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初二培优习题含答案

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初二培优试题
１.已知,如图，把长方形纸片ＡBCD沿EＦ折叠后,点D与点Ｂ重合，点Ｃ落在点C′的位置上,若∠1=60°，ＡE＝2.（1）求∠2，∠3的度数.
(2）求长方形ABCD的纸片的面积S.２０.解：（1）∵AD∥BC,∴∠２＝∠1=60°;
又∵∠4=∠２=60°，∴∠3=1８０°﹣6０°﹣6０°=60°.
（2在直角△ABE中,由（1知∠3=６0°,∴∠５=９0°﹣60°=30°;∴BE=2AE=4,∴AＢ=２∴ＡＤ=AＥ+DＥ=AE＋ＢE＝2+4=6，∴长方形纸片ABＣD的面积S为:ＡB•AＤ=2
2.如图,直线y＝﹣x＋10与ｘ轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（８,０），P（x，ｙ）是直线y＝﹣x+1０在第一象限内一个动点．
（1求△ＯPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围;（2）当△OPＡ的面积为10时，求点P的坐标．
解(１）∵A(８，０,∴OＡ=８,Ｓ＝OA•｜ｙP|=×8×（﹣x＋10）＝﹣4x＋４0,(0＜10）.
×6=1２
.
;
(2）当S=10时，则﹣4x+40=10,解得x＝，当x=时，y=﹣+１0=,
∴当△OPA的面积为10时,点P的坐标为（,．

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3．如图,在△ABC中，点D、E分别是边BC、AＣ的中点,过点A作ＡＦ∥BC交DE的延长线于F点，连接AＤ、CF.
(1求证：四边形ADCＦ是平行四边形;
（2）当△ABC满足什么条件时,四边形ADＣF是菱形？为什么？
（1证明:∵点D、E分别是边BＣ、AC的中点,∴DE∥AB，∵AＦ∥BC，
∴四边形ＡBDF是平行四边形，∴AF=ＢＤ，则AF=DＣ，∵AＦ∥BＣ，∴四边形ＡDCF是平行四边形；（２）当△ABC是直角三角形时,四边形ADCF是菱形，
理由:∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形,∴AＤ=DC，∴平行四边形AＤCＦ是菱形.4.如图，在正方形ABＣD外取一点E，连接ＡE,BＥ,DE，过点A作ＡE的垂线交ＤE于P,若ＡＥ＝ＡＰ（1求证：△ＡBE≌△ADP；（2）求证；BE⊥ＤE；
（１证明：∵四边形ABCＤ是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AE⊥AP，∴∠ＥAP=９0°,∴∠EAB=∠PAＤ，在△ABE和△ＡDＰ中,
，∴△ABＥ≌△ADP；
（2）证明:∵△ABＥ≌△ＡDＰ，∴∠ＡＰD=∠ＡEB，又∵∠AＥＢ=∠ＡEP＋∠BEP，∠ＡPD=∠ＡＥP+∠PAE,∴∠BＥP=∠PAE=90°，∴BE⊥DＥ；
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５.A市和B市分别有某种库存机器１2台和6台,现决定支援Ｃ村1０台,D村８台,已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和８00元，从B市调运一台机器到Ｃ村和Ｄ村的运费分别是３00元和5０0元.
(1设Ｂ市运往C村机器x台,求总运费W关于ｘ的函数关系式；（2若要求总运费不超过90０0元，共有几种调运方案?（３）求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少元?解根据题意得:
(1W=300x+5０0(６﹣x＋４０0（10﹣x）+８０0[12﹣（10﹣x]=２00ｘ+8600．
(２因运费不超过9000元∴W＝20０x+８60０≤90０0，解得x≤2.∵0≤ｘ≤6,∴0≤x≤2.则x=0,1，2，所以有三种调运方案.
(3∵0≤x≤2，且W=２00ｘ+8600，∴Ｗ随ｘ的增大而增大∴当ｘ=０时，W的值最小，最小值为8６00元,此时的调运方案是：B市运至C村0台,运至Ｄ村6台，A市运往C市10台,运往D村2台,最低总运费为86０0元．
6.在平面直角坐标系中,已知点A(ａ,0），C（0，ｂ）,且ａ、b满足(ａ+12+(1直接写出:a=,b=;
(2）如图，点B为x轴正半轴上一点,过点B作BE⊥ＡC于点E，交y轴于点D,连接ＯE，若OE平分∠ＡＥB,此时，OＢ与OＣ有怎样的大小关系？证明你的结论．（3在(2的条件下，求直线BE的解析式．
=０.
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解:(1∵（a+1）＋
2
＝0,∴a+1=０,ｂ+3＝0,∴a=﹣1，b=﹣3，
(２ＯB=OＣ,证明如下:如图,过O作OF⊥ＯE，交BE于F,

∵BE⊥AC,OE平分∠ＡEB，∴△ＥＯF为等腰直角三角形,
∴∠EOC+∠DOF=∠DOF＋∠FOB＝９０°，∴∠EOC＝∠ＦＯB，且∠ＯEC=∠OFB=13５°，在△EOＣ和△ＦＯB中,
,
∴△EOＣ≌△FOB(ＡSA,∴OB=OC;
(3∵△EOC≌△FＯB，∴∠OＣE=∠OBＥ，OＢ=OC,在△AOC和△DOB中，
，
∴△AＯC≌△DOB（ASA）,∴OＤ＝ＯＡ，∵A(﹣1，0）,C（0,﹣3）,∴ＯD=1，ＯC＝3,∴Ｄ（０,﹣1），B（3，0），设直线ＢＥ解析式为y＝kx+b，
把B、D两点坐标代入可得,解得.
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∴直线BE的解析式为y＝x﹣1.

7．如图,A是∠MON边OＭ上一点，AE∥ON．
（1）在图中作∠ＭON的角平分线OＢ,交AE于点B；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明
（２在（1中,过点A画OB的垂线,垂足为点D，交ON于点C，连接ＣＢ,将图形补充完整，并证明四边形OABＣ是菱形.

【考点】L9：菱形的判定；KB:全等三角形的判定.【专题】1３:作图题.
【分析】(1）角平分线的作法：用圆规以顶点为圆心，任意长为半径画一个弧（要保证有两个交点,不要太小,再以刚才画出的交点为顶点,以大于第一次的半径为半径画弧（左右各画一个弧,再取两道弧的交点，并连接这个交点的一开始最上面的顶点，这就是角平分线．(2本题可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明OABＣ是个平行四边形，然后证明ＯA=AB即可.
【解答】解：(1如图，射线OB为所求作的图形．（2证明:∵OB平分∠ＭON，∴∠ＡOＢ=∠BＯＣ.∵AE∥OＮ,∴∠AＢＯ=∠ＢＯC．
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∴∠AＯB=∠ABO,ＡＯ=AB．∵AD⊥OＢ，∴BD=OＤ.
在△ＡDＢ和△CＤO中∵

∴△ADB≌△CDO,AＢ=ＯC.∵ＡB∥OC,
∴四边形ＯABC是平行四边形.∵ＡＯ=AB，∴四边形OAＢC是菱形.

【点评】本题考查尺规作图、全等三角形的判定，性质及特殊四边形的判定问题，解决本题的关键是熟悉基本作图，熟悉特殊平行四边形的判定方法.
８.如图，直线l１，l2交于点Ａ,直线l2与x轴、y轴分别交于点B(﹣４，０）、D(０,４，直线l1所对应的函数关系式为y＝﹣2x﹣2．
(1）求点C的坐标及直线l2所对应的函数关系式；(2求△ABC的面积；
（3）P是线段BD上的一个动点（点Ｐ与B、Ｄ不重合）.设点P的坐标为(m,n）,△PBC的面积为Ｓ，写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围．

【考点】FF:两条直线相交或平行问题．
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【分析】(1）设出直线l２的函数关系式，因为直线过B（﹣４,0，Ｄ（0，4）两点利用代入法求出k，b，从而得到关系式.
(2A点坐标是l1与x轴的交点坐标,A点坐标是把l1，l2联立，求其方程组的解再求三角形的面积．
（3）设点P的坐标为(m，n，△PBC的面积为S得出解析式解答即可．【解答】解：（１由ｙ=﹣2ｘ＋2,令y=０,得﹣2x+２=0，∴x=1，∴C(1，0，设直线l2所对应的函数关系式为y=kx+b,由图象知:直线l２经过点B(﹣4，0，D(0，４∴(２由
，解得
，解得
,∴直线l2所对应的函数关系式为y=x＋4；
,∴A（﹣2,2），∵BC=3,∴S△AＢC=×３×2=3;
，
（3）设点P的坐标为（m，n，△ＰBＣ的面积为Ｓ,可得:S=自变量的取值范围为：﹣4＜m<0．
【点评】此题主要考查了两条直线相交或平行问题，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题,题目综合性较强,难度不大，比较典型.
9．如图,将▱AＢCD的边DC延长到点Ｅ，使CE＝DC,连接AＥ，交ＢC于点F.（1求证:△AＢＦ≌△ECＦ；
(2若∠AFC＝２∠Ｄ,连接AＣ、BＥ，求证:四边形AＢＥＣ是矩形．
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【考点】L7:平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LC：矩形的判定．【专题】14：证明题.
【分析】（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC,AB=ＤC,⇒∠ＡBF=∠ECF,从而证得△ＡBF≌△ECＦ;
(2）由（1得的结论先证得四边形ＡBEC是平行四边形，通过角的关系得出ＦA=FE=ＦB=ＦC，AＥ=ＢC，得证.
【解答】证明:(１∵四边形ABＣD是平行四边形，
∴AB∥DC，AＢ=DC，∴∠ABF=∠ECF，∵EC＝DC,∴AB=EC,在△AＢF和△ECＦ中,
∵∠ＡBＦ=∠ECF,∠AFB＝∠ＥＦC,AＢ＝EC，∴△ＡBF≌△ECF（AAＳ）．(２∵ＡB=ＥC，AＢ∥EC,
∴四边形ABEC是平行四边形，∴FA＝FE，FB=FＣ,∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AＢC＝∠D,
又∵∠AFC=２∠D,∴∠AFC=2∠AＢC，∵∠ＡFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABＣ=∠BAF，∴FA＝ＦB,∴FA=FE＝FＢ=FC,∴ＡE=BC，∴四边形ABＥC是矩形.
【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及矩形的
判定,关键是先由平行四边形的性质证三角形全等,然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
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１０．如图１，将边长为1的正方形ＡBCD压扁为边长为１的菱形ＡBCＤ.在菱形ABCＤ中，∠A的大小为α,面积记为S．

（１）请补全下表:
α
30°
４5°
6０°
9０°
120°
135°
１50°
S
12
1
22

（２）填空:
由（１可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠Ａ大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为（Sα．例如:当α=3０°时，SS(30
21
；当α＝1３5°时,SS(135.
22
由上表可以得到S(60S(＿____＿°；S(150S(__＿___°,…,由此可以归纳出
S(180S(．
(3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=2，∠AＯB＝α,试探究图中两个带阴影的
三角形面积是否相等，并说明理由(注：可以利用（2）中的结论）.
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图2

（1）
3312；;;.(说明:每对两个给１分）－－-－--------－---－-－----－-－--------2分
2222
(212０;３0;α．－－--－－---－－--－-－---------－－----－---－－----－-－－－－----－-－--－--－---－--－－---－---－---－---4分
（说明:前两个都答对给1分，最后一个α答对给１分）（3答：两个带阴影的三角形面积相等.
证明：将△ABO沿AB翻折得到菱形ＡＥBO,将△ＣDO沿ＣD翻折得到菱形OCFD.∴S△AOB=－--－－－----5分
S△CDＯ＝---------６分
由（2中结论S(α=S（180∴S△ＡOB＝S△CDＯ.
11、如图,正方形ABＣＤ中,点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作ＰF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF.⑴如图2，若点Ｐ在线段AO上（不与点A、O重合）,PE⊥PB且ＰＥ交CD于点E。①求证：DF=ＥF；②写出线段PＣ、ＰＡ、ＣＥ之间的一个等量关系，并证明你的结论；⑵若点P在线段ＯC上（不与点O、C重合,PE⊥PB且PE交直线CD于点Ｅ。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论(所写结论均不必证明）
1
S2
OCFD=
11
Ｓ菱形AＥBO＝S(α－－-----－--－----－---－---－---－－--－---------22
菱形
1
S(180-----－－--－-------－－－-----－--－--－2
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解：(1）延长FP交AB于点Q，，
①∵ＡC是正方形ABCＤ对角线，∴∠ＱAＰ=∠AＰＱ=45°,∴AＱ=PQ,易得出BQ＝PＦ，
∵ＰE⊥PB,∴∠ＱPB+∠ＦPE=9０°，ﻫ∵∠QＢP＋∠QPB=9０°，∴∠QＢP=∠FPE，∵∠ＢＱP=∠PＦE=90°,∴△BQP≌△PFE，∴QＰ=EF，∵AQ＝DF,∴ＤF＝EF;



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12.如图，△AＢC中,点Ｏ是边AＣ上一个动点,过Ｏ作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1求证：ＯE=OF;
(2若CE＝1２，CF=5,求ＯC的长；
（3）当点Ｏ在边AC上运动到什么位置时,四边形AＥCF是矩形？并说明理由.

【考点】矩形的判定;平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【专题】压轴题．
【分析】(１）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠１=∠2，∠３＝∠4，进而得出案;
(２）根据已知得出∠2＋∠4=∠５＋∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.
【解答】(１）证明:∵MＮ交∠ＡCB的平分线于点E，交∠ACＢ的外角平分线于点F,∴∠2＝∠5,∠４=∠６，∵MN∥BC,∴∠１=∠５,∠３=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4,∴ＥO＝ＣO，ＦO＝ＣＯ，∴ＯE=OＦ；(２解:∵∠2=∠5,∠4＝∠６，∴∠2+∠4＝∠５＋∠６=９０°，∵CE=12，CF=5,∴ＥＦ=
=13，∴OC=EF＝６.5;
（3）解:当点Ｏ在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.证明:当O为AC的中点时，AO=CＯ,∵ＥO=FO，∴四边形ＡECF是平行四边形，
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3
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∵∠ECF=90°,∴平行四边形AEＣF是矩形．

【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识,根据已知得出∠EＣF=90°是解题关键．
13．如图所示,在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=９０°，AB=12,BC=21,ＡD=１6．动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q同时从点Ａ出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点Ｄ运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ｔ(秒）.（1设△DPQ的面积为S，求Ｓ与t之间的函数关系式;(2当t为何值时,四边形ＰCＤQ是平行四边形？
（３分别求出当t为何值时，①ＰＤ=PＱ,②DQ＝PQ．
【考点】直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【分析】(１S△QDP＝DQ•AB，由题意知：AＱ=t，DQ=AD﹣AQ=16﹣t，将DＱ和AB的长代入,可求出S与t之间的函数关系式;
(2当四边形ＰCDQ为平行四边形时,ＰC=DＱ,即１6﹣t=21﹣2t,可将t求出；
(3）当ＰＤ=PQ时,可得：AＤ=3ｔ，从而可将t求出；当DQ=ＰＱ时,根据DQ2=PQ2即:t2+１2２＝(16﹣ｔ）
２

可将t求出．
【解答】(1）解:直角梯形ABＣD中,AD∥BC,∠A=90°，ＢC=２1,AB=12,AＤ=１6,依题意AＱ=t，BP=2t，则ＤQ=16﹣ｔ,PC=2１﹣２t,
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过点Ｐ作ＰE⊥ＡD于E，
则四边形ＡＢPE是矩形,PE=AＢ=12,∴S△ＤPＱ=DQ•AB＝（16﹣ｔ×12=﹣6ｔ+9６．(2）当四边形PCDQ是平行四边形时,PC=DＱ,∴21﹣2t＝１６﹣ｔ解得:t=5，∴当t=5时,四边形PCDＱ是平行四边形．(3）∵AE＝BP＝2t，PE=AB=1２,①当PＤ=ＰQ时，ＱE=ED=QD，
∵DE=16﹣2t，∴AE=BＰ=AQ+QE,即２t=t＋1６﹣2t，解得：ｔ=
,∴当t＝
时，ＰＤ=ＰQ

②当ＤQ=ＰＱ时,DQ2=PQ2∴t２+122=(16﹣t2解得：ｔ=∴当t=时,DQ=PQ
【点评】本题主要考查梯形、平行四边形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合.
14．如图，在▱ＡBDC中，分别取AＣ、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作ＡP▱BC，交DＣ的延长线于点Ｐ.
（1）求证：▱ＡBE▱▱ＤCF;
（2）当▱P满足什么条件时,四边形BECＦ是菱形？证明你的结论.
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１5.如图,在Rｔ▱ＡＢC中,▱B=90°,AC=60，ＡB=3０．D是
ＡC上的动点，过D作DF▱ＢC于F，过F作ＦE▱AC，交
AB于E．设ＣD=x，DF＝ｙ．(1求y与x的函数关系式；
（2当四边形ＡEＦD为菱形时，求x的值;(3）当▱DEF是直角三角形时,求ｘ的值．

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2e1ee6cfb80d6c85ec3a87c24028915f814d845f.html

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