2016年广东省中考数学试卷（含答案解析）

2016年广东省中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）﹣2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．﹣

2．（3分）如图所示，a与b的大小关系是（　　）

A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a

3．（3分）下列所述图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形

4．（3分）据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（　　）

A．0.277×107 B．0.277×108 C．2.77×107 D．2.77×108

5．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）

A． B．2 C．+1 D．2+1

6．（3分）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（　　）

A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元

7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）

A． B． C． D．

9．（3分）已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（　　）

A．5 B．10 C．12 D．15

10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．（4分）9的算术平方根是　 　．

12．（4分）分解因式：m2﹣4=　 　．

13．（4分）不等式组的解集是　 　．

14．（4分）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是　 　cm（计算结果保留π）．

15．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　 　．

16．（4分）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=　 　．

三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）

17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1．

18．（6分）先化简，再求值：•+，其中a=﹣1．

19．（6分）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．

（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．

四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）

20．（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．

（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？

（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

21．（7分）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．

22．（7分）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：

（1）这次活动一共调查了　 　名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于　 　度；

（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是　 　人．

五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）

23．（9分）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（1，m ）．

（1）求k的值；

（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　 　）；

（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．

（1）求证：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=，求DE的长；

（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

25．（9分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

2016年广东省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）﹣2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．﹣

【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．

【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．

故选：A．

【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．

2．（3分）如图所示，a与b的大小关系是（　　）

A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a

【分析】根据数轴判断出a，b与零的关系，即可．

【解答】根据数轴得到a＜0，b＞0，

∴b＞a，

故选A

【点评】此题是有理数大小的比较，主要考查了识别数轴上的点表示的数，也是解本题的难点．

3．（3分）下列所述图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形

【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；

B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；

C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；

D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误．

故选B．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．（3分）据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（　　）

A．0.277×107 B．0.277×108 C．2.77×107 D．2.77×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将27700000用科学记数法表示为2.77×107，

故选C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）

A． B．2 C．+1 D．2+1

【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．

【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，

∴BC=CD==1，∠BCD=90°，

∵E、F分别是BC、CD的中点，

∴CE=BC=，CF=CD=，

∴CE=CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EF=CE=，

∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；

故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．

6．（3分）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（　　）

A．4000元 B．5000元 C．7000元 D．10000元

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．

【解答】解：从小到大排列此数据为：3000元，4000元，5000元，7000元，10000元，

5000元处在第3位为中位数，

故他们工资的中位数是5000元．

故选B．

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．

【解答】解：点P（﹣2，﹣3）所在的象限是第三象限．

故选C．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）

8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．

【解答】解：由勾股定理得OA==5，

所以cosα=．

故选D．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．

9．（3分）已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（　　）

A．5 B．10 C．12 D．15

【分析】根据等式的性质1：等式两边同时加上﹣3，可得x﹣2y=5．

【解答】解：由x﹣2y+3=8得：x﹣2y=8﹣3=5，

故选A

【点评】本题考查了等式的性质，非常简单，属于基础题；熟练掌握等式的性质是本题的关键，也运用了整体的思想．

10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定出大致图象即可．

【解答】解：设正方形的边长为a，

当P在AB边上运动时，y=ax；

当P在BC边上运动时，y=a（2a﹣x）=﹣ax+a2；

当P在CD边上运动时，y=a（x﹣2a）=ax﹣a2；

当P在AD边上运动时，y=a（4a﹣x）=﹣ax﹣2a2，

大致图象为：

故选C．

【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．（4分）9的算术平方根是　3　．

【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．

【解答】解：∵（±3）2=9，

∴9的算术平方根是|±3|=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．

12．（4分）分解因式：m2﹣4=　（m+2）（m﹣2）　．

【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

【解答】解：m2﹣4=（m+2）（m﹣2）．

故答案为：（m+2）（m﹣2）．

【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．

13．（4分）不等式组的解集是　﹣3＜x≤1　．

【分析】分别解两个不等式得到x≤1和x＞﹣3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．

【解答】解：，

解①得x≤1，

解②得x＞﹣3，

所以不等式组的解集为﹣3＜x≤1．

故答案为﹣3＜x≤1．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

14．（4分）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是　10π　cm（计算结果保留π）．

【分析】根据的长就是圆锥的底面周长即可求解．

【解答】解：∵圆锥的高h为12cm，OA=13cm，

∴圆锥的底面半径为=5cm，

∴圆锥的底面周长为10πcm，

∴扇形AOC中的长是10πcm，

故答案为：10π．

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长，难度不大．

15．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　　．

【分析】先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．

【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，

∴∠EB′C=90°，

∵BC=3BE，

∴EC=2BE=2B′E，

∴∠ACB=30°，

在Rt△ABC中，AC=2AB，

∴AB=AC=×2=，

故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的关键，同时还运用了直角三角形中如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°这一结论，是常考题型．

16．（4分）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=　a　．

【分析】如图，连接OB、OC．首先证明∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，推出∠APB=∠AOB=30°，∠APC=∠AOC=60°，根据AE=AP•sin30°，AF=AP•sin60°，即可解决问题．

【解答】解：如图，连接OB、OC．

∵AD是直径，AB=BC=CD，

∴==，

∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，

∴∠APB=∠AOB=30°，∠APC=∠AOC=60°，

在Rt△APE中，∵∠AEP=90°（AE是A到PB的距离，AE⊥PB），

∴AE=AP•sin30°=a，

在Rt△APF中，∵∠AFP=90°，

∴AF=AP•sin60°=a，

∴AE+AF=a．

故答案为a．

【点评】本题考查圆周角定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）

17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1．

【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1的值是多少即可．

【解答】解：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1

=3﹣1+2

=2+2

=4．

【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．

（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．

（4）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

18．（6分）先化简，再求值：•+，其中a=﹣1．

【分析】原式第一项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=•+=+==，

当a=﹣1时，原式===+1．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（6分）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．

（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．

【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可．

（2）根据三角形中位线定理即可解决．

【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．

（2）∵AD=DB，AE=EC，

∴DE∥BC，DE=BC，

∵DE=4，

∴BC=8．

【点评】本题考查基本作图、三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，记住三角形的中位线定理，属于中考常考题型．

四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）

20．（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．

（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？

（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

【分析】（1）设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可；

（2）由（1）的结论列出方程解答即可．

【解答】解：（1）设原计划每天修建道路x米，

可得：，

解得：x=100，

经检验x=100是原方程的解，

答：原计划每天修建道路100米；

（2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，

可得：，

解得：y=20，

经检验y=20是原方程的解，

答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

21．（7分）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．

【分析】本题介绍两种方法：

①在Rt△ACD中，利用30度角的性质和勾股定理求CD的长；同理在Rt△ECD中求FC的长，在Rt△FCG中求CH的长；最后在Rt△HCI中，利用30度角的性质和勾股定理求CI的长．

②在Rt△DCA中，利用30°角的余弦求CD，同理依次求CF、CH、CP，最后利用正弦求CI的长．

【解答】解：解法一：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，

∴∠A=90°﹣30°=60°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠ACD=30°，

在Rt△ACD中，AC=a，

∴AD=a，

由勾股定理得：CD==，

同理得：FC=×=，CH=×=，

在Rt△HCI中，∠I=30°，

∴HI=2HC=，

由勾股定理得：CI==，

解法二：∠DCA=∠B=30°，

在Rt△DCA中，cos30°=，

∴CD=AC•cos30°=a，

在Rt△CDF中，cos30°=，

CF=×a=a，

同理得：CH=cos30°CF=×a=a，

在Rt△HCI中，∠HIC=30°，

tan30°=，

CI=a÷=a；

答：CI的长为．

【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形含30°角的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这一性质经常运用，必须熟练掌握；同时在运用勾股定理和直角三角形含30°角的性质时，一定要书写好所在的直角三角形，尤其是此题多次运用了这一性质，此题也可以利用三角函数解决．

22．（7分）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：

（1）这次活动一共调查了　250　名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于　108　度；

（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是　480　人．

【分析】（1）由“足球”人数及其百分比可得总人数；

（2）根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全图形即可；

（3）用“篮球”人数占被调查人数的比例乘以360°即可；

（4）用总人数乘以样本中足球所占百分比即可得．

【解答】解：（1）这次活动一共调查学生：80÷32%=250（人）；

（2）选择“篮球”的人数为：250﹣80﹣40﹣55=75（人），

补全条形图如图：

（3）选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角为：×360°=108°；

（4）估计该学校选择足球项目的学生人数约是：1500×32%=480（人）；

故答案为：（1）250；（3）108；（4）480．

【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）

23．（9分）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（1，m ）．

（1）求k的值；

（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　2，1　）；

（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

【分析】（1）直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可；

（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，于是得到PA=1，OA=2，根据点Q与点P关于直线y=x成轴对称，得到直线y=x垂直平分PQ，根据线段垂直平分线的性质得到OP=OQ，根据全等三角形的性质得到QB=PA=1，OB=OA=2，于是得到结论；

（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，把P、Q、N（0，）代入y=ax2+bx+c，解方程组即可得到结论．

【解答】解：（1）∵直线y=kx+1与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，m），

∴m=2，

把A（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2，

解得：k=1；

（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA=1，OA=2，

∵点Q与点P关于直线y=x成轴对称，

∴直线y=x垂直平分PQ，

∴OP=OQ，

∴∠POA=∠QOB，

在△OPA与△OQB中，

，

∴△POA≌△QOB，

∴QB=PA=1，OB=OA=2，

∴Q（2，1）；

故答案为：2，1；

（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，

∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），

∴，

解得：，

∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+，

∴对称轴方程x=﹣=．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，解题需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．

24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．

（1）求证：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=，求DE的长；

（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据S△AOC=，得到S△ACF=，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∵∠ABC=30°，

∴∠ACB=60°

∵OA=OC，

∴∠AOC=60°，

∵AF是⊙O的切线，

∴∠OAF=90°，

∴∠AFC=30°，

∵DE是⊙O的切线，

∴∠DBC=90°，

∴∠D=∠AFC=30°

∴∠DAE=∠ACF=120°，

∴△ACF∽△DAE；

（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，

∴∠CAF=30°，

∴∠CAF=∠AFC，

∴AC=CF

∴OC=CF，

∵S△AOC=，

∴S△ACF=，

∵∠ABC=∠AFC=30°，

∴AB=AF，

∵AB=BD，

∴AF=BD，

∴∠BAE=∠BEA=30°，

∴AB=BE=AF，

∴=，

∵△ACF∽△DAE，

∴=（）2=，

∴S△DAE=，

过A作AH⊥DE于H，

∴AH=DH=DE，

∴S△ADE=DE•AH=וDE2=，

∴DE=；

（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，

在△AOF与△BOE中，，

∴△AOF≌△BEO，

∴OE=OF，

∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，

∴∠AFO=∠GFO，

过O作OG⊥EF于G，

∴∠OAF=∠OGF=90°，

在△AOF与△OGF中，，

∴△AOF≌△GOF，

∴OG=OA，

∴EF是⊙O的切线．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，证得△ACF∽△DAE是解题的关键．

25．（9分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；

（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；

（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．

【解答】（1）四边形APQD为平行四边形；

（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，

∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，

∴∠AOP=∠BOQ=90°，

∴OA⊥OP；

（3）如图，过O作OE⊥BC于E．

①如图1，当P点在B点右侧时，

则BQ=x+2，OE=，

∴y=וx，即y=（x+1）2﹣，

又∵0≤x≤2，

∴当x=2时，y有最大值为2；

②如图2，当P点在B点左侧时，

则BQ=2﹣x，OE=，

∴y=וx，即y=﹣（x﹣1）2+，

又∵0≤x≤2，

∴当x=1时，y有最大值为；

综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全等三角形的判定与性质是解题关键；利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键，又利用了二次函数的性质．

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