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第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法， 动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。 在解常系数线性微分方程中的应用。
而且在自
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频
域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换的基本概念、主要性质、逆
变换以及它第一节拉普拉斯变换
在代数中，直接计算
3 N 6.28 班781 202
是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为
(1.1645
3 -lg1.164 5 N。
1 lg N lg6.28 -(lg 5781 lg 9.8 2lg 20 3 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。
、拉氏变换的基本概念
定义12.1设函数f(t当t 0时有定义，若广义积分° f(te ptdt在P的某一区域内 收敛，则此积分就确定了一个参量为
P的函数，记作F(P，即
F(P 0f (te ptdt ( 12.1 称(12.1 式为函数f(t的拉氏变换式，用记号L[f(t] F(P表示。函数F(P称为f(t 的拉氏变换(Laplace(或称为f (t的象函数。函数f (t称为F(P的拉氏逆变换(或称为 F(P象原函数，记作
1 1 L [F(P] f(t，即 f(t L [F(P]。
关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：
(1 在定义中，只要求 f (t在t 0时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后 总假定在t 0时，f(t 0。
(2
在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数
P是在复数范围内取值。为了方便起 见，本章我们把 P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。
(3 拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数, 般来它是一种积分变换。 说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例12.1求斜坡函数f(t at ( t 0， a为常数的拉氏变换。
解：L[at]
0 ate ptdt
pttd(e a Te
pt]0 pt旦 ept]°
p a 孑(p 0 0 旦 e dt p 0
、单位脉冲函数及其拉氏变换
在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函
数，在原来电流为零的电路中， 某一瞬时(设为t 0进入一单位电量的脉冲， 现要确定电路
上的电流i(t，以Q(t表示上述电路中的电量，则
0, 0,
Q(t 0.
1, 由于电流强度是电量对时间的变化率，即
t Q(t 12 i(t妙
t 0 dt
t 所以，当t 0时，i(t 0 ；当t 0时, i(0 lim Q(0 t Q(0 1im(丄 t 0 t t 0 t
上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强 度.为此，引进一个新的函这个函数称为 狄拉克函数。 数, 「
定义12.2 0, t 0
1 设 (t t ，当 0时， 的极限t li叫 t —,0 t 0,
称为狄拉克(Dirac 函数， 简称为函数 。
0, 当t 0时，t的值为0；当t 0时，t的值为无穷大，即
1 (tdt 显然，对任何 0,有 (tdt 0 —dt 1，所以
⑴((( 