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衡水金卷2020年高考模拟数学(理)试题(四)含答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数（四）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
5i
1.已知i虚数单位，复数3i对应的点在复平面的（）
3
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12
2.已知集合A{x|xa}，B{x|log1(x4xlog2}，若AB
2
，则实数a的
取
2
5
值范围为（A．(1,5
．[0,4]C．(,1]D．(,1
3.设a，b，c，d，x为实数，且ba0，cd，下列不等式正确的是（A．dacd
2
C．ba
cd
D

aa|x|
bb|x|
4.设随机变量N（,），则使得P（3m）P（3）1成立的一个必要不充分条件为（）
2

或m2
A．m1或m2B．m1C.m1D．m
3
5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S3，则判断框内实数M应填入的整数值
为

A．

a9
B
a7C.
S
15
D．S
16


A．998B．999C.1000D．1001
2
2
6.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9a7，则下列选项中结果为0的是（）



22
xy
7.设A1，A2分别为双曲线C:221（a0，b0）的左、右顶点，过左顶点A1的
ab
直线l交双曲线右支于点P，连接A2P，设直线l与直线A2P的斜率分别为k1，
k2，若k1，k2
互为倒数，则双曲线C的离心率为（
）A．
1
B．2C.3
2
体积为（）
D．22
1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的

A．816B．8C.16D．8162
3
5
9.已知曲线yx3x和直线yx所围成图形的面积是m，则（yxm）的展开式
3
中x
项的系数为（）A．480B
．160C.1280D
．640
O为坐标原点，10.在平面直角坐标系中，A(0,4，AB(2,0，AB(2,0，
，APmABnAC，若m0，n0，且mn1，则x2yBCBA(1,1，设Px(,y
的最大值为（）
A．7B．10C.8D．1211.如图所示，椭圆有这样的光学性质：
从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为
x4y4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|1，过点
22


P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M，则|F1M|:|F2M|（）

A．2:3B．1:2C.1:3D．1:3
12.将给定的一个数列{an}：a1，a2，a3，⋯按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将a1作为第一组，将a2，a3作为第二组，将a4，a5，a6作为第三组，⋯，依次类推，第n组有n个元素(n
N，即可得到以组为
数列
*
单位的序列：

(a1，(a2,a3，(a4,a5,a6，⋯，我们通常称此数列为分群
.其中第1个
括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，⋯，第n个括号称为第n群，从而数列{an}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m个群众，且从第m个括号的左端起是第k个，则称这个元素为第m群众的第k个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，⋯，将数列分群，其中，第1群为(1，第2群为(1,3，第3群为(1,3，3，⋯，以此类推.设该数列前n项和N
2
a1a2
立的最小
an，若使得N14900成

an位于第m个群，则m(A．11B．10C.9D．8
第Ⅱ卷
二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.若函数f(xkxlog3(19为偶函数，则k．
x
9933
14.已知sin(xcoscos(xsin，x(,，则tan2x．
14714752
15.中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校


最终有四名选手A、B、C、D参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列后，
.比赛结束
C对B说：“你没有获得一等奖”，B对C说：“你获得了二等奖”；A对大家
说：“我未获得三等奖”，D对A、B、C说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计种．(用数字作答
16.已知G为ABC的重心，点P、Q分别在边AB，AC上，且存在实数t，使得PGtPQ.
若APABAQAC，则
121
．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2acosB2cb.（1）求角A的大小；
（2）若ABC的面积S，D为BC边的中点，AD，求bc.
33
19
22
18.市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中

1请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企
y
x
业2017年7月份的市场份额；
2如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数（单位:天）统计图.设销售产品数量为，经统计，当0s200时，企业每天亏损约为200万元，当200s400时，企业平均每天收人约为400万元;当s400时，企业平均每天收人约为700万元。
①设该企业在六月份每天收人为X,求X的数学期望;②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200万元的概率。附:回归直线的方程是
s


国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:月份x市场份额（%）
y
111
2345621
13161520



ni1
(xix(yiy
n
(xix
2
ybxa
i1
aybx
i1
(xix(yiy35

19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA12，D为棱
AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1，E为B1C的中点.
1证明：DE平面ABC；
2若OCOA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值

20.已知焦点为F的的抛物线C：y2px(p0与圆心在坐标原点O，半径为r的
2
O5
交于A，B两点，且A(2,m，|AF|，其中p，r，m均为正实数.
2
(1求抛物线C及O的方程；
(2设点P为劣弧AB上任意一点，过P作O的切线交抛物线C于Q，R两点，过
Q，
的直线l1，l2均于抛物线C相切，且两直线交于点M，求点M的轨迹方程.21.已知函数f(xlnxk，g(xe，其中k为常数，e2.71828是自然对数的底数.
1设F(xf(xg(x，若函数F(x在区间[,e]上有极值点，求实数k
的取值范围；eg(x[1g(2]
2证明：当k1时，1xf(x恒成立.
1
x
x1



请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为，（为参数），直线l
的y2sin
x22cos
x2t,参数方程为（t为参数，k为实数），直线l与曲线C交于
AB两点.
y2kt
（1）若k2，求|AB|的长度；
（2）当AOB面积取得最大值时（O为原点），求23.选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）|x2||4x|.（1）求不等式f（x）6x1的解集；
（2）若g（a）a4a6,a0,
a2证明：不等式2a1,a0,
f（x）g（a）2
k的值.恒成立.



试卷答案
、选择题
1-5:DDDAA6-10:CBADB
11
、12：CB
、填空题
13.-114.

247
15.1216.3
三、解答题
17.解：（1）因为2acosB2cb，由正弦定理，得2sinAcosB2sinCsinB.
又sinCsin(ABsinAcosBcosAsinB，所以2sinAcosB2sinAcisB
2cosAsinBsinB，
即2cosAsinBsinB.
1
2
所以A
因为sinBo，故cosA
3
2由ABC的面积S2bcsinA4bc2，得bc6.
1
3
33
1
又D为BC边的中点，故AD(ABAC，
22122
212219因此|AD|19(cb
bc，44
故cbbc19
，
22



即(cbbc19，故(cb19bc25.所以bc5.
18.解：(1由题意，x
2
2
3.56，
111316152021y111316615202116
，
123456
故(xix17.5，b2，
i1
2
由aybx得a1623.59，则y2x9.
当x7时，y27923，
所以预测该企业2017年7月的市场份额为23%.
(2①设该企业每天亏损约为200万元为事件A，平均每天收入约达到400万元为事件B，平均每天收入约达到700万元为事件C，则P(A0.1，P(B0.2，P(C0.7.故X的分布列为
X
P
-2000.1
4000.2
7000.3
所以E(X2000.14000.27000.7550(万元.
②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.则P0.2C3
3
2
0.70.1C30.70.2C30.20.70.70.876.所以该企业在未来三天总收入不
低于1200万元的概率为0.876.
19.解：(1取BC中点为F，连接EF，DE，FA，由EFBB1，ADBB1，EFBB1，ADBB1，
1
1
222223
22
得EFDA，且EFDA，



所以四边形ADEF为平行四边形所以DEAF，
又因为AF平面ABC，DE平面ABC，所以DE平面ABC.
2由已知

BDAB1(BADA(2ADAB
0OAOD.
又CO平面ABB1A1，所以OD，OA，OC两两垂直.
以O为坐标原点，OD，OB1，OC所在直线为x轴，间直角坐标系，

则经计算得A(0,3
,0，B(6
,0,0，C(0,0,3
3
3，
3
因为

CC1
2AD，
所以C1
1
36
所以AB(6
,3
,0，AC(0,3
3
3,3
33
，
DC(6
6,23
,333
.
设平面ABC一个法向量为
n(x,y,z，y0,
由

ACn3y3
z
33
0,

y轴，z轴建立如图所示的空D(63
,0,0，





令x1，得n(1,2,2.设直线C1D与平面ABC所成的角为
则

sin
35555
20.解：（1）由题意，|AF5
，故p
|2p1。所以抛物线C的方程为y2
2x.将A（2,m）代入抛物线方程，解得因此A(2,2，故r2
|OA|2
22
22
8，
O的方程为x2y2
8.
2
2
2设M(x,y，R(y22
,y2，P(x0,Q(y1,y1，
y0，
2
设

l1：yy1k(x
y
1
），2

1k(xy
1
则由

yy2
y2
2x,
得ky22y2y1ky12
0，
22
1令(224k(2y1ky120，解得k，1

y1
2y
1
同理1
y2
l2：
yx.
y22

l1y1xy1故：，

1y1yx1,
则由
y12
1y2yx
y22
x
y1,y22,2解得
yyy2
1y2因直线

QR:x0xy0y8，x0[2,22].
x0xy0y8,则由00
2y22x,
得x0y22

2y0y160，
y1y2
2y0
y1y21x6.x0
x0

y

y0
因此
x
0
x8
x
0
21.(1由题意，F(xf(xg(x(lnxke1
x，则1
由题意，若F(x在[,e]上有极值点，
ee
则F'(x在[1
1,e]上有变号零点.1令F'(x0，即1
lnxk0，
211
设h(xlnxk，x[,e]，
2e
11x1
故
h'(x22，
xxx1

F'(x(lnxkex
x
，



则x[,1，h'(x0，x(1,e]，h'(x0，
又
e11
h(e1k，h(e1k，
ee
11
h(h(ee20，ee1
h(h(e.
e
11
故若函数F(x在[,e]上有极值点，
e
即
1
h(e1k0,只需e

h(11k0,
则1ek1，
所以k的取值范围为(1e,1.
2
(2由题意，知要证1xlnxx(1e成立.
x1
2e
x
设m(x1xlnxx，x(0,，则m'(x(lnx2，当x(0,e时，m'(x0，当x(e,时，m'(x0，
所以当xe时，m(x取得最大值m(e1e.所以m(x1e.设n(xe(x1，x(0,，则n'(xe1，
因为x0，则n'(xe10，
故n(x在区间(0,内单调递增，故n(xn(00，即ex1.所以1，x1
ex
x
x
xx
2
2
2
2
2
2



故(1e1e.x1
2e
x
2



x综上，当
k1时，1xlnxx(1e2
e
x1
命题得证.22.解：（1）由
x22cos,
（为参数），y2sin
22
可得曲线C的普通方程为xy
1.
84
由直线l的参数方程为
x2t,
（t为参数），y22t,
可知直线l的普通方程为y2x2.
y2x2,

284

由
2
22
x

y
得

5x8x40，x1x2
，x1x2
1,5
5
84
1,

故|AB|1(2|x4x123
1x2|3(x1x21x2，5
所以|AB|的长度
123
.
5
2）由直线l的参数方程为
x2t,
（t为参数，k为实数），y2kt,
可知直线l过定点（2,2），经验证该点在椭圆上，不妨设为点A，则直线OA的方程为y2
x.
2
设B（22cos,2sin），点B到直线OA的距离为d，则d
|2cos2sin|4
|sin(
|.
34
若要AOB面积取得最大值，则|sin(|1，
41(
2



得k，kZ，k，kZ.
3
424此时B(2,2或B(2,2.
22t,
将B(2,2代入直线l的参数方程为，解得k0.
22kt,22t,
将B(2,2代入直线l的参数方程为，解得k不存在.
22kt,所以k0.
25x,x0,
23.解：(1f(x|x2||4x|23x,0x2,5x2,x2,
f(x6x1，
25x6x1,23x6x1,5x26x1,即或或x00x2,x2,
1
1解得{x|x}.3
25x,x0,
(2f(x|x2||4x|23x,0x2,
5x2,x2,
当x0时，f(x单调递减，当x0时，f(x单调递增，故x0时，f(x取最小值f(02.
当
44
a0(aa(4恒成立，aa
4即a62，故f(xg(a，a
时，
当a0时，g(aa2a1在a1时取最大值g(12，所以不等式
2
f(xg(a恒成立.
综上，不等式f(xg(a恒成立.


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2b587b32f505cc1755270722192e453611665b07.html

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