB (CACBCACBb2a20，
2222ab，
ABC为等腰三角形， 故选：C． 【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 26．C 【分析】
2211AB，同理得出AMACAC，由此得出关于实22数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43的值.
作出图形，先推导出AMAB【详解】
如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AMAEEM且EMAB，
21AB，
2AMABAEEMABAEABEMAB同理可得AMAC21AC，
2
ABAC86cos6024，
21AMABABABACAB326424322由，可得，即，
21243618ABACAC18AMACAC25，12故选：C.
解得25273. ，因此，43491293
【点睛】
本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 27．A 【分析】
根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】
因为a1，b3，a与b的夹角为60，
所以2ab4a4abb4697，则2ab7. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．B 【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】
2221114,MN解：设P(x，y，则MP＝ (x－3，y＋2，而＝(－8,1＝， 222x34x13P1,所以，解得，即13，

2y2y22故选B. 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 29．D 【详解】
fx2cos2x3sin2xcos2x3sin2x12sin(2x1，当x612对称；
631255,1对称； 当x时,2sin(2x11 ,∴f(x关于点(12612时,sin(2xsin1,∴f(x不关于直线xf(x得周期T当x(2，
23,0时,2x6(, ,∴f(x在(,0上是增函数． 263本题选择D选项.

30．D 【分析】
利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DFAFAD，AF=案. 【详解】
11AE，AE=ABBE，BE=BC，BC=AD，即可得出答22利用向量的三角形法则，可得DFAFAD，AE=ABBE，
E为BC的中点，F为AE的中点，则AF=DFAFAD=又11AE，BE=BC 221111AEAD=(ABBEAD=AB+BCAD 2224BC=AD
13ABAD. 24DF故选D.
【点睛】
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：
一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 31．D 【分析】
由已知a2:b2tanA:tanB，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断． 【详解】
∵a2:b2tanA:tanB，
sinAsinAtanAsinBsinAcosB由正弦定理可得，，
2sinBsinBtanBsinBcosAcosB∵sinAsinB0，
2∴sinAcosB， sinBcosA∴sinAcosAsinBcosB即sin2Asin2B，∵A,B0,,AB0,， ∴2A2B或2A2B，

∴AB或AB故选D． 【点睛】
2，即三角形为等腰或直角三角形，
本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点． 32．D 【分析】
由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量CP,CA,CD的关系，可得DP与AD的比值，再利用面积中底面相同可得结果. 【详解】
延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线， 所以CPmCAnCD(mn1，设CDkCB 代入可得CPmCAnkCB
即APACmACnk(ABACAP(1mnkACnkAB 又因为AP解得m1111ABAC，即nk,1mnk，且mn1 424213,n 4413CACD可得AD4PD 44所以CP因为BPC与ABC有相同的底边，所以面积之比就等于DP与AD之比 所以BPC与ABC的面积之比为故选D 【点睛】
本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目. 33．A 【分析】
根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【详解】
法一：由题意可得BA·BC＝2×2cos1
4＝2， 3(BP－BC BD·CP＝(BA＋BC·[(AP－AB－BC] ＝(BA＋BC·
[(λ－1·AB－BC] ＝(BA＋BC·＝(1－λ BA 2－BA·BC＋(1－λ·BA·BC－BC2 4－2＋2(1－λ－4 ＝(1－λ·＝－6λ＝－3， ∴λ＝1，故选A.
2法二：建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(2,0，C(1，，D(－1，3．
(x－1，－3＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1. 令P(x,0，由BD·CP＝(－3，3·∵AP＝λAB，∴λ＝【点睛】
1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解． b＝a1b1＋a2b2. 设a＝(a1，a2，b＝(b1，b2，则a·2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算. 34．B 【解析】 【分析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：ABACCB，题中的说法错误； ②由向量加法的三角形法则可得：ABBCCA0，题中的说法正确； ③因为(OBOC(OBOC2OA0， 即CB(ABAC0； 又因为ABACCB， 所以(ABAC(ABAC0，
1.故选A.
2
即|AB||AC|，
所以△ABC是等腰三角形.题中的说法正确；
④若ACAB0，则ACABcosA0，据此可知A为锐角，无法确定ABC为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 35．A 【分析】
首先根据余弦定理求AB，再判断ABC的内角，并在△ABD和ADC中，分别用正弦定理表示AD，建立方程求DC的值. 【详解】
ABAC2BC22ACBCcosC
312232313，
2AB2BC2AC291233， cosB2ABBC22323又因为角B是三角形的内角，所以B6，
BAC90，
sinBAD2721，cosBAD1sin2BAD， 7721，
7sinDACcosBAD在△ABD中，由正弦定理可得AD在ADC中，由正弦定理可得ADBDsinB，
sinBADDCsinC，
sinDAC23DC27713DC2322. ，解得：DC2137故选：A 【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题
型.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/184d1bb47ed184254b35eefdc8d376eeafaa1745.html

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