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2019年云南高考数学(理)真题(含答案)

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2019年云南高考数学(理真题(含答案
普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1，2，则A1．已知集合Ax|x1≥0，B0，A．02．1i2iA．3i


B．3i




B．1


B


C．1，21，2D．0，
C．3iD．3i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是


4．若sin8
A．
9
5
1
，则cos23
B．
79
C．
79
D．
89
2
5．x2的展开式中x4的系数为
x
A．10B．20C．40D．80
2
6．直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x2y22上，则△ABP面积的取值范围是A．2，6


8B．4，

32C．2，32D．22，

2019年云南高考数学(理真题(含答案
42
7．函数yxx2的图像大致为

8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，PX4PX6，则pA．0.7



B．0.6


C．0.4


D．0.3
a2b2c2
9．△ABC的内角A，B，，则CC的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为
4
ππππA．B．C．D．
2346
C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱10．设A，B，
锥DABC体积的最大值为A．123


B．183


C．243


D．543
x2y2
b0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐11．设F1，F2是双曲线C：221（a0，
ab
近线的垂线，垂足为P．若PF16OP，则C的离心率为A．5


B．2



C．3



D．2
12．设alog0.20.3，blog20.3，则

2019年云南高考数学(理真题(含答案
A．abab0C．ab0ab





B．abab0D．ab0ab
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c∥2a+b，则________．
1处的切线的斜率为2，则a________．14．曲线yax1e在点0，
x
π
15．函数fxcos3x在0，π的零点个数为________．
6
1和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若16．已知点M1，
∠AMB90，则k________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．学科.网（一）必考题：共60分．17．（12分）
等比数列an中，a11，a54a3．（1）求an的通项公式；
（2）记Sn为an的前n项和．若Sm63，求m．18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

2019年云南高考数学(理真题(含答案

第一种生产方式第二种生产方式
超过m

不超过m

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K
2
nadbc
2
abcdacbd
，
PK2≥k0.0500.010
k
0.001
3.8416.63510.828
19．（12分）
如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

20．（12分）
x2y2
1交于A，B两点，线段AB的中点为M1，mm0．已知斜率为k的直线l与椭圆C：
43
1
（1）证明：k；
2
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．21．（12分）
2
已知函数fx2xaxln1x2x．

（1）若a0，证明：当1x0时，fx0；当x0时，fx0；（2）若x0是fx的极大值点，求a．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

2019年云南高考数学(理真题(含答案
xcos，
2且倾斜角为在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（为参数），过点0，
ysin

的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求的取值范围；学.科网（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数fx2x1x1．（1）画出yfx的图像；
（2）当x∈0，，fx≤axb，求ab的最小值．



参考答案：
1C
13.
2D
3A
4B
5C
6A
7D
8B
9C
10B
11C
12B
1
14.315.316.22

2019年云南高考数学(理真题(含答案
17.(12分
n1
解：（1）设{an}的公比为q，由题设得anq.
由已知得q4q，解得q0（舍去），q2或q2.
n1n1故an(2或an2.
42
（2）若an(2
n1
1(2nm
，则Sn.由Sm63得(2188，此方程没有正整数解.
3
n1nm
若an2，则Sn21.由Sm63得264，解得m6.
综上，m6.18.（12分）
解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知m列联表如下：

超过m
不超过m
7981
80.2

2019年云南高考数学(理真题(含答案
第一种生产方式第二种生产方式
2
155
515
40(1515552
106.635，（3）由于K所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
20202020
19.（12分）
解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因为M为CD上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC
CM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.

当三棱锥M−ABC体积最大时，M为CD的中点.
由题设得D(0,0,0,A(2,0,0,B(2,2,0,C(0,2,0,M(0,1,1，
AM(2,1,1,AB(0,2,0,DA(2,0,0
设n(x,y,z是平面MAB的法向量,则
nAM0,2xyz0,
即
2y0.nAB0.
可取n(1,0,2.
DA是平面MCD的法向量,因此
cosn,DA
nDA5
，5|n||DA|

2019年云南高考数学(理真题(含答案
sinn,DA
25
，5
25
.5
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是20.（12分）
x12y12x22y22
1,1.解：（1）设A(x1,y1,B(x2,y2，则4343
两式相减，并由
y1y2
k得
x1x2
x1x2y1y2
k0.43
由题设知
x1x2yy
1,12m，于是22
k
31
，故k.22
3
.①4m
由题设得0m
（2）由题意得F(1,0，设P(x3,y3，则
(x31,y3(x11,y1(x21,y2(0,0.
由（1）及题设得x33(x1x21,y3(y1y22m0.又点P在C上，所以m于是
333，从而P(1,，|FP|.422
x12x|FA|(x11y(x113(121.
42
2
2
1
2
同理|FB|2
x2
.2
1
(x1x23.2
所以|FA||FB|4

2019年云南高考数学(理真题(含答案
故2|FP||FA||FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.设该数列的公差为d，则
2|d|||FB||FA||
3
代入①得k1.4
11|x1x2|(x1x224x1x2.②22
将m
所以l的方程为yx
712
，代入C的方程，并整理得7x14x0.44
故x1x22,x1x2
3211
，代入②解得|d|.
2828
321321
所以该数列的公差为或.
2828
21.(12分
解：（1）当a0时，f(x(2xln(1x2x，f(xln(1x
x
.1x
设函数g(xf(xln(1x
xx，则g(x.2
1x(1x
当1x0时，g(x0；当x0时，g(x0.故当x1时，g(xg(00，且仅当x0时，g(x0，从而f(x0，且仅当x0时，f(x0.所以f(x在(1,单调递增.学#科网
又f(00，故当1x0时，f(x0；当x0时，f(x0.
（2）（i）若a0，由（1）知，当x0时，f(x(2xln(1x2x0f(0，这与x0是
f(x的极大值点矛盾.
（ii）若a0，设函数h(x
f(x2x
ln(1x.
2xax22xax2
由于当|x|min{1,
1
}时，2xax20，故h(x与f(x符号相同.|a|

2019年云南高考数学(理真题(含答案
又h(0f(00，故x0是f(x的极大值点当且仅当x0是h(x的极大值点.
12(2xax22x(12axx2(a2x24ax6a1
h(x.
1x(2xax22(x1(ax2x22
如果6a10，则当0x大值点.
22
如果6a10，则ax4ax6a10存在根x10，故当x(x1,0，且|x|min{1,
6a11
|x|min{1,}时，h(x0，故x0不是h(x的极，且
4a|a|
1
}时，|a|
h(x0，所以x0不是h(x的极大值点.
x3(x24
如果6a10，则h(x.则当x(1,0时，h(x0；当x(0,1时，
(x1(x26x122h(x0.所以x0是h(x的极大值点，从而x0是f(x的极大值点
综上，a
1.6
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
22
【解析】（1）O的直角坐标方程为xy1．
当

时，l与O交于两点．2
2
|1，时，记tank，则l的方程为ykx2．l与O交于两点当且仅当|221k

42

．24
当
解得k1或k1，即(,或(,
综上，的取值范围是(,

．44
xtcos,
(t为参数，．（2）l的参数方程为
44y2tsin
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP
tAtB
，且tA，tB满足t222tsin10．2

2019年云南高考数学(理真题(含答案
xtPcos,
于是tAtB22sin，tP2sin．又点P的坐标(x,y满足
y2tPsin.
2
sin2,x
2(为参数，．所以点P的轨迹的参数方程是
44y22cos2
22
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
13x,x,2
1
f(xx2,x1,yf(x的图像如图所示．1【解析】（）
2
3x,x1.

（2）由（1）知，yf(x的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(xaxb在[0,成立，因此ab的最小值为5．

2019年云南高考数学(理真题(含答案


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/27c1cdb933126edb6f1aff00bed5b9f3f80f7205.html

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