数学八下易错题（含答案）

八年级下册易错题

第一章 三角形的证明

1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D ）

A．7㎝ B．9㎝ C．12㎝或者9㎝ D．12㎝

考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等，

因此只能是：5cm，5cm,2cm.

2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D）

A．40° B．50° C．60° D．40°或70°

考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角.

3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则最长边上的高是（D）

A.2.4cm B.3cm C.4cm D. 4.8cm

提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC是直角三角形，利用面积相等求，即

解得h=4.8

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是3或.

解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30°

∴AD=AB=×6=3，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAD= (90°-30°)=30°，

∴∠ABD=∠ABC，

∴底边上的高AE=AD=3；

②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30°

∴∠A=90°-30°=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴底边上的高为×6=

综上所述，底边上的高是3或

5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B）的交点.

A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高

考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】

6.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于8

考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.

答案：已知：△ABC ,　 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即每一内角都大于60°

　　　则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°

　　　即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．

　　 ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】

8. 如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD=_________cm．

解：过点P作PF⊥OB于F，

∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC=15°，

∵PD∥OA，

∴∠DPO=∠AOP=15°，

∴∠DPO=∠AOP=15°，

∴∠BOC=∠DPO，

∴PD=OD=4cm，

∵∠AOB=30°，PD∥OA，

∴∠BDP=30°，

∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，

∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB,

∴PE=PF，∴PE=PF=2cm

9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9

解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∵MN∥BC，

∴∠EBC=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∴BM=ME，EN=CN，

∴MN=BM+CN，

∵BM+CN=9，

∴MN=9

考查知识点：平行+平分，必有等腰三角形

13.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,则DF的长为.

解：延长CF交AB于点G，

∵AE平分∠BAC，

∴∠GAF=∠CAF，

∵AF垂直CG，

∴∠AFG=∠AFC，

在△AFG和△AFC中，

∴△AFG≌△AFC（ASA）

∴AC=AG，GF=CF，

又∵点D是BC的中点，

∴DF是△CBG的中位线，

∴DF=BG=（AB-AG）=（AB-AC）=

点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．

14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F.

求证：∠CAF=∠B.

解：∠B=∠CAF.

∵FE垂直平分AD，

∴FA=FD，

∴∠FAD=∠ADF

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠CAD=∠BAD

又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，

∴∠B=∠CAF

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.

15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．

解：①作∠AOB的角平分线；

②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．

16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：△ACD≌△AED；

（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

(1)证明：∵AD平分∠CAB

∴∠CAD=∠EAD

∵DE⊥AB，∠C=90°，

∴∠ACD=∠AED=90°

又∵AD=AD，

∴△ACD≌△AED

（2）解：∵△ACD≌△AED

∴DE=CD=1

∵∠B=30°，∠DEB=90°，

∴BD=2DE=2

17.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；

（2）若CD=，求AD的长．

（1）证明：

∵AD⊥BC，∠BAD=45°

∴∠ABD=∠45°=∠BAD

∴AD=BD

∵BE⊥AC

∴∠CAD+∠AFE=90°

∵AD⊥BC

∴∠FBD=∠BFD=90°

又∠AFE=∠BFD

∴∠CAD=∠FBD

又∠ADC=∠BDF=90°

∴△ADC≌△BDF

∴AC=BF

∵AB=BC，BE⊥AC

∴AC=2AE

∴BF=2AE

(2)解：设AD=x，则BD=x

∴AB=BC=+x

∵△ABD是等腰直角三角形

∴AB=AD

∴+x=x

解得x=2+

即AD=2+

18.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD=BE.

求证：DC=DE

证明：

延长BE至F，使EF=BC

∵△ABC是等边三角形

∴∠B=60°，AB=BC

∴AB=BC=EF

∵AD=BE，BD=AB+AD, BF=BE+EF

∴BD=BF

∴△BDF是等边三角形

∴∠F=60°，BD=FD

在△BCD和△FED中，

BC=EF

∠B=∠F=60°

BD=FD

∴△BCD≌△FED（SAS）

∴DC=DE

19.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线.

证明：

延长AE、BC交于点F

∵AE⊥BE

∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°

∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°

∴∠DBC=∠FAC

在△ACF和△BCD中

∴△ACF≌△BCD（ASA）

∴AF=BD

又AE=BD

∴AE=EF,即点E是AF的中点

∴AB=BF

∴BD是∠ABC的角平分线

20.如图，在△ABC中，分别以AC、AB为边，向外作正△ACD，正△ABE，BD与AE相交于F，连接AF，求证：AF平分∠DME

证明：

过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交BD，CE于M，N两点

∵△ABE和△ACD均为等边三角形，

∴∠EAB=∠CAD=60°，AD=AC，AB=AE

∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC，

∴△EAC≌△BAD，

∴ CE=BD

∴AN=AM

∴AF平分∠DME（在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）

21.如图，已知：AB=AC，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD⊥ED.

证明：连接AD.

∵∠A=90° AB=AC D是BC的中点

∴AD⊥BC ∠ADB=90° ∠B=45°=∠CAD AD=BD （直角三角形中，中线等于斜边的一半）且BE=AF

∴易证△BED≌△AFD （SAS）

∴∠BDE=∠ADF ∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°

∴∠ADF+∠ADE=90°

∴ED⊥FD

如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为_____°.

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是_____.

第二章 不等式(组)

不等式基本性质

例：如果x＞y，那么下列各式中正确的是（C）

A．x-2＜y-2 B．＜ C．-2x＜-2y D．-x＞-y

1.系数含有字母的不等式（组）

解题思路：先把字母系数当做已知数，解出未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】

【自己做】（1）已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围.

(2) 已知关于x的不等式（1-a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是a＞1.

提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0

（3）如果不等式组的解集是3<x<5,那么a=3,b=-5.

提示：解得不等式组的解集为：a<x<-b

而不等式组的解集为：3<x<5

∴a=3,b=-5

(4) 如果不等式 无解,那么m的取值范围是 （B）

A．m＞8 B.m≥8 C.m＜8 D.m≤8

提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】

(5)如果不等式组的解集是，则m的取值范围是(A )．

A．m≤3 B． m≥3 C．m=3 D．m＜3

提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得

而该不等式组的解集是，∴m≤3【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】

(6)关于的不等式组有三个整数解，则的取值范围是＜a≤．

解：解该不等式组得

∵有三个整数解

∴2＜x＜6a+10

∴三个整数解应该是3,4,5

∴5＜6a+10≤6

解得＜a≤

【自己解答】(7) 若方程组的解，均为正数，求的取值范围.

提示：先将m当作已知数，将x、y用含m的式子表示出来，然后利用，均为正数，列出含m的不等式组，解出m的取值范围

【自己解】2.解不等式（组）【不等式组的结果不能写成大括号的形式】

（1）解不等式，并将解集在数轴上表示出来；

（2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上.

3.一元一次不等式（组）与一次函数

利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y值得大小，函数值（y）越大，图像越高，函数值（y）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x的取值范围，找出与x轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.

(1)函数y＝kx＋b（k、b为常数，k0）的图象如图所示，则关于x的不等

式kx+b>0的解集为（C）．

A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2

（2）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为x<-1

4.一元一次不等式（组）应用题

◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打9折.

商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×

解：设可以打x折．

那么（600×-500）÷500≥8%

解得x≥9．

故答案为：9．

◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y元．后来他以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B）

< B． > C．≤ D．≥

解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是

以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则

＞

解得：x＞y

∴赔钱的原因是x＞y

（1）某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了如下两种优惠方式：

第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；

第二种：按购买金额打九折付款。

八年级（2）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x（x≥10）本。试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？

（利用一次函数与不等式（组）的知识进行解答）

解：（1）y1=25×10+（x-10）×5=5x+200； y2=（25×10+5x）×0.9=4.5x+225．

（2）①y1＞y2时，

即5x+200＞4.5x+225，

解得：x＞50；

②y1=y2时，

即5x+200=4.5x+225，

解得：x=50；

③y1＜y2时，

即5x+200＜4.5x+225，

解得x＜50．

（3）甲方案：25×10+50×5=500元；

乙方案：（25×10+60×5）×0.9=495元；

两种方案买：25×10+50×5×0.9=475元，

（2）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．

（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；

（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．

解：（1）设应付金额为y 则

在甲超市购物所付的费用是：y=300+0.8（x-300）=0.8x+60

在甲超市购物所付的费用是：y=200+0.85（x-200）=0.85x+30

(2)①当0.8x+60>0.85x+30时，

解得x＜600，而x＞300

∴300＜x＜600

即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；

②当0.8x+60=0.85x+30时，

解得x=600

∴当顾客购物600元时，到两家超市所付费用相同；

③当0.8x+60＜0.85x+30时，

解得x＞600

∴当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠；

（3）去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨：

①该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；

②若甲种货车每辆要付出运输费2000元。乙种货车每辆要付出运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运费最少？最少是多少？

解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车10-x辆，由题意得

解得5≤x≤7

∵x是整数

∴x取5、6、7

因此，安排甲、乙两种货车有三种方案：

方案1：甲种货车5辆，乙种货车5辆；

方案2：甲种货车6辆，乙种货车4辆；

方案3：甲种货车7辆，乙种货车3辆.

(2)方案1需要运费：2000×5+1300×5=16500（元）

方案2需要运费：2000×6+1300×4=17200（元）

方案3需要运费：2000×7+1300×3=17900（元）

∴该果农应选择方案1运费最少，最少运费是16500元.

（4）某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0．5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0．7m3，工厂现有库存木料302m3．

①有多少种生产方案?

②现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）

③按②的方案计算，有没有剩余木料?如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．

解：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，由题意得

解得240≤x≤250

∵x是整数，

∴有11种生产方案

(2) 由题意得y=（100+2）x+（120+4）×（500-x）= -22x+62000(240≤x≤250)

∵-22＜0，

∴y随x的增大而减小

∴当x=250时，y有最小值

∴当生产A型桌椅250套、B型桌椅250套时，总费用最少，为-22×250+62000=56500元

（3）有剩余木料，

[302-(05+0.7)×250]÷0.5×2=8

或302-(05+0.7)×250=2＜3

∴有以下几种方案：

1 全部做A型可做4套，

2 全部做B型可做2套，

③一部分做A型一部分做B型最多3套，

比较可知，应选第①中方案，故最大值应为8

∴最多还可以为8名学生提供桌椅.

（5）本学期我校开展了课外兴趣小组活动，有很多同学参加了书法兴趣小组。小刚代表兴趣小组的同学去文具店购买毛笔。一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买毛笔100枝以上（包括100枝），可以按批发价付款；购买100枝以下（不包括100枝）只能按零售价付款。小刚来到该店购买毛笔，如果给兴趣小组的同学每人购买一枝，那么只能按零售价付款，需270元；如果多购买10枝，那么可以按批发价付款，同样需270元。

①请问参加书法兴趣小组的同学人数在什么范围内？（3分）

②若按批发价购买10枝与按零售价购买9枝的款相同，那么参加书法兴趣小组的同学有多少人？

解：

1 设有x人则由题意可得：

∴90≤x＜100且x为整数

②设批发价为m元，零售价为n元 则得到 10m=9n 还有条件得

∴xm=(x+10)n

∴

解得 x=90

（6）若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？

解：设宿舍有x间，则学生有4x+20人，由题意可得：

解得：5＜x＜7

∵x为整数，

∴x=6

∴学生有4×6+20=44（人）

答：学生有44人，宿舍有6间.

（7）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个，按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?

（2）若有正方形纸板162张，长方形纸板张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知，求的值．

解：（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒（100-x）个，由题意得：

解得38≤x≤40

∴有3种生产方案，如下：

方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；

方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；

方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个.

（2）设竖式纸盒x个，横式纸盒y个，由题意得：

解得648-5y=a

∵290＜a＜306

∴290＜648-5y＜306

解得68.4＜y＜71.6

∵y为整数，

∴y只能取69、70、71

∴对应的a的取值为303、298、293.

第三章 图形的平移与旋转

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（C）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2.在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（C）

A.(1.4，-1) B.(1.5，2) C.(1.6，1) D.（2.4,1）

3.如图所示，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标是（0,1）.

解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′，其坐标是（0,1）

4.如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．

5.如图1，已知：Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，DB=EB．

（1）如图1，点D在△ABC外，点E在AB边上时，求证：AD=CE，AD⊥CE；

（2）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC的内部，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请证明；

（3）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC的外部，如图3，请直接写出AD，CE的数量关系及位置关系．

解：（1）证明：如图图1所示，

在△ABD和△CBE中，

∴△ABD≌△CBE（SAS）

∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，

∵∠BCE+∠BEC=90°，∠AEF=∠BEC，

∴∠BAD+∠AEF=90°

∴∠AFE=90°

∴AD⊥CE

（2）（1）中的结论AD=CE，AD⊥CE仍然成立，理由为：

证明：如图图2所示，

∵∠ABC=∠DBE=90°

∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE，即∠ABD=∠CBE

在△ABD和△CBE中，

∴△ABD≌△CBE（SAS）

∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，

∵∠BCE+∠BOC=90°，∠AOF=∠BOC，

∴∠BAD+∠AOF=90°

∴∠AFE=90°

∴AD⊥CE

(3) AD=CE，AD⊥CE，理由为：

证明：如图图3所示，设AF和BC相交于点M

∵∠ABC=∠DBE=90°

∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE

在△ABD和△CBE中，

∴△ABD≌△CBE（SAS）

∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，

∵∠BAD+∠AMB=90°，∠AMB=∠CMF，

∴∠BCE+∠CMF=90°

∴∠AFC=90°

∴AD⊥CE

6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．

（1）如图1，DE与BC的数量关系是　　；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°

∴∠B=60°

∵点D是AB的中点，

∴DB=DC,

∴△DCB为等边三角形

∵DE⊥BC，

∴DE=BC

(2) BF+BP= DE，理由如下：

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

而∠CDB=60°

∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中

∴△DCP≌△DBF（SAS）

∴CP=BF

而CP=BC-BP

∴BF+BP=BC

∵DE=BC

∴BC=DE

∴BF+BP=DE

（3）如图，与（2）一样可证明△DCP≌△DBF

∴CP=BF

而CP=BC+BP

∴BF-BP=BC

∴BF-BP=DE

点评：本题考查了全等三角形的判断与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等，也考查了等边三角形的判断与性质以及含30度的直角三角形三边的关系.

第四章 因式分解

★因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式；【由此可见：分解因式”和“因式分解”实质是一样的（是一回事）】；

★分解因式时一定要分到不能分解为止；如：不能再分解了；再如：还可以分解为

★分解因式的方法：①提公因式法；②公式法（平法差公式 完全平方公式）③十字相乘法.

十字相乘法：

简单的概括为：把多项式中第一个和第三个数竖着写成相乘的形式，然后再十字相乘，相加，要等于多项式里中间的那个数，最后横着分解出来即可（如上图）

1.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是: （D）

A.12a2b=3a·4ab B.（x+3）（x－3）=x2－9

C.4x2+8x－1=4x（x+2）－1 D.

2.下列各组代数式中没有公因式的是 （B）

A．4a2bc与8abc2 B．a3b2+1与a2b3–1

C. b(a–2b)2与a（2b–a）2 D. x+1与x2–1

3.将–x4–3x2+x提取公因式–x后，剩下的因式是．

4.若4a4–ka2b+25b2是一个完全平方式，则k=±20．【提示：完全平方式有两个，中间是±2ab】

5.若一个正方形的面积是9m2+24mn+16n2，则这个正方形的边长是．

6. 已知x2+y2—4x+6y+13=0，则x=2，y=-3.

提示：

7.若，那么的值为4

提示：由得，∴

8.已知119×21=2499，则119×21－2498×21等于21.

提示：119×21×21-2498×21=2499×21-2498×21=21×（2499-2498）=21

9.多项式可以分解为，则的值为（C）

A.3 B.－3 C.－21 D.21

10. 若，则n等于（B）．

A．2 B．4 C．6 D．8

11.分解因式（我只写了答案，在答卷子时一定要写过程）

①=

②=

③（1）﹣9x3+6x2﹣x=

④a4﹣8a2+16=

⑤=

⑥=

12.计算

①= ②20142+16﹣8×2014= 20142﹣8×2014 +16==2010 =4040100

③9992﹣1002×998=

13．（1）利用因式分解说明：能被210整除．

证明：∵

∴能被210整除

（2）若是△ABC的三边，且，试探索△ABC的形状，并说明理由。

解：

=2

=

=

解得：a=b,a=c,b=c

∴a=b=c

∴△ABC为等边三角形

14.已知多项式(a2+ka+25)–b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．

（1）写出常数k可能给定的值；【答案】k=±10 （2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．

解：当k=10时，原式==

★★★15.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．

解：因看错一次项，分解为，

所以二次项和常数项对；

因看错常数项，分解为

所以二次项和一次项对

所以原多项式为：

              =

16.仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得

x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）

则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n

∴．

解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

解：设另一个因式为（x+m），得2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+m）=2x²+(2m-5)x-5m

∴2m-5=3

-5m=-k

解得m=4,k=20

∴另一个因式为：（x+4）

17.根据条件，求下列代数式的值：

（1）若x（y﹣1）﹣y（x﹣1）=4，求的值；

解：∵x（y﹣1）﹣y（x﹣1）=4

∴xy-x-xy+y=4

∴y-x=4

∴

∴

∴

（2）若a+b=5，ab=3，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．

（3）利用“配方法”分解因式：a2－6a+8.

解：原式=

（4）若a+b=5，ab=6，求：a4+b4的值.

解：

第五章 分式及分式方程

★分母上含有字母的式子叫分式（不要约分，直接进行判断）如：也是分式

★分式的基本性质：给分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.

★分式有意义：使分母不为零，分子有意义（主要是分子中含有平方根的情况）如：则4x-5≥0

x-2≠0

解得x≥且x≠2

★分式值为零：分子为零，且分母不为零；

最简分式：分子分母不能再进行约分的分式叫最简分式

★分母中含有未知数的等式叫分式方程；

★解分式方程时，解完后一定要检验，若算出的解使公分母为零，则该解为分式方程的增根；若算出的解使公分母不为零，则该解为分式方程的根.

★增根：使公分母为零的根（或解）

1. 已知有理式：，，，， x2， +4其中分式有（B）A．2个 B.3个 C.4个 D.5个

▲在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（C） A. B． C． D．

2.使分式有意义的x取值范围是（D）A. B. C. D.

▲若y与x的函数关系式是y=，则自变量x取值范围.

3. 若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则分式的值　　　　　（A）

A.不变 B.是原来的3倍 C.是原来的 D.是原来的

4.若将分式中的a与b的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将 （C）

A.扩大为原来的2倍 B.分式的值不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的

5.下列各式中最简分式是 （B）

A. B. C. D.

6.若分式的值为零，则x的值为-1

7.若关于x的方程产生增根，则m是(A) A.4 B.2 C.3 D.1

▲若关于的分式方程无解，则m的值为±

8.若： ====3，则=3；若： =，则＝.

9.若，则=

提示：利用特殊值法：让x=3,y=4

10.如果，， =

11.计算的结果是

12.有一组数是1，，，，……则第100个数是

解：1，，，，……=，，，…

∴第100个数是

13.符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出下列等式中的的值． =1 则=4．

解：由题意得：

解得 x=4

经检验，x=4是原方程的根

14.计算题（我只写了答案，在考试时一定要写过程）

（1）=

（2）=0

（3）=

（4）=

（5）先化简，再求值，其中

解：原式=，将代入得，原式=

▲先化简再求值 其中x=

解：原式=，将x=代入得，原式=

（6）若，且,求的值.

解：设=k，则a=3k -2，b=4k，c=6k-5

∴2（3k -2）-4k+3(6k-5)=21

解得k=2

∴a=4，b=8，c=7

∴=-1

(7) 已知，求，的值.

解：∵

∴ A+B=2

A-B=-4

解得A=-1，B=3

15.解方程：（我只写了答案，在考试时一定要写过程）

①

解得：x=1

经检验，x=1是原方程的增根

②

解得：x=1

经检验，x=1是原方程的增根

③

解得：x=2

经检验，x=2是原方程的增根

16.分式方程应用题

(1)在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（C）.

A.千米 B.千米 C.千米 D.无法确定

解：设上坡的路程为S千米，则下坡路程也为S千米，由题意得：

=

(2)一项工程，A单独做m小时完成。A，B合作20小时完成，则B单独做需小时完成.

解：由题意得：

(3)我市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨。小明家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小明家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5 立方米，求该市今年居民用水的价格是每立方米多少元？

解：设去年的水费为每立方米x元，则今年为每立方米x元，由题意得：

解得x=

经检验，x=是原方程的根且符合题意

∴今年居民用水的价格是每立方米×=2元

答：_____________________________

(4)小明带15元钱请朋友喝饮料，如果买一种A饮料，正好付15元且自己可以多喝一瓶，但售货员建议他买一种新口味的B饮料，这种B饮料比A饮料价格高出，因此，他也只能喝一瓶，问这两种饮料的价格各是多少？

解：设买A饮料所需钱为x元，买B饮料所需钱为x元

解得x=3

经检验，x=3为原方程的根且符合题意

∴B种饮料的价格是 3×=3.75元

答：A饮料的价格是3元，B饮料的价格是3.75元

(5)甲、乙两人都从A地出发到B地，已知两地相距50千米，且乙的速度是甲速度的2.5倍.现甲先出发1小时30分，乙再出发，结果乙反而比甲早到1小时，问两人速度各是多少？

解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为2.5x千米/小时，由题意得：

解得 x=12

经检验，x=12为原方程的根且符合题意

∴乙的速度12×2.5=30千米/小时

答：_____________________________

(6)为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷2000顶；

（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25％，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷?

解：（1）2000

（2）设该公司原计划安排名工人生产帐篷，由题意得：

，

解得．

经检验，是所列方程的根，且符合题意．

答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．

第六章 平行四边形

1.平行四边形

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；

性质：（1）两组对边分别平行

（2）两组对边分别相等

（3）一组对边平行且相等

（4）两组对角分别相等

（5）对角线互相平分

判定：【证明平行四边形的方法】

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

2.三角形中位线

（1）定义：三角形两边中点的连线叫三角形的中位线；

（2）性质：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；

推论：过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边.

中点四边形：顺次连接四边形个边中点构成的新四边形，新四边形一定是平行四边形.

3.多边形【如：n边形有n个顶点、n条边、n个内角】

（1）多边形内角和公式：（n-2）.180° （2） 所有多边形的外角和都是360°

（3）对角线：从一个顶点可以引条对角线；总共有条对角线.

★正多边形：每条边都相等，每个内角都相等

镶嵌（密铺）：用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。【即用整数个全等的图形将一点围成360°（可以有多种图形组合）】

平行四边形

1.平行四边形具有而非平行四边形的图形不具有的性质是（C）

A．内角和与外角和都是360° B．不稳定性

C．对角线互相平分 D．最多有三个钝角

2. 在下列命题中，结论正确的是（B）

A．平行四边形的邻角相等 B．平行四边形的对边平行且相等

C．平行四边形的对角互补 D．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够完全重合

3. 下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（A）

A．AB=CD， AD∥BC B．AB=CD，AB∥CD C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC

4.下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（C）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5. 下列命题中错误的命题是（C）

A．（-3）2的平方根是±3 B．平行四边形是中心对称图形

C．单项式5x2y与-5xy2是同类项 D．近似数3.14×103有三个有效数字

6. 已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（B）

A．4＜α＜16 B．14＜α＜26 C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确

解：如图，已知平行四边形ABCD中，AB=10，AC=6，求BD的取值范围，即a的取值范围.

∵四边形ABCD是平行四边形

∴a=2OB，AC=2OA=6

∴OB=a，OA=3

∴在△AOB中：AB-OA＜OB＜AB+OA

即14＜α＜26

点评：考查“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”以及“平行四边形对角线互相平分”的性质

7. 如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（B）

A．8 B．4 C．6 D．12

【提示：由题意可以算出平行四边形面积为24，而△ABC的面积是平行四边形面积的一半，故△ABC面积为12，△AEB、△EFB、△FCB是三个等底同高的三角形，因此它们面积相等，是△ABC的面积的，所以△BEF的面积为4】

8. 在▱ABCD中，AD=2，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F．若EF=1，则▱ABCD的周长为10或14.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB‖CD，BC=AD=2，AB=CD，

∴∠EAB=∠AED，∠ABF=∠BFC，

∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，

∴∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，

∴∠AED=∠DAE，∠BFC=∠CBF，

∴AD=DE，BC=FC，

∴DE=CF=AD=2，

由图①得：CD=DE+CF+EF=2+2+1=5，

∴▱ABCD的周长为14；

由图②得：CD=DE+CF-EF=2+2-1=3，

∴▱ABCD的周长为10．

∴▱ABCD的周长为10或14．

如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（B）

A．AD=CF B．BF=CF C．AF=CD D．DE=EF

9.如图③，过三角形内一点分别作三边的平行线，如果三角形的周长为6cm，则图中三个阴影三角形的周长和为（A）

A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm

10.已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C的位置，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为（D）

A．6 B．9 C．12 D．18

【提示：根据题意得，∠B=∠A′CC′，C′C=BC，

∴CD∥AB，CD= AB（三角形的中位线）,

∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，

∴△C′DC的面积=△ABC的面积=×36=18 】

11.如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（C）

A．7个 B．8个 C．9个 D．11个

12.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求证：（1）△AFD≌△CEB； 【提示：AF=CE,∠DFA=∠BEC(两直线平行，内错角相等) ，DF=BE】

（2）四边形ABCD是平行四边形．【提示：利用一组对边平行且相等；由（1）得AD=CB,∠DAF=∠BCE ,∴AD∥CB】

13.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；

（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．

解：（1）△BDE≌△FEC.

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°

∴CD=CE

∴△EDC是等边三角形

∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°

∴∠BDE=∠FEC=120°

又∵EF=AE

∴BD=FE

∴△BDE≌△FEC

（2）四边形ABDF是平行四边形

理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形

∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°

∴AB∥DF，BD∥AF

∴四边形ABDF是平行四边形

（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形

∴EF∥AB，EF≠AB

∴四边形ABEF是梯形

过E作EG⊥AB于G，则EG=

∴四边形ABEF的面积=EG.(AB+EF)=××(6+4)=

14.已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．

（1）证明: ∵CG = CE ∠DCB = ∠DCE = 90° BC = DC

∴△BCG ≌ △DCE (SAS)

（2）四边形E'BGD是平行四边形

证明: ∵四边形ABCD是正方形 △BCG≌△DCE

∴DC = AB

∴E'B = AB-AE' DG=DC-CG

E'D=GB

∴四边形E'BGD是平行四边形(平行四边形的对边相等)

（很简单，自己做）15.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．

（1）求证：△BDE≌△CDF；

（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．

（很简单，自己做）16.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1

（1）线段OA1的长是______，∠AOB1的度数是______；

（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形； （3）求四边形OAA1B1的面积．

17.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CFE．

（1）请指出图中哪些线段与线段CF相等；答案：AD、BD

（2）试判断四边形DBCF是怎样的四边形，证明你的结论．

提示：四边形DBCF是平行四边形

证△ADE≌△CFE 得出AD=CF ∠DAE=∠FCE ∴BD=CF BD∥CF ∴四边形DBCF是平行四边形

【不必做】18.已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）．  

（1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；

（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；

（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C′，使得∠APF=∠BPC′，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△PBC′沿PC′翻折得到△PEC′，连接FC′，取FC′的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．

19.如图，在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为______.

三角形中位线

◆若两个三角形的两条中位线对应相等且两条中位线与一对应边的夹角相等，则这两个三角形的关系是（D） A、全等 B、周长相等 C、不全等 D、不确定

1.已知三角形三边之比为2：3：4，且此三角形的三条中位线围成的三角形的周长是9，则原三角形的最长边是8.

【提示：中位线构成的三角形周长是9，则原三角形周长为18，则最长边为4×2=8】

2. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是18度．

3. 如图，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点是M，连接AM，则AM=cm．

【提示：过M作MN⊥B′C交B′C于点N，则N是B′C的中点，∴B′N=3，MN=4，∵B′A=2 ∴AM=5，然后利用勾股定理进行求即可】

4. 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．

5. 已知如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．

求证：（1）BE⊥AC；【提示：利用等腰三角形三线合一证；由BD=2AD得BO=AD ∴△BOC为等腰三角形，∵E是OC的中点，∴BE⊥AC】

（2）EG=EF．【提示：利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半及三角形的中位线证；EG是直角三角形ABE斜边AB的中线，因此GE=AB，因为EF是△COD的底边CD的中位线，所以EF=CD，因为AB=CD,所以EG=EF】

（很简单，自己证明）6.已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．

7.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．

（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；

（2）若CB=CE，∠BAE=60°，∠DCE=20°，求∠CBE的度数

提示：(1)证明AD∥BC，AD=BC，FH∥BC,FH=BC.

(2)∠CBE是等腰△CBE的底角，求出顶角∠ECD即可.

多边形

1.已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（B）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

2.一个多边形的内角和为540°，则其对角线的条数是（B）

A. 3条 B. 5条 C. 6条 D. 12条

3.当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加180°，外角和增加0°.

4.如果一个正多边形的内角等于它的外角和的5倍，那么这个正多边形的一个内角是150°.

5. 一个n边形的每个外角都等于36°，则n=10.【360°÷36°=10】

6.一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（D）

A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能

镶嵌（密铺）

1.只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（C）

A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形

2.下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（D）

A．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边形

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