数学教育概论

《数学教育概论》复习资料

第二章 与时俱进的数学教育

1，数学发展史上的四个高峰：

1　以《几何原本》为代表的古希腊的公理化数学（公元前700-300）（严密性）；

2　以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学（17-18世纪中叶）（有用性）；

3　以希尔伯特为代表的现代公理化数学（19-20世纪中叶）（形式化）；

4　以现代计算机技术为代表的信息时代数学（20世纪中叶-今天）

2，四个数学发展阶段，显示出“数学应用”和严密的“公理化”这两种思潮是交互出现的：

1　古希腊“公理化”时期；

2　牛顿的不严密的无穷小算法时期；

3　希尔伯特的严密的现代公理化时期；

4　信息时代的计算机算法时期。

3，核心数学的发展趋势至少有以下特点：

1　从线性到非线性，混沌、分形、动力系统等研究迅速发展；

2　从交换到非交换，矩阵、算子的乘法都是不可交换的；

3　从一维数学到高维数学，特别是四维和无穷维；

4　随机数学和确定性数学、离散和连续、局部性质和整体性质间的对立与整合。

4，数学观的变化：

1　公理化方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但是数学不等于形式；

2　在计算机技术的支持下，数学注重应用；

3　数学不等于逻辑，要做“好”的数学。

5，20世纪我国数学教育观发生了哪些变化？

1　由关注教师“教”转向关注学生的“学”；

2　从“双基”与“三大能力”观点的形成，发展到更宽广的能力观和素质观；

3　从听课、阅读、演题，到提倡试验、讨论、探索的学习方式；

4　从看重数学的抽象和严谨，到关注数学文化、数学探究和数学应用。

第三章 数学教育的基本理论

1，弗赖登塔尔的数学教育理论

1）弗赖登塔尔所认识的数学教育主要特征是什么？

①情境问题是教学的平台；

②数学化是数学教育的目标；

③学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；

④“互动”是主要学习方式；

⑤学科交织是数学教育内容的呈现方式。（概括：现实、数学化、再创造）

2）现实：弗赖登塔尔认为，数学是来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教育即是现实的数学教育。

3）在运用“现实的数学”进行教学时必须明确什么？

第一、数学的概念，数学的运算、法则，以及数学的命题，都是来自于现实世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。

第二、数学研究的对象是现实世界同一类食物或抽象而成的量化模式。

第三、社会需要的人才是多方面的，不同层次、不同专业所需的数学知识不尽相同。

4）数学化：人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫做数学化。说简单点，数学地组织现实世界的过程就是数学化。

5）数学化的形式：1）实际问题转化为数学问题的数学化；2）从符号到概念的数学化

6）再创造：学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”的过程，这是目前数学教育的一个重要观点。它强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。

2，波利亚的数学教育观

中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”，“教会学生思考”意味着数学教师不只是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，他应该强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯。而为了教会学生思考，教师在教学时，要遵循学习过程的三个原则，即主动学习，最佳动机，循序渐进。

（主动学习，“学习的东西最好方式是发现它。”；最佳动机，为了使学习富有成效，学生应该对学习倍感兴趣并且在学习活动中寻求欢乐；循序渐进，学习过程是从行动和感知开始的，进而发展到词语和概念，以养成合理的思维习惯而结束。）

3，建构主义的数学教育理论

1）建构主义主要观点：

1）知识不是通过感官或交流被动获得的，而是通过认识主体的反省抽象来主动建构的；

2）有目的的活动和认知结构的发展存在着必然的联系；

3）儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展。

2）数学知识是什么：数学知识并非绝对真理，即不是现实的纯粹客观的反映。数学只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，并将随着人们认识程度的深入而不断地改革、升华和改写，直至出现新的解释和假设。

3）学生如何学习数学？

1）学习不是由教师把知识简单地传递结学生，而是由学生自己建构知识的过程。

2）学习不是被动接收信息刺激，而是主动地建构意义，是根据自己的经验背景，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得自己的意义。

3）学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解。

4）建构主义指导下的课堂教学的基本假设

1）教师必须建立学生理解的数学模式。教师应该建立反映每个同学建构

状况的“卷宗”，以便判定每个学生建构能力的强弱；

2）教学是师生、生生之间的互动；

3）学生自己决定建构是否合理。

5）数学教室在建构主义的课堂上要做的六件事：

1）加强学生的自我管理和激励他们为自己的学习负责；

2）发展学生的反省思维；3）建立学生建构数学的“卷宗”；

4）观察与参与学生尝试、辨认与选择解题途径的活动；

5）反思与回顾解题途径；6）明确活动、学习材料的目的。

● 为了适应建构主义指导下的数学教学，教师必须理解学生的数学现实、理解

人类思考数学的现实、理解教学现实。

4，数学的“双基”：数学的基础知识和基础技能。

第4章 数学教育的核心内容

1，数学教学原则概括：

1）学习数学化原则：数学化是弗赖登塔尔提出来的，“与其说学习数学，不如说学习数学化”，正确设定教学目标，突出所教内容的数学本质，显示课程所具有的数学价值，数学化和数学建模有密切关系，数学化是从数学整体出发学习数学，数学化能力是由数学的抽象、形式化的语言特征决定的一种特殊能力。

2）适度形式化原则：形式化是数学的特征。希尔伯特提出形式主义数学哲学观。数学的形式化包括“符号化、逻辑化和公理化”，数学是符号化的形式化语言，数学符号化是数学形式化的基础，数学教学的重要目标是会使用符号。

3）问题驱动原则：“问题是数学的心脏。”问题是贯穿数学教学活动的一条主线，是学生学习数学的驱动之一。

4）渗透数学思想方法原则：数学思想是一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能使个体逐步认识、理解、内化为个体认知结构。总之，在数学教学中注意内容的彼此关联，努力渗透并提炼数学思想方法，是我们应当努力运用的原则。

2，数学能力观的变化

形式主义数学观影响下的数学能力观：从苏联克鲁捷茨基的《中小学生数学能力心理学》中的九大能力，总起来就是“形式化”的抽象能力、记忆能力和推理能力。它没有包括数学建模、数学应用的能力，显然这是在数学形式主义观下进行数学能力的考察；到我国“三大能力”：数学运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力。

20世纪90年代以来我国数学能力观的变化：国家整体上提倡“素质教育”和“创新教育”，中国数学界强调数学应用的重要性，社会进步把数学教育带入了计算机时代。1992年继续提出三大能力，但是加上了“用所学知识解决简单的实际问题”；1996年，将“逻辑思维能力”改成“思维能力”；1997年以后创新教育口号极大促进数学能力研究；同时20世纪80年代徐利治提出“建立数学建模”的方法，戴再平“开放题数学教学”等等。

21世纪以后，国内外关于数学能力的提法变化：2000年美国数学教师协会发布《数学课程标准》，提出六项能力，2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》在数学能力发面有了更细致的描述。

3，论述数学思想方法的四个层次。

第一类 基本的和重大的数学思想方法

● 形式和内容是一对哲学范畴。世间万物都有自己的物质运动形式，或者物理运动，或者化学运动，或者社会运动等等。

● 运动与静止也是一对哲学范畴，它的数量化就是常量数学和变量数学。

● 偶然与必然。这对哲学范畴的数量化，形成了确定性数学和随机性数学。

● 现象与本质。人和物体内都有现象和本质两个方面。

● 原因与结果。世界上万物都有一定的因果关系。

● 其他如精确与近似(计算数学)，整体与局部(函数的整体性质与局部性质)，同一与差异(模糊数学)等等，都是考察重大数学思想方法的视角。

第二类 与一般科学方法相应的数学方法

● 分析与综合。对一个事物进行分析，首先要进行分类。数学的分类强调“不重不漏”。

● 归纳与演绎。数学是一门演绎的科学，主要是运用演绎的论证，达到数学的真理性。

● 其他如观察、类比、联想等一般科学方法，都可以用于数学。数学也有实验，多半是思想实验，即假定某条件．那么会有某结果，因而可以达到目的或者否定命题。

第三类 数学中的特有的方法

● 最重要公理化方法：欧式几何公理体系是公理化方法的典范。自然数公理、实数系公理、复数系公理也都是大家熟知的。

● 最常用化归方法：即把需要证明的结果经过逻辑和等价的变化，化结为已知的事实。

● 数形结合和转换

● 方程思想

● 概率统计方法：

第四类 中学数学中的解题方法

第一步 判断问题的类型，找出问题的数学核心所在。

第二步 掌握一些基本的原则。包括：(1)模型化原则。(2)简单化原则。(3)等价变换的原则（即化归方法）。(4)映射反演原则(RMI)（即数形结合）。(5)逐次逼近原则。

第三步 选择适当的技巧。包括围于分解方法，配方法，待定系数法，换元法，降维法和消元法，不等式的放大缩小法，参数方法，枚举法．计数方法等等。

4，什么是基本数学活动经验？

在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。数学活动经验的积累过程是学生主动探索的过程。

5，数学活动经验的特征：

1）数学活动经验是具有数学目标的主动学习的结果；

2）数学经验专指对具体、形象的事物进行具体操作和探索所获得的经验，以区别于广义的抽象数学思维所获得的经验；

3）数学经验是人们的“数学现实”最贴近现实的部分；

4）学生积累的丰富的数学活动经验，需要和探索性学习联系在一起，使其善于发现日常生活中的数学问题，提出问题，解决问题。

6，基本数学活动经验的类型

1）直接数学活动经验：直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验；

2）间接数学活动经验：创设实际情境构建数学模型所获得的数学经验；

3）专门设计的数学活动经验：有纯粹的数学活动所获得的数学经验；

4）意境联结性数学活动经验：通过实际情境与意境的沟通，借助想象体验数学概念和数学思想的本质。

7，积累数学活动经验的教学策略

1）教学活动应该成为数学学习的有机组成部分，不能可有可无；

2）数学活动来源于日常生活，但是高于日常生活；

3）拓展生活现实领域，扩大数学经验的范围。

8，几种基本的数学教学模式

1）讲授式教学模式

五个教学环节：组织教学、引入新课、讲授新课、巩固练习、布置作业。

特点：以教师为中心；学生处于被动的学习状态之中，乃是机械学习；大容量、快节奏、高密度。

2）讨论式教学模式

特点：教师由知识的“代言人”变成了教学活动的组织者；学生由知识的被动接受者变成了某种程度知识的构建者。

3）学生活动式教学模式特点：注重直观性，容易提高学生的兴趣，所花时间较多，也容易使学生过于关注活动的外在形式，竞赛的输赢，忽视活动本身数学内容，不宜频繁使用。

第五章 数学教育研究的一些特定课题

1，数学史对数学教育的作用：

1）帮助理解数学；

2）提高对数学的宏观认识；

3）能够为数学教学设计提供一定的指导；

4）数学史能够凸现数学的文化价值。

2，数学学差生的特征是什么？P144/表5-2

（1）内在性格特征：深刻与持久度指数不同、活动性强弱度指数不同、感受性强弱度指数不同。**为性格分类；

（2）学习表现特征：学法不当、兴趣低下、死记硬背、概念理解、知识缺欠、成绩低下、操作缓慢、态度不端、思维呆板、狭窄肤浅、破网断链、持续困难。

（3）外部行为特征：肤浅、冲动与笨拙、多动与厌动、分心**（2）（3）为类型分类

第七章 数学问题与数学考试

1，什么是“数学问题解决”？

综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那些并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。而以“问题解决”作为数学教育的中心，则是指应当努力帮助学生学会“数学地思维”。

可见，“问题解决”与着眼于“应试”、突出“题型+解法”的“题海战术”是不同的，问题解决中的问题与传统教学中的习题也是不同的。

问题解决有多种提法，一个比较简洁的界定是：一个对人具有智力挑战特征的，没有现成的直接方法、程序或算法德未解决问题的情境。

2，“中国的数学问题解决”的特征是什么？

①注重研究数学解题思维过程；②强调数学方法论研究；

③提倡数学解题策略研究；④应用问题、数学建模教学研究；

⑤开放题、情境题的教学研究，及其在考试中的大规模运用；

⑥提倡探究性学习，进行“问题教学”、“情境教学”、“开放性教学”。

第十一章 数学教学设计

1，完成数学教学设计，教师需要考虑以下三方面：

（1）明确教学目标。（课堂教学必须完成课程标准设置的要求）

（2）形成设计意图。（根据教学目标，选择适当的教学方法和教学策略，形成科学、合理、实用、艺术化的设计意图）

（3）制定教学过程。（将设计意图转化为采用可操作的、有效的教学手段，创设良好的教学环境，有序地实施各个教学环节，拟定可行的评价方案、从而促使教学活动顺利进行，达到原定目标）

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