2018湖南湘潭中考数学解析

2018年湖南省湘潭市初中毕业、升学考试

数学学科

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．

1．（2018湖南省湘潭市，1，3分）-2的相反数等于（　　）

A．-2 B．2 C． D．±2

【答案】A

【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，故-2的相反数为2，故选择A.

【知识点】相反数

2．（2018湖南省湘潭市，2，3分）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】主视图是指从立体图形的正面看到的平面图，所以圆锥的主试图是一个等腰三角形，故选择C.

【知识点】三视图

3．（2018湖南省湘潭市，3，3分）每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（　　）

A．15 B．150 C．200 D．2000

【答案】B

【解析】先求出样本中体重超标学生所占的百分比为：，然后再估计出总体中体重超标的学生所占的百分比约为，所以体重超标的学生的人数为: ×2000=150(人).故选择B.

【知识点】样本估计总体

4．（2018湖南省湘潭市，4，3分）如图，点A的坐标（-1，2），点A关于y轴的对称点的

坐标为（　　）

A．（1，2） B．（-1，-2） C．（1，-2） D．（2，-1）

【答案】A

【解析】关于y轴对称的点的坐标特点是：横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此点A（-1,2）关于y轴对称的点的坐标为（1,2），故选择A.

【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特点

5．（2018湖南省湘潭市，5，3分）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中

点，则四边形EFGH是（　　）

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形

【答案】B

【解析】连接AC和BD，，

∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，

∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴EF⊥FG，

∴▱EFGH是矩形.

【知识点】中点四边形；菱形的性质；矩形的判定；平行四边形的判定

6．（2018湖南省湘潭市，6，3分）下列计算正确的是（　　）

A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（-x2）3=x8 D．x6÷x2=x3

【答案】B

【解析】A中x2和x3不是同类项，不能合并，故A错误；B中是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，故B正确；C中是积的乘方，把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，故C错误；D中是同底数幂的除法，底数不变，指数相减，故D错误.

【知识点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方

7．（2018湖南省湘潭市，7，3分）若b＞0，则一次函数y=-x+b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据一次函数y=kx+b中，k＞0时，图象从左到右上升；k＜0时，图象从左到右下降；b＞0时，图象与y轴的交点在y轴上方；b=0时，图象与y轴的交点在原点；b＜0时，图象与y轴的交点在y轴下方.∵-1＜0，所以图象从左到右下降，b＞0所以图象与y轴交于y轴上方，故选择C.

【知识点】一次函数的图象和性质

8．（2018湖南省湘潭市，8，3分）若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则

实数m的取值范围是（　　）

A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1

【答案】D

【思路分析】直接根据一元二次方程根的判别式与方程根的情况直接列出不等式求解.

【解题过程】∵方程有两个不相同的实数根，∴△＞0，即4-4m＞0，解得m＜1，故选择

D.

【知识点】一元二次方程根的判别式

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共42分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．

9．（2018湖南省湘潭市，9，3分）因式分解：a2-2ab+b2=________.

【答案】（a-b）2

【解题过程】a2-2ab+b2=(a-b)2.

【知识点】公式法分解因式

10．（2018湖南省湘潭市，10，3分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考

试，其中物实验操作考试有4个考题备选，分别记为A，B，C，D，学生从中机抽取一个考

题进行测试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题B的概率是________.

【答案】

【解题过程】本题共有4中等可能性，其中选中B只有1中情况，故根据概率公式可得：P（抽中B）=.

【知识点】概率

11．（2018湖南省湘潭市，11，3分）分式方程=1的解为_______.

【答案】x=2

【解析】去分母得：3x=x+4，解得x=2，经检验x=2是原分式方程的解，故方程的解为x=2.

【知识点】分式方程的解法

12．（2018湖南省湘潭市，12，3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD________.

【答案】30°

【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵D是BC中点，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°.

【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质

13．（2018湖南省湘潭市，13，3分）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB________.

【答案】60°

【解析】∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°.

【知识点】圆的切线的性质；直角三角形的性质

14．（2018湖南省湘潭市，14，3分）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，

使BC∥AD，则可添加的条件为________．（任意添加一个符合题意的条件即可）

【答案】∠CBD=∠BDA或∠CBA+∠BAD=180°或∠C+∠CDA=180°或∠C=∠CDE等

【解析】直接根据平行线的判定方法：同位角相等或内错角相等或同旁内角互补都可以判断两条直线平行.

【知识点】平行线的判定

15．（2018湖南省湘潭市，15，3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，

∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为________.

【答案】x2+9=(10-x)2

【解析】∵AC=x，∴AB=10-x，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2,∴x2+9=(10-x)2.

【知识点】列一元一次方程解实际问题；勾股定理

16．（2018湖南省湘潭市，16，3分）阅读材料：若ab=n，则b=,称b为以a为底N的对数.例如23=8，则.根据材料填空：________.

【答案】2

【解题过程】根据材料可知.

【知识点】阅读理解型

三、解答题（本大题共10小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2018湖南省湘潭市，17，6分）计算：|-5|+（-1）2-（）-1-．

【思路分析】根据绝对值、乘方、负整数指数幂、算术平方根写出各个数，然后再相加减.

【解题过程】解：原式=5+1-3-2=1．

【知识点】实数的运算；绝对值；负整数指数幂；算术平方根；乘方

18．（2018湖南省湘潭市，18，6分）先化简，再求值：．其中x=3．

【思路分析】直接根据分式分混合运算顺序进行计算，然后把x的值代入求解.

【解题过程】解：==

=x+2，把x=3代入得：原式=3+2=5.

【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值

19．（2018湖南省湘潭市，19，6分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏

东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．

【思路分析】先根据Rt△ACP中∠APC的余弦关系求出PC的长，然后再根据Rt△BCP中∠BPC的余弦关系求出BP的长.

【解题过程】解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，∴cos∠APC=，

∵AP=400海里，

∴PC=400×=200海里．

又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，

∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．

答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6每里．

【知识点】解直角三角形

20．（2018湖南省湘潭市，20，6分）为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．

（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；

（2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

【思路分析】（1）小红选修的第一门课程为A，B，C，D四种可能，但当选择A时，选择第二门选修课程时只能从B，C，D三门课程中来选择，因此可画树状图或列表法求出所有等可能的情况；（2）小红选修的课程有A，B，C，D四种情况，小刚选修的课程也有A，B，C，D四种情况，可以根据画出树状图或列表法求出概率.

【解题过程】解：（1）画树状图为：



共有12种等可能的情况；

（2）画树状图为：



共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，

所以他们两人恰好选修同一门课程的概率=．

【知识点】画树状图或列表法求概率

21．（2018湖南省湘潭市，21，6分）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议，某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况进行了统计，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

（1）求该校的班级总数；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）求该校各班在这一活动中植树的平均棵数.

【思路分析】（1）根据植树12棵的班级有3个，占总体的25%，所以总体=；（2）根据总班级数—植树8棵的班级—植树9棵的班级—植树12棵的班级—植树15棵的班级=植树11棵的班级数，从而画出条形图；（3）直接根据加权平均数公式进行计算.

【解题过程】（1）班级总数==12（个），所以植树的班级总数为12个；

（2）植树11棵的班级数=15-1-2-3-4=2（个），所以植树为11棵的班级数为2，补全条形图

为：

（3）设平均数为，则==12（棵），所以该学校的平均植树棵数为12棵.

【知识点】条形图；扇形图；加权平均数

22．（2018湖南省湘潭市，22，6分）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O.

（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数.

【思路分析】（1）先根据正方形的性质得到∠DAF=∠B=90°，AD=AB，然后再根据SAS证明两个三角形全等；（2）根据（1）中全等三角形的性质得到∠EAF=∠ADF，所以∠AOD=∠EAF+∠AFD=∠ADF+∠AFD进行计算.

【解题过程】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，在△DAF

和△ABE中，

,∴△DAF≌△ABE;

（2）∵△DAF≌△ABE，∴∠EAF=∠ADF，∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠EAF+∠AFD=90°，∵∠AOD=∠EAF+∠AFD=90°.

【知识点】全等三角形的判定；直角三角形的性质；正方形的性质

23．（2018湖南省湘潭市，23，8分） 湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.

（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

【思路分析】（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据2个温馨提示牌+3个垃圾箱=550元列出方程求解；（2）设购买温馨提示牌为m个，则购买垃圾箱为(100-m)个，根据总费用不超过10000元列出不等式求解.

【解题过程】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，列方程得：2x+3×3x=550，解得x=50,所以温馨提示牌的单价为50元，垃圾箱的单价为150元；

（2）设购买温馨提示牌为m个，则购买垃圾箱为(100-m)个，列不等式得：50m+150(100-m)≤10000，解得m≥50，又∵100-m≥48，∴m≤52，∵m的值整数，∴m的取值为50,51,52，

当m=50时，100-m=50，即购买50个和温馨提示牌和50个垃圾桶，其费用为：50×50+50×150=10000元；

当m=51时，100-m=49，即购买51个和温馨提示牌和49个垃圾桶，其费用为：51×50+49×150=9900元；

当m=52时，100-m=48，即购买52个和温馨提示牌和48个垃圾桶，其费用为：52×50+48×150=9800元，

所以最小费用为9800元.

【知识点】列一元一次方程解决实际问题；列一元一次不等式解决实际问题

24．（2018湖南省湘潭市，24，8分）如图，点M在函数y=(x＞0)的图象上，过点M分别

作x轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点B、C．

（1）若点M的坐标为（1，3）．

①求B、C两点的坐标；

②求直线BC的解析式；

（2）求△BMC的面积．

【思路分析】（1）①点B和点M具有相同的纵坐标3，把y=3代入函数y=中求出横坐标；点C和点M具有相同的横坐标1，把x=1代入函数y=求出纵坐标即可；②根据①中点B和点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式；（2）设点M（a，b），然后根据M与B、C坐标之间的关系表示出MB和MC的长度，再根据三角形面积公式计算.

【解题过程】解：（1）①∵点M的坐标为（1，3）

且B、C在函数y=（x＞0）的图象上，

∴点C横坐标为1，纵坐标为1

点B纵坐标为3，横坐标为，

∴点C坐标为（1，1），点B坐标为（，3）

②设直线BC解析式为y=kx+b

把B、C点坐标代入得，

解得，

∴直线BC解析式为：y=-3x+4

（2）设点M坐标为（a，b）

∵点M在函数y=（x＞0）的图象上

∴ab=3，

由（1）点C坐标为（a，），B点坐标为（，b）

∴BM=a-=，MC=b-=，

∴S△BMC==.

【知识点】反比例函数图像和性质；平行于x轴和y轴直线上点的坐标特点；三角形的面积公式

25．（2018湖南省湘潭市，25，10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．

（1）若半圆的半径为10．

①当∠AOM=60°时，求DM的长；

②当AM=12时，求DM的长．

（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【思路分析】（1）①当∠AOM=60°时，D=30°，△AMO为等边三角形，然后根据含有30°角的直角三角形的性质得到AD=2AO，再结合△AMO为等边三角形求出DM的长；②连接BM，则可得∠AMB=90°，根据两个角相等的三角形是相似三角形得到△AOD∽△ABM，从而得到求出AD的长，进而求出DM的长；（2）在图a中，由于AB是直径，所以∠AMB=90°，所以∠DMC+∠CMB=90°，然后根据所对的圆心角与圆周角的关系得到∠CMB=∠COB，从而得到∠DMC的度数为45°，是一个定值；在图b中,连接AC、MB，由于ACMB是圆内接四边形，根据性质可得∠CMB与∠CAO互补，再结合△ACO为等腰直角三角形，从而得到∠DMC的度数仍然是一个定值.

【解题过程】解：（1）①当∠AOM=60°时，

∵OM=OA，

∴△AMO是等边三角形，

∴∠A=∠MOA=60°，

∴∠MOD=30°，∠D=30°，∵CO⊥AO，∴AD=2AO=20，

∴DM=OM=10.

②连接MB，∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∵CO⊥AO，∴∠AOD=90°，∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ABM，∴，∵AO=10，AM=12，∴AD=,∴DM=AD-AM=

（2）当点M位于之间时，连接BM，如图：

∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∴∠DMC+∠CMB=90°，∵∠CMB=∠COB=45°，∴∠CMD=45°；

当点M位于之间时，连接BM、AC，如图：

∵四边形ACMB为圆内接四边形，∴∠CMB+∠CAO=180°，∵CO⊥AO，∴∠AOD=90°，∴△ACO为等腰之间三角形，∴∠CAO=45°，∵∠AMB=90°，∴∠DMC=180°-90°-45°=45°.

综上所述，∠CMD=45°.

【知识点】圆内接四边形；圆周角定理；等边三角形的性质；含30°直角三角形的性质

26．（2018湖南省湘潭市，26，10分）如图，点P为抛物线y=x2上一动点．

（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2-1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，-1），过点P作PM⊥l于M．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．

【思路分析】（1）直接根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”解答；（2）①过点P作PB⊥y轴于点B构造Rt△PFB，从而利用勾股定理求出BF的长，最后根据线段的和差关系求出OF的长，从而确定出点F的坐标；②根据①中的结论，得到PM=PF，所以QP+PF的最小值为QP+QM的最小值，即当Q、P、M三点共线时，从而求出结果.

【解题过程】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2-1的顶点为（-2，-1），

∴抛物线y=（x+2）2-1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．

（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．

如图一，过点P作PB⊥y轴于点B，

设点P坐标为（a，a2），∴PM=PF=a2+1，∵PB=a，∴点B的坐标为（0，a2），

∴Rt△PBF中，BF===a2-1，∵BO=a2，

∴OF=OB-BF=1，

∴点F坐标为（0，1）

②由①，PM=PF，

∴QP+PF的最小值为QP+QM的最小值，即当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标5．

∴QP+PF的最小值为5．

【知识点】二次函数的平移规律；勾股定理；点到直线的距离

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2c1dc977872458fb770bf78a6529647d26283453.html