正多边形和圆及圆的有关计算

正多边形和圆及圆的有关计算

一、知识梳理：

1、正多边形和圆

各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n（n＞3）等分：

（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

正n边形的每个中心角等于

正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。

2、正多边形的有关计算

正n边形的每个内角都等于

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。

3、画正多边形

(1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆

正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。

正五边形的近似作法(等分圆心角)

4、圆周长、弧长

（1）圆周长C＝2πR；（2）弧长

5、圆扇形，弓形的面积

（l）圆面积：；

（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为：

注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为

（3）弓形的面积

由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。

（4）圆柱和圆锥的侧面展开图

a、圆柱的侧面展开图

圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。（如图所示）

AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， C’D’，…都叫圆柱的母线。

圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。

圆柱的两个底面是平行的。

圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。

∴S侧面=2πRh

圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R

R是圆柱底半径，h是圆柱的高。如图所示

b、圆锥的侧面展开图

圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。

如图所示，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。

旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。

连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。

圆锥的侧面展开图如所示是一个扇形SAB

半径是母线长，AB是2πR。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=πRL.

二、典型例题：

1.如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六

边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心

依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，

…….当AB＝1时，l2 011等于（ ）

A. B. C. D.

2.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）

A. B. C. D.

3.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此

时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（ ）.

A. 3 B. 6C. 5 D. 4

4. 以数轴上的原点为圆心,为半径的扇形中,圆心角,另一个扇形

是以点为圆心,为半径,圆心角,点在数轴上表示实数,如图,

如果两个扇形的圆弧部分(和)相交,那么实数的取值范围是__________.

5.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是m。（结果用π表示）

6.如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且

AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面

积为___________.

7.如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1

的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2

位置时，顶点A1所经过的路径的长为___________.

8.如图3，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为________.

9.如图，已知⊙O的半径为2，弦AB⊥半径OC，沿AB将弓形ACB翻折，使点C与圆心O重合，则月牙形(图中实线围成的部分)的面积是__________.

10.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB

沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，折痕交OA于点C，

求整个阴影部分的周长和面积．

11.阅读下列材料，然后解答问题．

经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形．

如图，已知正四边形的外接圆，的面积为，正四边形的面积为．以圆心为顶点作，使．将绕点旋转，分别与相交于点，分别与正四边形的边相交于点．设由及正四边形的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为．

（1）当经过点时（如图），则之间的关系为：（用含的代数式表示）；

（2）当时（如图），点为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；

（3）当旋转到任意位置时（如图），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．

三、巩固练习：

1.如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长

为半径画弧交AB于点E，连结CE，则阴影部分的面积是________．

2.如图所示，A是半径为1的⊙O外一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，

B为切点，弦BC∥OA，连结AC，阴影部分的面积为____________.

3.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为______．

4.在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于.

5.已知圆锥的高是30cm，母线长是50cm，则圆锥的侧面积是cm2.

6.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2“等边扇形”的面积为_______________.

7.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的体积为______________.

8.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.把△ABC绕点A按

顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2，则线段BC在

上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________．

9.如图，扇形OAB，∠AOB＝90°，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB相切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是________．

10.如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP.

若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为________．

11.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB、OD

为直径作⊙O1、⊙O2.

(1)求⊙O1的半径；

(2)求图中阴影部分的面积．

12.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.

(1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝2，

求线段BD，BE与劣弧所围成的图形面积．(结果保留根号和π)

13.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B.已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD

的两个交点，且EF＝24cm，设⊙O1的半径为xcm.

(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；

(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，

当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/254aeb830875f46527d3240c844769eae109a31e.html