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1、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法. 它的理论依据就是乘法分配律. 多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂.

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式.

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【分类解析】

1. 把下列各式因式分解

（1）word/media/image2_1.png

（2）word/media/image3.wmf

分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号.

解：word/media/image4.wmf

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，word/media/image5_1.png，是在因式分解过程中常用的因式变换.

解：word/media/image6.wmf

word/media/image7.wmf

2. 利用提公因式法简化计算过程

例：计算word/media/image8_1.png

分析：算式中每一项都含有word/media/image9.wmf，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果.

解：原式word/media/image10_1.png

word/media/image11.wmf

3. 在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组word/media/image12.wmf，求代数式word/media/image13_1.png的值.

分析：不要求解方程组，我们可以把word/media/image14.wmf和word/media/image15.wmf看成整体，它们的值分别是3和word/media/image16_1.png，观察代数式，发现每一项都含有word/media/image14.wmf，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有word/media/image14.wmf和word/media/image15.wmf的式子，即可求出结果.

解：word/media/image17.wmf

把word/media/image14.wmf和word/media/image15.wmf分别为3和word/media/image16_1.png带入上式，求得代数式的值是word/media/image18_1.png.

4. 在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n，word/media/image19.wmf一定是10的倍数.

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可.

word/media/image20.wmf

word/media/image21_1.png

word/media/image22_1.png对任意自然数n，word/media/image23.wmf和word/media/image24_1.png都是10的倍数.

word/media/image25.wmf一定是10的倍数

5、中考点拨：

例1. 因式分解word/media/image26_1.png

解：word/media/image26_1.png

word/media/image27_1.png

说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到.

例2．分解因式：word/media/image28.wmf

解：word/media/image28.wmf

word/media/image29.wmf

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简.

题型展示：

例1. 计算：word/media/image30.wmf

精析与解答：

设word/media/image31.wmf，则word/media/image32.wmf

word/media/image33.wmf

word/media/image34.wmf

说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大. 其中2000、2001重复出现，又有word/media/image35.wmf的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算.

例2. 已知：word/media/image36_1.png（b、c为整数）是word/media/image37.wmf及word/media/image38_1.png的公因式，求b、c的值.

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦. 注意到word/media/image36_1.png是word/media/image39.wmf及word/media/image40_1.png的因式. 因而也是word/media/image41.wmf的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式.

解：word/media/image42_1.png是word/media/image39.wmf及word/media/image38_1.png的公因式

word/media/image43_1.png也是多项式word/media/image44.wmf的二次因式

而word/media/image45_1.png

word/media/image22_1.pngb、c为整数

得：word/media/image46.wmf

word/media/image47.wmf

说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式word/media/image48_1.png，从而简便求得word/media/image36_1.png.

例3. 设x为整数，试判断word/media/image49_1.png是质数还是合数，请说明理由.

解：word/media/image49_1.png

word/media/image50_1.png

word/media/image51_1.png都是大于1的自然数

word/media/image52_1.png是合数

说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数. 只能被1和本身整除的数叫质数.

【实战模拟】

1. 分解因式：

（1）word/media/image53.wmf

（2）word/media/image54.wmf（n为正整数）

（3）word/media/image55_1.png

2. 计算：word/media/image56.wmf的结果是（ ）

A. word/media/image57.wmf B. word/media/image58_1.png C. word/media/image16_1.png D. word/media/image59_1.png

3. 已知x、y都是正整数，且word/media/image60.wmf，求x、y.

4. 证明：word/media/image61_1.png能被45整除.

5. 化简：word/media/image62.wmf，且当word/media/image63.wmf时，求原式的值.

【试题答案】

1. 分析与解答：

（1）word/media/image53.wmf

word/media/image64.wmf

（2）word/media/image54.wmf

word/media/image65_1.png

（3）原式word/media/image66_1.png

word/media/image67.wmf

注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底.

2. B

3. word/media/image68.wmf

word/media/image69_1.png

word/media/image70.wmf是正整数

word/media/image71_1.png分解成word/media/image72.wmf

又word/media/image73.wmf与word/media/image74_1.png奇偶性相同，且word/media/image75_1.png

word/media/image76_1.png

说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决.

4. 证明：word/media/image77.wmf

word/media/image78.wmf

word/media/image79.wmf能被45整除

5. 解：逐次分解：原式word/media/image80.wmf

word/media/image81.wmf

word/media/image43_1.png当word/media/image63.wmf时，原式word/media/image82_1.png

2 、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式.

主要有：平方差公式 word/media/image83.wmf

完全平方公式 word/media/image84.wmf

立方和、立方差公式 word/media/image85_1.png

补充：欧拉公式：

word/media/image86_1.png

word/media/image87.wmf

特别地：（1）当word/media/image88.wmf时，有word/media/image89_1.png

（2）当word/media/image90.wmf时，欧拉公式变为两数立方和公式.

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式. 但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式.

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用. 因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助.

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1. 把word/media/image91_1.png分解因式的结果是（ ）

A. word/media/image92_1.png B. word/media/image93.wmf

C. word/media/image94_1.png D. word/media/image95.wmf

分析：word/media/image96.wmf.

再利用平方差公式进行分解，最后得到word/media/image93.wmf，故选择B.

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式. 同时要注意分解一定要彻底.

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：已知多项式word/media/image97_1.png有一个因式是word/media/image98_1.png，求word/media/image99_1.png的值.

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出word/media/image99_1.png的值.

解：根据已知条件，设word/media/image100.wmf

则word/media/image101_1.png

由此可得word/media/image102_1.png

由（1）得word/media/image103.wmf

把word/media/image103.wmf代入（2），得word/media/image104.wmf

把word/media/image104.wmf代入（3），得word/media/image105.wmf

3. 在几何题中的应用.

例：已知word/media/image106_1.png是word/media/image107.wmf的三条边，且满足word/media/image108.wmf，试判断word/media/image107.wmf的形状.

分析：因为题中有word/media/image109.wmf，考虑到要用完全平方公式，首先要把word/media/image110_1.png转成word/media/image111.wmf. 所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解.

解：word/media/image112_1.png

word/media/image113.wmf

word/media/image114.wmf

word/media/image115_1.png

word/media/image116_1.png

word/media/image117_1.png

word/media/image118.wmf

word/media/image119.wmf为等边三角形.

4. 在代数证明题中应用

例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论.

解：设这两个连续奇数分别为word/media/image120_1.png（word/media/image121_1.png为整数）

则word/media/image122.wmf

word/media/image123_1.png

由此可见，word/media/image122.wmf一定是8的倍数.

5、中考点拨：

例1：因式分解：word/media/image124_1.png________.

解：word/media/image125.wmf

说明：因式分解时，先看有没有公因式. 此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底.

例2：分解因式：word/media/image126_1.png_________.

解：word/media/image127.wmfword/media/image128.wmf

说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底.

题型展示：

例1. 已知：word/media/image129_1.png，

求word/media/image130.wmf的值.

解：word/media/image130.wmf

word/media/image131.wmf

word/media/image132.wmf

word/media/image133_1.png

word/media/image43_1.png原式word/media/image132.wmf

word/media/image134_1.png

说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程.

例2. 已知word/media/image135.wmf，

求证：word/media/image136.wmf

证明：word/media/image137_1.png

word/media/image43_1.png把word/media/image138_1.png代入上式，

可得word/media/image139.wmf，即word/media/image140.wmf或word/media/image141.wmf或word/media/image90.wmf

若word/media/image140.wmf，则word/media/image142.wmf，

word/media/image143.wmf

若word/media/image141.wmf或word/media/image90.wmf，同理也有word/media/image136.wmf

说明：利用补充公式确定word/media/image144.wmf的值，命题得证.

例3. 若word/media/image145_1.png，求word/media/image146.wmf的值.

解：word/media/image147_1.png

且word/media/image148_1.png

word/media/image149_1.png

又word/media/image150_1.png

两式相减得word/media/image151.wmf

所以word/media/image152.wmf

说明：按常规需求出word/media/image153_1.png的值，此路行不通. 用因式分解变形已知条件，简化计算过程.

【实战模拟】

1. 分解因式：

（1）word/media/image154.wmf

（2）word/media/image155.wmf

（3）word/media/image156.wmf

2. 已知：word/media/image157.wmf，求word/media/image158_1.png的值.

3. 若word/media/image144.wmf是三角形的三条边，求证：word/media/image159_1.png

4. 已知：word/media/image160.wmf，求word/media/image161.wmf的值.

5. 已知word/media/image162_1.png是不全相等的实数，且word/media/image163.wmf，试求

（1）word/media/image164_1.png的值；（2）word/media/image165_1.png的值.

【试题答案】

1. （1）解：原式word/media/image166.wmf

word/media/image167_1.png

word/media/image168.wmf

说明：把word/media/image169.wmf看成整体，利用平方差公式分解.

（2）解：原式word/media/image170_1.png

word/media/image171.wmf

word/media/image172.wmf

（3）解：原式word/media/image173_1.png

word/media/image174.wmf

2. 解：word/media/image175_1.png

word/media/image176.wmf

word/media/image177.wmf word/media/image178_1.png

3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明.

证明：word/media/image179.wmf

word/media/image180.wmf

word/media/image181.wmf是三角形三边

word/media/image182_1.png且word/media/image183_1.png

word/media/image184.wmf

即word/media/image185.wmf

4. 解word/media/image186_1.png

word/media/image187.wmf，即word/media/image188.wmf

word/media/image189_1.png

5. 分析与解答：（1）由因式分解可知

word/media/image190.wmfword/media/image191_1.png

故需考虑word/media/image192.wmf值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形.

解：（1）word/media/image193_1.png

word/media/image194_1.png

又word/media/image195.wmf

word/media/image196.wmf

word/media/image197.wmf

而word/media/image198.wmf

word/media/image181.wmf不全相等

word/media/image199.wmf

word/media/image200_1.png

（2）word/media/image201.wmf

word/media/image43_1.png原式word/media/image202.wmf

而word/media/image88.wmf，即word/media/image203.wmf

word/media/image43_1.png原式word/media/image204.wmf

word/media/image205.wmf

word/media/image206.wmf

说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法.

3、三角形及其有关概念

【知识精读】

1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）

（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）

（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）

3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；

（2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；

（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；

（5）三角形具有稳定性.

4. 补充性质：在word/media/image207.wmf中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则word/media/image208.wmf.

word/media/image209.gif

三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用. 三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形. 实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们. 因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础.

5. 三角形边角关系、性质的应用

【分类解析】

例1. 锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（ ）

A. word/media/image210_1.png B. word/media/image211.wmf

C. word/media/image212.wmf D. word/media/image213_1.png

分析：

因为word/media/image214.wmf为锐角三角形，所以word/media/image215_1.png

又∠C＝2∠B，word/media/image216_1.png

word/media/image217_1.png

又∵∠A为锐角，word/media/image218_1.png为锐角

word/media/image219.wmf

word/media/image220.wmf，即word/media/image221_1.png

word/media/image222.wmf，故选择C.

例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定

分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状.

解：∵三角形的一个外角等于160°

∴另两个外角的和等于200°

设这两个外角的度数为2x，3x

word/media/image223.wmf

解得：word/media/image224.wmf

word/media/image225.wmf

与80°相邻的内角为100°

∴这个三角形为钝角三角形

应选C

例3. 如图，已知：在word/media/image214.wmf中，word/media/image226.wmf，求证：word/media/image227_1.png.

word/media/image228.gif

分析：欲证word/media/image227_1.png，可作∠ABC的平分线BE交AC于E，只要证word/media/image229_1.png即可. 为与题设word/media/image230_1.png联系，又作AF//BE交CB的延长线于F.

显然∠EBC＝∠F，只要证word/media/image231.wmf即可. 由word/media/image232.wmf可得证.

证明：作∠ABC的角平分线BE交AC于E，过点A作AF//BE交CB的延长线于F

word/media/image233_1.png

又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE

∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF

又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF

又∵word/media/image234.wmf

word/media/image235_1.png，又∵word/media/image236.wmf

word/media/image237.wmf

例4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍. 求证：它的最小边在它的周长的word/media/image238_1.png与word/media/image239.wmf之间.

分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明.

word/media/image240.gif

证明：如图，设word/media/image214.wmf的三边为a、b、c，其中word/media/image241_1.png，

word/media/image242.wmf

word/media/image243.wmf

因此，c是最小边，word/media/image244.wmf

因此，word/media/image245.wmf，即word/media/image246_1.png

word/media/image247.wmf

故最小边在周长的word/media/image238_1.png与word/media/image239.wmf之间.

中考点拨：

例1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ）

A. 50 B. 100 C. 180 D. 200

word/media/image248.gif

分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题.

解：word/media/image249_1.png

word/media/image250.wmf

所以选择C

例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（ ）

A. 大于2 B. 小于12 C. 大于2小于12 D. 不能确定

分析：根据三角形三边关系应有word/media/image251.wmf，即word/media/image252.wmf

所以应选C

例3. 已知：P为边长为1的等边word/media/image214.wmf内任一点.

求证：word/media/image253_1.png

word/media/image254.gif

证明：过P点作EF//BC，分别交AB于E，交AC于F，

则∠AEP＝∠ABC＝60°

word/media/image255_1.png

在word/media/image256.wmf中，

word/media/image257.wmf

word/media/image258.wmf是等边三角形

word/media/image259.wmf

word/media/image260_1.png

word/media/image261.wmf

题型展示：

例1. 已知：如图，在word/media/image214.wmf中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点. 求证：

（1）∠BEC＞∠BAC；

（2）AB＋AC＞BE＋EC.

word/media/image262.gif

分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出.

证明：（1）∵∠BED是word/media/image263_1.png的一个外角，

word/media/image264.wmf

同理，word/media/image265_1.png

word/media/image266_1.png

即word/media/image267.wmf

（2）延长BE交AC于F点

word/media/image268_1.png

即word/media/image269.wmf

例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°.

已知：如图，在word/media/image270.wmf中，word/media/image271_1.png是word/media/image207.wmf的外角，AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD.

求证：∠AFB＝45°

word/media/image272.gif

分析：欲证word/media/image273.wmf，须证word/media/image274_1.png

∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD

∴要转证∠EAB＋∠ABD＝270°

又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和

∴问题得证

证明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C

∠ABD＝∠CAB＋∠C

∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°

word/media/image275.wmf

∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD

word/media/image276_1.png

在word/media/image277_1.png中，word/media/image278.wmf

【实战模拟】

1. 已知：三角形的三边长为3，8，word/media/image279_1.png，求x的取值范围.

2. 已知：word/media/image214.wmf中，word/media/image280_1.png，D点在BC的延长线上，使word/media/image281.wmf，word/media/image282.wmf，word/media/image283.wmf，求α和β间的关系为？

word/media/image284.gif

3. 如图，word/media/image214.wmf中，word/media/image285.wmf的平分线交于P点，word/media/image286_1.png，则word/media/image287.wmf（ ）

A. 68° B. 80° C. 88° D. 46°

word/media/image288.gif

4. 已知：如图，AD是word/media/image214.wmf的BC边上高，AE平分word/media/image289.wmf.

求证：word/media/image290.wmf

word/media/image291.gif

5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半.

【试题答案】

1.

分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可.

解：∵三边长分别为3，8，word/media/image279_1.png，由三边关系定理得：

word/media/image292.wmf

word/media/image293_1.png

2.

解：word/media/image294.wmf

又word/media/image295.wmf

word/media/image296_1.png，又∵word/media/image297.wmf

word/media/image298_1.png

根据三角形内角和，得：

word/media/image299_1.png

word/media/image300.wmf

3.

解：word/media/image301.wmf

word/media/image302_1.png

又∵BP、CP为∠B、∠C的平分线

word/media/image303.wmf

4.

证明：word/media/image304_1.png

∵AE平分∠BAC，word/media/image305.wmf

又∵AD⊥BC，word/media/image306.wmf

word/media/image307_1.png

又word/media/image308.wmf

word/media/image309_1.png

word/media/image310_1.png

5.

证明：如图，设word/media/image214.wmf的∠BAC和∠ABC的外角平分线交于点D

word/media/image311.gif

word/media/image312.wmf

word/media/image313.wmf

则word/media/image314.wmf

word/media/image315_1.png

又word/media/image316.wmf

word/media/image317.wmf

4、用分组分解法进行因式分解

【知识精读】

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式. 使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键.

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用.

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解.

【分类解析】

1. 在数学计算、化简、证明题中的应用

例1. 把多项式word/media/image318_1.png分解因式，所得的结果为（ ）

word/media/image319_1.png

分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底.

解：原式word/media/image320_1.png

word/media/image321.wmf

故选择C

例2. 分解因式word/media/image322.wmf

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把word/media/image323_1.png分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把word/media/image324.wmf，word/media/image325.wmf分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解.

解法1：

word/media/image326_1.png

解法2：

word/media/image327.wmf

2. 在几何学中的应用

例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足word/media/image328_1.png

证明：以a、b、c为三边能构成三角形

分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”

证明：word/media/image329.wmf

word/media/image330.wmf

3. 在方程中的应用

例：求方程word/media/image331_1.png的整数解

分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解

解：word/media/image332.wmf

word/media/image333.wmf

word/media/image334_1.png

4、中考点拨

例1.分解因式：word/media/image335.wmf_____________.

解：word/media/image336_1.png

word/media/image337_1.png

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式.

例2．分解因式：word/media/image338_1.png____________

解：word/media/image338_1.pngword/media/image339.wmf

word/media/image340_1.png

说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式.

例3. 分解因式：word/media/image341.wmf____________

解：word/media/image341.wmfword/media/image342.wmf

word/media/image343.wmf

说明：分组的目的是能够继续分解.

5、题型展示：

例1. 分解因式：word/media/image344_1.png

解：word/media/image344_1.png

word/media/image345.wmf

说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式.

例2. 已知：word/media/image346.wmf，求ab+cd的值.

解：ab+cd=word/media/image347_1.png

word/media/image348.wmf

word/media/image349.wmf

说明：首先要充分利用已知条件word/media/image350_1.png中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果.

例3. 分解因式：word/media/image351_1.png

分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项. 观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着word/media/image352_1.png的一个因式，因此变形的目的是凑word/media/image353_1.png这个因式.

解一（拆项）：

word/media/image354.wmf

word/media/image355.wmf

解二（添项）：

word/media/image356.wmf

说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？

【实战模拟】

1. 填空题：

word/media/image357.wmf

2. 已知：word/media/image358_1.png

3. 分解因式：word/media/image359.wmf

4. 已知：word/media/image360.wmf，试求A的表达式.

5. 证明：word/media/image361.wmf

【试题答案】

1. （1）解：word/media/image362_1.png

word/media/image363_1.png

（2）解：word/media/image364.wmf

word/media/image365.wmf

（3）解：word/media/image366_1.png

word/media/image367.wmf

2. 解：word/media/image368.wmf

word/media/image369_1.png

word/media/image370.wmf

说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用.

3. 解：word/media/image371_1.png

word/media/image372.wmf

4. 解：word/media/image373_1.png

word/media/image374_1.png

word/media/image375.wmf

5. 证明：word/media/image376.wmf

word/media/image377_1.png

word/media/image378.wmf

word/media/image379_1.png

5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

word/media/image380_1.png进行因式分解. 掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数.

对于二次三项word/media/image381.wmf（a、b、c都是整数，且word/media/image382_1.png）来说，如果存在四个整数word/media/image383.wmf满足word/media/image384.wmf，并且word/media/image385_1.png，那么二次三项式word/media/image381.wmf即word/media/image386.wmf可以分解为word/media/image387.wmf. 这里要确定四个常数word/media/image388.wmf，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定.

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解.

【分类解析】

1. 在方程、不等式中的应用

例1. 已知：word/media/image389.wmf，求x的取值范围.

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解.

解：word/media/image390.wmf

word/media/image391_1.png

例2. 如果word/media/image392.wmf能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式.

分析：应当把word/media/image393_1.png分成word/media/image394_1.png，而对于常数项-2，可能分解成word/media/image395.wmf，或者分解成word/media/image396_1.png，由此分为两种情况进行讨论.

解：（1）设原式分解为word/media/image397.wmf，其中a、b为整数，去括号，得：

word/media/image398.wmf

将它与原式的各项系数进行对比，得：

word/media/image399_1.png

解得：word/media/image400.wmf

此时，原式word/media/image401.wmf

（2）设原式分解为word/media/image402_1.png，其中c、d为整数，去括号，得：

word/media/image403.wmf

将它与原式的各项系数进行对比，得：

word/media/image404_1.png

解得：word/media/image405_1.png

此时，原式word/media/image406_1.png

2. 在几何学中的应用

例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足

word/media/image407_1.png，求长方形的面积.

分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽.

解：word/media/image408.wmf

word/media/image409.wmf

word/media/image410_1.png或word/media/image411.wmf

又word/media/image412.wmf

word/media/image413_1.png

解得：word/media/image414.wmf或word/media/image415_1.png

∴长方形的面积为15cm2或word/media/image416.wmf

3、在代数证明题中的应用

例. 证明：若word/media/image417.wmf是7的倍数，其中x，y都是整数，则word/media/image418_1.png是49的倍数.

分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式.

证明一：word/media/image419.wmf

word/media/image420.wmf

∵word/media/image417.wmf是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）

∴word/media/image421_1.png是7的倍数

而2与7互质，因此，word/media/image422.wmf是7的倍数，所以word/media/image418_1.png是49的倍数.

证明二：∵word/media/image417.wmf是7的倍数，设word/media/image423.wmf（m是整数）

则word/media/image424.wmf

又∵word/media/image419.wmf

word/media/image425.wmf

∵x，m是整数，∴word/media/image426.wmf也是整数

所以，word/media/image418_1.png是49的倍数.

4、中考点拨

例1.把word/media/image427.wmf分解因式的结果是________________.

解：word/media/image428.wmf

word/media/image429.wmf

说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底.

例2.

因式分解：word/media/image430_1.png_______________

解：word/media/image431.wmf

说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误.

5、题型展示

例1. 若word/media/image432.wmf能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ）

A. 1 B. -1 C. word/media/image433_1.png D. 2

解：word/media/image434.wmf

-6可分解成word/media/image435_1.png或word/media/image436_1.png，因此，存在两种情况：

word/media/image437.gif

由（1）可得：word/media/image438_1.png，由（1）可得：word/media/image439.wmf

故选择C.

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.

例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足word/media/image440_1.png.

求证：word/media/image441.wmf

证明：word/media/image442_1.png

word/media/image443_1.png

说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证.

例3. 若word/media/image444.wmf有一因式word/media/image445.wmf. 求a，并将原式因式分解.

解：word/media/image446.wmf有一因式word/media/image445.wmf

∴当word/media/image447_1.png，即word/media/image448.wmf时，word/media/image449_1.png

word/media/image450.wmf

word/media/image451.wmf

说明：由条件知，word/media/image452_1.png时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是word/media/image445.wmf，分解时尽量出现word/media/image445.wmf，从而分解彻底.

【实战模拟】

1. 分解因式：

（1）word/media/image453.wmf

（2）word/media/image454_1.png

（3）word/media/image455.wmf

2. 在多项式word/media/image456_1.png，哪些是多项式word/media/image457.wmf的因式？

3. 已知多项式word/media/image458.wmf有一个因式，求k的值，并把原式分解因式.

4. 分解因式：word/media/image459_1.png

5. 已知：word/media/image460.wmf，求word/media/image461.wmf的值.

【试题答案】

1.

（1）解：原式word/media/image462.wmf

（2）解：原式word/media/image463.wmf

（3）解：原式word/media/image464_1.png

2.

解：word/media/image465_1.png

word/media/image466_1.png

∴其中word/media/image467_1.png是多项式

word/media/image457.wmf的因式.

说明：先正确分解，再判断.

3.

解：设word/media/image468_1.png

则word/media/image469.wmf

word/media/image470_1.png

解得：word/media/image471_1.png

word/media/image472.wmf且word/media/image473_1.png

说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1.

4.

解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法.

设word/media/image459_1.png

word/media/image474_1.png

比较同类项系数，得：word/media/image475.wmf

解得：word/media/image476.wmf

word/media/image477.wmf

5.

解：word/media/image461.wmf

word/media/image478.wmf

word/media/image479.wmf

说明：用因式分解可简化计算.

6、全等三角形及其应用

【知识精读】

1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点. 互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角.

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”. 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

4. 寻找对应元素的方法

（1）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边. 通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素.

（2）根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系.

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的.

翻折

如图（1）， BOC≌ EOD， BOC可以看成是由 EOD沿直线AO翻折180 得到的；

word/media/image480.gif

旋转

如图（2）， COD≌ BOA， COD可以看成是由 BOA绕着点O旋转180 得到的；

word/media/image481.gif

平移

如图（3）， DEF≌ ACB， DEF可以看成是由 ACB沿CB方向平行移动而得到的.

word/media/image482.gif

5. 判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理

（2） 推论：角角边定理

6. 注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA.

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具. 在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识.

【分类解析】全等三角形知识的应用

（1） 证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.

word/media/image483.gif

证明：在ΔACD和ΔABE中，

word/media/image484.gif

∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)

∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）

又 ∵ AD=AE,AB=AC.

∴ AB－AD=AC－AE

即 BD=CE

在ΔDBF和ΔECF中

word/media/image485.gif

∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）

∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD

word/media/image486.gif

分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.

证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）

∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义）

在ΔABF与ΔCDE中，

word/media/image487.gif

∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）

∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)

∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE

word/media/image488.gif

分析：

(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件.

证明：取CD中点F，连接BF

∴ BF=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngAC,且BF∥AC （三角形中位线定理）

∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)

又∵ AB=AC

∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角）

∴ ∠3＝∠2

在ΔCEB与ΔCFB中，

word/media/image489.gif

∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)

∴ CE=CF=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngCD （全等三角形对应边相等）

即CD=2CE

（ⅱ）加倍法

证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

word/media/image490.gif

在ΔAEC与ΔBEF中，

word/media/image491.gif

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)

∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)

∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)

∵ ∠ACB+∠CBF=180o,

∠ABC+∠CBD=180o,

又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC

∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）

在ΔCFB与ΔCDB中，

word/media/image492.gif

∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS)

∴ CF=CD

即CD=2CE

说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段. 例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.

(4)证明线段相互垂直

例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论.

word/media/image493.gif

分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确. 通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.

证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中

word/media/image494.gif

∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)

∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）

∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等）

∴ ∠COE+∠OCE=90o

∴ AO⊥BC

5、中考点拨：

例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．

求证：∠F＝∠A．

分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．

证明：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B，

∵EB＝ED，

∴∠ACB＝∠EDB．

∴ED∥AC．

∴∠BED＝∠A．

∵BE＝EA．

∴BD＝CD．

又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF

∴△BDE≌△CDF，

∴∠BED＝∠F．

∴∠F＝∠A．

说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系.

例2 如图，已知△ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED

word/media/image496.gif

分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可.

证明：过D点作DF∥AC交BE于F点

∵ △ ABC为等边三角形

∴ △BFD为等边三角形

∴ BF=BD=FD

∵ AE=BD

∴ AE=BF=FD

∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB

∴ EF=AC

在△ ACE和△DFE中，

word/media/image497.gif

∴ △AEC≌△FED（SAS）

∴ EC=ED（全等三角形对应边相等）

题型展示：

例1 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB＝AC＋CD．

word/media/image498.gif

分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．

证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．

∵ AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，

∴ △AED≌△ACD，

∴ DE＝DC，∠AED＝∠C．

∵ ∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，

∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．

即 ∠B＝∠EDB．

∴ EB＝ED，即ED＝DC，

∴ AB＝AC＋DC．

剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．

【实战模拟】

1. 下列判断正确的是（ ）

（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

3. 如图，已知C为线段AB上的一点， ACM和 CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点. 求证： CEF是等边三角形.

word/media/image500.gif

4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngdf4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(AB+AC)

5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

求证：BD＝CG．

word/media/image502.gif

【试题答案】

1. D

2.证明：

∵ AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，

∴ OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE.

∴ △BOD≌△COE（ASA）． 

∴ OB＝OC

3. 分析 由 ACM= BCN=60 ，知 ECF=60 ，欲证 CEF是等边三角形，只要证明 CEF是等腰三角形. 先证 CAN≌ MCB，得 1= 2.再证 CFN≌ CEB，即可推得 CEF是等边三角形的结论.

证明：在 CAN和 MCB，

∵AC=MC，CN=CB，

CAN= MCB=120 ，

∴ ACN≌ MCB中，

∴ FCB和 CEB中，

∵ FCN= ECB=60 ， 1= 2，CN=CB，

∴ CFN≌ CEB，∴CF=CE，

又∵ ECF=60 ，

∴ CEF是等边三角形.

4. 分析： 关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．

证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE

在 ACD与 EBD中

∴ ACD≌ EBD（SAS）

∴ AC＝EB（全等三角形对应边相等）

在 ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）

∴ AB＋AC＞2AD（等量代换）

说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形.

5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证△CGE≌△BDF. 由于全等条件不充分，可先证△AEC≌△CFB

证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，

∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F

∴∠AEC＝∠CFB＝90°

又∠ACB＝90°

∴ ∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF

∴ Rt△AEC≌Rt△CFB

∴CE＝BF

在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG，

∴ Rt△BFD≌Rt△CEG

∴ BD＝CG

7、因式分解小结

【知识精读】

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点.

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤. 即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容.

【分类解析】

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的

例1. 分解因式word/media/image506.wmf

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把word/media/image507.wmf分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把word/media/image508.wmf，word/media/image509_1.png，word/media/image353_1.png分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解.

解一：原式word/media/image510_1.png

word/media/image511.wmf

解二：原式=word/media/image512.wmf

word/media/image513.wmf

2. 通过变形达到分解的目的

例1. 分解因式word/media/image514.wmf

解一：将word/media/image515_1.png拆成word/media/image516_1.png，则有

word/media/image517.wmf

解二：将常数word/media/image518_1.png拆成word/media/image519.wmf，则有

word/media/image520_1.png

3. 在证明题中的应用

例：求证：多项式word/media/image521_1.png的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值. 本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数.

证明：word/media/image522.wmf

word/media/image523.wmf

设word/media/image524.wmf，则

word/media/image525.wmf

4. 因式分解中的转化思想

例：分解因式：word/media/image526.wmf

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法.

解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

word/media/image527.wmf

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的.

中考点拨：

例1.在word/media/image528.wmf中，三边a,b,c满足word/media/image529_1.png

求证：word/media/image530.wmf

证明：word/media/image531.wmf

word/media/image532.wmf

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分.

例2. 已知：word/media/image533.wmf__________

解：word/media/image534.wmf

word/media/image535_1.png

说明：利用word/media/image536.wmf等式化繁为易.

题型展示：

1. 若x为任意整数，求证：word/media/image537_1.png的值不大于100.

解：word/media/image538.wmf

word/media/image539.wmf

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题. 一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法.

2. 将word/media/image540_1.png

解：word/media/image541.wmf

word/media/image542_1.png

word/media/image543.wmf

说明：利用因式分解简化有理数的计算.

【实战模拟】

1. 分解因式：

word/media/image544.wmf

word/media/image545_1.png

2. 已知：word/media/image546.wmf的值.

3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使word/media/image547_1.png，求矩形的面积.

4. 求证：word/media/image548_1.png是6的倍数. （其中n为整数）

5. 已知：a、b、c是非零实数，且word/media/image549.wmf，求a+b+c的值.

6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较word/media/image550.wmf的大小.

【试题答案】

1. （1）解：word/media/image551_1.png

word/media/image552.wmf

（2）解：word/media/image553_1.png

word/media/image554.wmf

（3）解：word/media/image555.wmf

word/media/image556_1.png

word/media/image557.gif

（4）解：word/media/image558.wmf

word/media/image559.wmf

2. 解：word/media/image560.wmf

word/media/image561_1.png

word/media/image562.wmf

3. 解：word/media/image563_1.png

word/media/image564.wmf

4. 证明：word/media/image548_1.png

word/media/image565.wmf

word/media/image566.wmf

5. 解：word/media/image567_1.png用abc乘以第二个条件等式的两边，得：

word/media/image568_1.png

说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握.

6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小.

解：word/media/image569_1.png

word/media/image570.wmf

word/media/image571.wmf

8 、分式的概念、分式的基本性质

【知识精读】

分式的概念要注意以下几点：

（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；

（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；

（3）分式有意义的条件是分母不能为0.

分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础. 在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M“不为零”的条件.

下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念.

【分类解析】

例1. 已知word/media/image572_1.png为有理数，要使分式word/media/image573.wmf的值为非负数，word/media/image572_1.png应满足的条件是（ ）

A. word/media/image574.wmf B. word/media/image575.wmf

C. word/media/image576.wmf D. word/media/image576.wmf，或word/media/image575.wmf

分析：首先考虑分母word/media/image577_1.png，但word/media/image578_1.png可以等于0，由word/media/image579.wmf，得word/media/image576.wmf，或word/media/image580.wmf故选择D.

例2. 当x为何值时，分式word/media/image581_1.png的值为零？

分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零.

解：由题意得，得word/media/image582.wmf，而当word/media/image583_1.png时，分母word/media/image584_1.png的值为零.

word/media/image43_1.png当word/media/image585.wmf时，分式word/media/image586.wmf的值为零.

例3. 已知word/media/image587_1.png，求word/media/image588.wmf的值（ ）

A. word/media/image589_1.png B. word/media/image590.wmf C. word/media/image591.wmf D. word/media/image592_1.png

分析：word/media/image593.wmf，将分式的分母和分子都除以word/media/image594_1.png，得

word/media/image595_1.png，故选择C.

例4. 已知word/media/image596.wmf，求word/media/image597.wmf的值.

分析：根据已知条件，先消元，再化简求值.

解：word/media/image598_1.png

word/media/image43_1.png原式word/media/image599.wmf

word/media/image600.wmf

例5. 已知：word/media/image601.wmf，求word/media/image602_1.png的值.

解一：由word/media/image601.wmf得word/media/image603.wmf，等式两边同除以x得：

word/media/image604.wmf，即word/media/image605_1.png

word/media/image606.wmf

word/media/image607_1.png

解二：由已知得：word/media/image605_1.png，两边平方得：word/media/image608_1.png

两边平方得：word/media/image609.wmf

中考点拨：

1.若代数式word/media/image610.wmf的值为零，则x的取值范围应为（ ）

A. word/media/image611_1.png或word/media/image452_1.png B. word/media/image452_1.png C. word/media/image612_1.png D. word/media/image611_1.png

解：由已知得：word/media/image613.wmf

解得：word/media/image611_1.png 故选D

简析：在求解分式值为零的题目时，考虑到分子为零，但不要忽略了分母不为零这一条件.

2. 已知：word/media/image614.wmf，求word/media/image615_1.png的值.

解：设word/media/image616.wmf，则word/media/image617_1.png

word/media/image618.wmf

题型展示：

1. x为何值时，word/media/image619.wmf成立？

解：word/media/image620_1.png

当word/media/image621.wmf且word/media/image622_1.png时，分式word/media/image623_1.png与word/media/image624.wmf都有意义.

当word/media/image625.wmf时，由分式的基本性质知：

word/media/image626.wmf

解不等式组：word/media/image627.wmf

得：word/media/image628_1.png

word/media/image43_1.png当word/media/image628_1.png时，word/media/image629_1.png

说明：利用分式的基本性质解决恒等变形问题是基本性质的灵活运用，注意分式的基本性质所适用的条件是分式有意义，做题时应考虑分母不为零的条件.

2. 把分式word/media/image630.wmf化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？

解：原式word/media/image631.wmf

word/media/image632.wmf

word/media/image633.wmf

说明：利用因式分解、分式的基本性质可以化简分式.

【实战模拟】

1. 在下列有理式word/media/image634.wmf中，分式的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 如果分式word/media/image635_1.png的值为零，则a的值为（ ）

A. 2 B. -2 C. word/media/image636.wmf且word/media/image637_1.png D. 0

3. 填空题：

（1）word/media/image638_1.png

（2）当word/media/image639_1.png_______时，分式word/media/image640_1.png的值等于零；

当word/media/image639_1.png_______时，分式word/media/image640_1.png无意义.

4. 化简分式：word/media/image641.wmf

5. 已知：word/media/image642_1.png，求word/media/image643.wmf的值.

6. 已知：word/media/image88.wmf，

求word/media/image644.wmf的值.

【试题答案】

1. 简析：判断一个有理式是否为分式，关键在于看分母中是含有字母，故选D.

2. B

说明：分式值为0的条件：word/media/image645.wmf

3. （1）word/media/image646_1.png

（2）当word/media/image647.wmf时，word/media/image640_1.png的值为0.

当word/media/image140.wmf或word/media/image103.wmf时，word/media/image640_1.png无意义.

4. 解：原式word/media/image648.wmf

word/media/image649_1.png

说明：利用因式分解把分子、分母恒等变形，再约分.

5. 解：word/media/image650.wmf

word/media/image651_1.png

word/media/image652_1.png

word/media/image653.wmf

说明：变形已知条件，先消元，再化简求值.

6. 解：word/media/image654.wmf

word/media/image655.wmf

word/media/image43_1.png原式word/media/image656.wmf

word/media/image657.wmf

9、等腰三角形

【知识精读】

（－）等腰三角形的性质

1. 有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°. 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

2. 定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一. 等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.

（二）等腰三角形的判定

1. 有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”. ）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

2. 定理及其推论的作用.

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点.

3. 等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定.

【分类解析】

例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M. 求证：M是BE的中点.

word/media/image658.gif

分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED. 因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证.

证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

所以∠1＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png∠ABC

又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E

所以∠ACB＝2∠E

即∠1＝∠E

所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M

所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理）

例2. 如图，已知：75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，43ba751498edce747fdf63faa5c4f925.png，D是BC上一点，且93ecce73c2980ea8ee89aec4a7fdd85c.png，求002f58096ac00d40cc067e16309d1d0a.png的度数.

word/media/image664.gif

分析：题中所要求的002f58096ac00d40cc067e16309d1d0a.png在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，但仅靠43ba751498edce747fdf63faa5c4f925.png是无法求出来的. 因此需要考虑731afe7249c62053aa8a03e29b570f0d.png和d6d578ab8a3f5329f5ce0243ae635ead.png在题目中的作用. 此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系. 因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求.

解：因为43ba751498edce747fdf63faa5c4f925.png，所以4eab5c4cbd1f1fd363ca59da3fc37267.png

因为731afe7249c62053aa8a03e29b570f0d.png，所以f6b47fc71abadd5bbd88f32443b0af37.png；

因为38a614612f4ecaad6e2dfba40585b111.png，所以5b765fd68f497feceea4c88d4ed58118.png（等边对等角）

而 84293e8bb1f2ec313d7b3ef1c8e436bf.png

所以455d2479fb6c1da1462f678faf50b4d6.png

所以34a12f646b721a42adc0497a79e47a34.png

又因为f2a6dc3221179b077d20a3b47d8065dc.png

即a3ccf7750d1350aa9894123609b0053d.png 所以f93d074b1f4281b7c44c284691c45949.png

即求得e9264a0ecb7fb814adcbbb7d2331c5a1.png

说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁. 把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在. 本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现.

2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的.

3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法.

例3. 已知：如图，75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，589f0742fd0d41631b7ff1f669f5e291.png于D. 求证：5ed6de8f99dde0aa9eca5abbcbb5e96e.png.

word/media/image686.gif

分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，002f58096ac00d40cc067e16309d1d0a.png是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与a6f1882baddf8648f33a26ae1a413968.png的关系.

证明：过点A作112d267f5ae47320afe0ea77d5b67206.png于E，fe47ff8adef921813adf7494f9c55d97.png

所以2a1b527ad346295c62468166154a2330.png（等腰三角形的三线合一性质）

因为f122d72c2fc66da16371554e03175c83.png

又b5940e78e6610357ce231b589e856ae0.png，所以ebcd4979d516c7759f9091ac3d65144d.png

所以c8e2a24f49afe0d55274a0bb0a3b5da8.png（直角三角形两锐角互余）

所以51cc007a89faaca181abe450bf9eaf6a.png（同角的余角相等）

即5ed6de8f99dde0aa9eca5abbcbb5e96e.png

说明：

1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系. 因此添加底边的高是一条常用的辅助线；

2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”. 因此，本题还可以有其它的证法，如构造出a6f1882baddf8648f33a26ae1a413968.png的等角等.

4、中考题型：

1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）

A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个

word/media/image699.gif

分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C.

2.）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足. 求证：AE＝AF.

word/media/image700.gif

证明：因为43ba751498edce747fdf63faa5c4f925.png，所以4eab5c4cbd1f1fd363ca59da3fc37267.png

又因为0783e4c6c50c46c97020a0d14fad10a8.png

所以a6441f1f81546218144f7589b88f1c7c.png

又D是BC的中点，所以d1fb1589285ea675cfac84c8aa810929.png

所以61de920b9a85f9ae48fe611755c6fbcc.png

所以fb0cf6fae7a25234f02c2080cfff420c.png，所以c861cdb839ae8134d87f7f4b9f71e2d4.png

说明：证法二：连结AD，通过9d4e9ee8fbcd31b482d27ef8a09ddf26.png 54f874b41919dbcbc010434ca4c4cd5d.png证明即可

5、题形展示：

例1. 如图，75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，8e7fbd89b039c29fb8dbbc6ddd0ddcfa.png，BD平分2deec672eabca123e4a96c1b83d7a268.png.

求证：c75df0ad32c0af89e6933559184c4e93.png.

word/media/image715.gif

分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取a46bb8ae573a96212b72dbe32fe1fa47.png，只需证明e50a978ee2eb3d84565e8989fe014168.png，考虑到34405a0de4474f138a548370d2972a49.png，想到在BC上截取83e4cf6261b993b76aa5857eae3c8b3b.png，连结DE，易得，则有b467606a631f8988e8e8a8a6dea32e80.png，只需证明9521edf6a0cf65d223f2500cc7b91ce1.png，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出950c348355b67e4fc392653eaf05e91f.png.

证明一：在BC上截取702f2fcaf4da319310ec802b5cc8a1c2.png，连结DE、DF

在c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png和ff7a38c2f59db5035829c9872b2d41f3.png中，b08724cea8b6cf4b146b27f2d22a19fb.png

da7bef38020677b9c20b198c73246c14.png

又d3e5cc27ebce6cfecab5ad757acdcfc0.png

a9b7afa32aacf664766a8ae388a42e09.png

ff652e6ce84b3ee84ddae18a16e669d2.png

而8c9894580c9e3650af5c34f20ae65f26.png

e672c5870994ab5bb8624ec1be9038c4.png

acc023fb7bf94c14772819f43253b957.png

即c75df0ad32c0af89e6933559184c4e93.png

分析二：如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于21b26a66027efa34531d8bb4ff62cdd2.png，只需证明12054b50b8b722ef79f393cb83930849.png

word/media/image737.gif

易证ee1a181ddca43199883c1ba154e21545.png，75b6e09e5598c30bd15a12ab97d31adf.png，故作d284fa349763de01ce933d01099886f2.png的角平分线，则有80b5ef92e98a1bf010ea405a95d151b8.png，进而证明bc17bc11877f788ecd6ff8db631a924e.png，从而可证出f57c80880fd0a63ac896bee133c752c6.png.

证明二：延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分d284fa349763de01ce933d01099886f2.png交BC于F.

由证明一知：d190539adb64db13d1281e5c31307e4d.png

则有96f40ed97918e9ab2687e6c5605512d3.png

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.pngDF平分bc7334761824f2b242c85e92e46ecae7.png

26b8df8859feddf409af18435113633f.png，在c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png和38510e01672318eb65b11798b4d8ebb4.png中

d5e055ee354b6a4324a2c3cc8bf6e3bf.png

54185268b650a5325e44e85f870c6aba.png

f4be81ca523aa4b0b509ed656596b36f.png，而87db4cec9e29f751bc0cbb1840677b1f.png

在3079e60479fc1bed6ef523f783bbf128.png和0d22d684b540ddfd5312229f6195da0b.png中，20779b47a290198a7e003db72abfb654.png

dc3a8268a1dc0a63f3f82396fd2c0cd9.png

b160717f5bcaa530c065bf95d9edc5d4.png

在a383d5bc2f70058826605cd6f2911647.png中，658dc7b6f5608b11696125b184feebe9.png

393392813c38b91f6279e7a6860d98fa.png

393f54869df5404243c1fa711a49bbcd.png

说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力.

【实战模拟】

1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ）

A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对

2. 如图，75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png是等边三角形，a17e0dcf252fea460ea4572207daccfd.png，则778d5baff6f3ac33a43e3e2219499957.png的度数是________.

word/media/image768.gif

3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

4. 75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，0f8c1c8bf7801f84c8335378462fdf02.png，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：ed63da045989a48c9ee9bd826bfcf5b8.png.

word/media/image772.gif

【试题答案】

1. B

2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用.

解：因为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png是等边三角形

所以d200057bf79176fa8df9d293351f5e18.png

因为8be6f93a0fa52cce7d28aa7cf02432c3.png，所以5c51c44fe1211a08b8765b3b19919460.png

所以4ac17a551bbb2ca79eca6c576f2a24ce.png

在c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png中，因为57d4545dbf857d100cc0e8a21d986761.png

所以4421ea3d9c6948a40667e58e48457cf4.png，所以7e45ef0fdf1327faa066ddeb814a78ef.png

所以73bcb6949b08743cc1392266e8edf5b1.png

3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言.

已知：如图，在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，43ba751498edce747fdf63faa5c4f925.png，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点. 求证：点O在BC的垂直平分线上.

word/media/image785.gif

分析：欲证本题结论，实际上就是证明43e94d93884709f6ea20f5e082cede0c.png. 而OB、OC在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有c59ce7c076481f301945c4961a53c4a3.png的两个三角形全等.

证明：因为在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，43ba751498edce747fdf63faa5c4f925.png

所以518667a0a2fcf24c086a83ad95136665.png（等边对等角）

又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以1f655a765207c816d7681d1c9205a127.png（中线定义）

在508d5fbc02bff8b36bc1db81015e5b26.png和 8bcb0822397acb51faf9f71b6b7951ba.png中，

dde6d10bc1289ea5b668866246d2725a.png

所以aab2e8f0e36599e5ed48fbb56535765c.png

所以34405a0de4474f138a548370d2972a49.png（全等三角形对应角相等）.

所以43e94d93884709f6ea20f5e082cede0c.png（等角对等边）.

即点O在BC的垂直平分线上.

说明：

（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步. 特别是把“在

底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB＝OC”是关键的一点.

（2）实际上，本题也可改成开放题：“△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O. 连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的.

4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形. 题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点.

证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F.

word/media/image799.gif

在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，1998717993b8e5744ef8c9e18e5f7bd5.png

word/media/image802.gif所以2c1008bb757a028312361b259b7c7ee7.png

所以984321d6be541b3358a82292457ec769.png（等腰三角形三线合一性质）.

所以87fc98ebb89b983de7310d4484912327.png（邻补角定义）.

所以51cc007a89faaca181abe450bf9eaf6a.png

又因为ED垂直平分AB，所以f8077af103ef5bee9a6fc1733df2f038.png（直角三角形两锐角互余）.

b5d7bab4ff817ab66339cb0d8148b588.png（线段垂直平分线定义）.

又因为5da2d38007e847144f235b1f4e7380d3.png（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）.

所以a94c1e059e2bcf56429a22ed335cd3ed.png

在da41de40411618ac73c02e287b9e7beb.png和061a27ef0729bea1d180a20fd3bc890f.png中，

f12c37d4bd39a75a76acf03927da8973.png

所以19450669c27cfb5df195359269a5effb.png

所以75b64c8f01fc5aa2ef190f5069a92397.png

即7a19e3f90c46f3b868bee150e2f63cc6.png.

说明：

（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；

（2）直角三角形中f9046216b71f57c9261c342f5d0a7481.png角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路.

10、分式的运算

【知识精读】

1. 分式的乘除法法则

word/media/image819_1.png；

word/media/image820.wmf

当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分.

2. 分式的加减法

（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母.

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：

①取各分母系数的最小公倍数；

②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；

③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的.

（2）同分母的分式加减法法则

word/media/image821.wmf

（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减.

3. 分式乘方的法则

word/media/image822_1.png（n为正整数）

4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用. 学习时应注意以下几个问题：

（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；

（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；

（3）运算中及时约分、化简；

（4）注意运算律的正确使用；

（5）结果应为最简分式或整式.

下面我们一起来学习分式的四则运算

【分类解析】

例1：计算word/media/image823.wmf的结果是（ ）

A. word/media/image824.wmf B. word/media/image825_1.png C. word/media/image826_1.png D. word/media/image827_1.png

分析：原式word/media/image828.wmf

word/media/image829.wmf

故选C

说明：先将分子、分母分解因式，再约分.

例2：已知word/media/image830_1.png，求word/media/image831.wmf的值.

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用word/media/image832.wmf替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了.

解：原式word/media/image833_1.png

word/media/image834.wmf

例3：已知：word/media/image835_1.png，求下式的值：
word/media/image836.wmf

分析：本题先化简，然后代入求值. 化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理. 最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值. 这是解决条件求值问题的一般方法.

解：word/media/image837_1.png

word/media/image838_1.png

word/media/image839.wmf

故原式word/media/image840.wmfword/media/image841.wmf

例4：已知a、b、c为实数，且word/media/image842.wmf，那么word/media/image843.wmf的值是多少？

分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化.

解：由已知条件得：word/media/image844_1.png

所以word/media/image845.wmf

即word/media/image846_1.png

又因为word/media/image847.wmf

所以word/media/image848.wmf

例5：化简：word/media/image849_1.png

解一：原式word/media/image850.wmf

word/media/image851_1.png

解二：原式word/media/image852.wmf

word/media/image853.wmf

说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题. 因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法.

例1、计算：

word/media/image854_1.png

解：原式word/media/image855_1.png

word/media/image856_1.png

说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解.

例2、

已知：word/media/image857_1.png，则word/media/image858.wmf_________.

解：word/media/image859.wmf

word/media/image860_1.png

word/media/image861.wmf

说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M.

中考点拨：

例1：计算：word/media/image862_1.png

解一：原式word/media/image863.wmf

word/media/image864.wmf

解二：原式word/media/image865_1.png

word/media/image866.wmf

说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程. 此题两种方法的繁简程度一目了然.

例2：若word/media/image867_1.png，则word/media/image868_1.png的值等于（ ）

A. word/media/image589_1.png B. word/media/image869_1.png C. word/media/image870_1.png D. word/media/image590.wmf