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最新辽宁高考数学理科试卷(带详解)

发布时间：2020-12-21   来源：文档文库   
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__________________________________________________ 2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（理科）

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.a为正实数，i为虚数单位，ai2，则a iC.2

D.1 (

A.2

B.3

【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】给出复数的除法形式，求解等式得出未知数. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】∵aiai1ai,1ai1a22, iia23a3.故选B 2.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N
A.M

B.N

C.I

IM，则MN
D.
(

【测量目标】集合的基本运算（交集，并集，补集）. 【考查方式】给出集合并集的结果求交集的结果. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】N2IM即是N是M的真子集，MNM. 3.已知F是抛物线yx的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (

A.3
4B.1 C.5 4D.7
4【测量目标】抛物线的简单几何性质. 【考查方式】给出抛物线上两点与焦点线段之和，利用准线求线段中点到y轴的距离. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】∵F是抛物线yx的焦点
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__________________________________________________ F（11,0）准线方程x(步骤1 44设A(x1,y1,B(x2,y2 ∴|AF|+|BF|=x1解得x1x211x2=3 445（步骤2）
255∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到y轴的距离为.（步骤3）
444.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则
A．23

B．22

C．3

D．2
b (
a【测量目标】正弦定理，余弦定理. 【考查方式】给出三角形角与边满足的关系式，求两边的比值. 【难易程度】容易 【参考答案】D 2【试题解析】∵asin AsinBbcosA=2a
22∴由正弦定理可知sinAsinBsinBcosA=2sinA（步骤1）
（sin2Acos2A）sinB=2sinA ∴sinB∴sinBb2.（步骤2） sinAa
(

5.从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和
为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=

A.1 8B.1 4C.2 5D.1
2【测量目标】随机事件与概率. 【考查方式】给出两事件，通过求出两事件概率去求P(B|A. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴P(A=2.（步骤1）
51（步骤2）
10事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P(AB=∴P(B|A=P(AB1．（步骤3） P(A4



(

6.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是

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__________________________________________________ A.8 B.5 C.3
D.2
第6题图

【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出流程图，将数值带入算法求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题解析】k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1（步骤1）
k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2（步骤2） k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3（步骤3）
k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3.（步骤4）

7.设sin（π4+）=13，则sin2


A.7 B.1 1799 C.9

D.9 【测量目标】三角函数的诱导公式. 【考查方式】给出三角函数的等式，求解sin2的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】由sin（πππ24）=sin4cos+cos4sin=2（sin+cos）=13，（步骤1）两边平方得：1+2sincos=29，即2sincos=79， 则sin2=2sincos=79．故选A. （步骤2） 8.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD， 则下列结论中不正确．．．的是

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(

(


__________________________________________________ A.AC⊥SB B.AB

平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

第8题图

【测量目标】两条直线的位置关系，线面角，线面平行的判定. 【考查方式】给出四棱锥图示，验证选项结论. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，AC,则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；（步骤1） ∵AB∴ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD， 平面SCD，故B正确；（步骤2）
∵SD⊥底面ABCD，
ASO是SA与平面SBD所成角，CSO是SC与平面SBD所成的角， 而△SAO≌△CSO，
∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；（步骤3） ∵ABCD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故D不正确；（步骤4）
21x,x19.设函数f(x，则满足f(x1log2x,x1
A.[1，2]

B.[0，2]
2的x的取值范围是

C.[1，+]

(

D.[0，+] 【测量目标】指数函数与对数函数化简. 【考查方式】给出分段函数模型，求满足不等式未知数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】当x1时，21x2的可变形为1x1,x0，0x1．（步骤1）
当x＞1时，1log2x2的可变形为x1，
20，则|abc|的最大值为 (

∴x＞1，故x的取值范围[0，+∞）．（步骤2）
10.若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac(bc收集于网络，如有侵权请联系管理员删除


__________________________________________________ A.21 B.1

C.2

D.2 【测量目标】向量的基本运算. 【考查方式】给出向量满足的关系式，求某向量关系的最大值. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】∵(ac(bc0abc(abc20
又∵a,b,c为单位向量，且ab=0，∴c(ab2（步骤1） 1，而abca2b2c22ab2c(ab=32c(ab∴abc的最大值为1．（步骤2）
321. 11.函数f(x的定义域为R，f(12，对任意xR，f(x2，则f(x2x4的解集为( A.（1，1） B．（1，+） C．（，1）
【测量目标】利用导数求函数的单调区间. 【考查方式】给出函数满足的等式，求不等式解集. 【难易程度】较难 【参考答案】B D．（，+）
【试题解析】设F(xf(x(2x4,则F(1f(1(240 又对任意xR,f(x2,F(xf(x20，即F(x在R上单调递增， 则F(x0的解集为（1，+∞），即f(x2x4的解集为（1，+∞）．故选B 12.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，ASCBSC30，则棱锥S—ABC的体积为 (

A．33

B．23

C．3
D．1 【测量目标】圆的性质的应用，棱锥的体积. 【考查方式】给出球直径，及内接三棱锥的部分棱长与角度，求三棱锥的体积. 【难易程度】较难 【参考答案】C 【试题解析】设球心为点O，作AB中点D，连接SD，CD ,因为线段SC是球的直径， 所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90,
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30， 得：AC=2，SA=23（步骤1）
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30 ，得：BC=2，SB=23 则SA=SB，AC=BC（步骤2）
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__________________________________________________ 因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=SAAD1222335, 42在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=AC2AD24313（步骤3） 42又SD交CD于点D ，所以AB⊥平面SCD ,即棱锥SABC的体积：V=1ABS△SCD.（步骤4）
3因为SD=35131222，CD=，SC=4,由余弦定理得：cos∠SDC=(SDCD-SC 222SDCD=(4513164411
3513652228（步骤5）
65则sin∠SDC=1cosSDC1SDCDsin∠SDC=3（步骤6）
211所以棱锥SABC的体积：V=ABS△SCD=333.（步骤7）
33由三角形面积公式得△SCD的面积S=第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
x2y213.已知点（2，3）在双曲线C：221(a0,b0上，C的焦距为4，则它的离心率ab为 ．
【测量目标】双曲线简单几何性质. 【考查方式】定点在双曲线上，给出焦距，求双曲线离心率. 【难易程度】容易 【参考答案】2 x2y2【试题解析】∵221，C的焦距为4，
ab∴F1（2，0），F2（2，0），
∵点（2，3）在双曲线C上，∴2a=(22(332， ∴a=1，∴e=22c=2．
a14.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收收集于网络，如有侵权请联系管理员删除


__________________________________________________ 入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：ˆ0.254x0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加y____________万元． 【测量目标】线性回归方程. 【考查方式】给出线性回归方程式，x的增加一定值求y增加的值. 【难易程度】容易 【参考答案】0.254 【试题解析】∵对x的回归直线方程．
ˆ1=0.254（x+1）+0.321， ∴yˆ1yˆ2=0.254（x+1）+0.3210.254x0.321=0.254. ∴y15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯
视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．


第15题图

【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出三棱锥的体积，及俯视图，求三棱锥左视图的面积. 【难易程度】容易 【参考答案】23
【试题解析】设正三棱柱的侧棱长为a，由题意可知33a23,所以a=2，底面三角形的高为3，4所以左视图矩形的面积为2×3=23． 16.已知函数f(x=Atan（x+）（0,||的部分图象如下图，则f(π），y=f(x
2π ．
24
第16题图

【测量目标】f(xAtan(x的图象与性质.

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__________________________________________________ 【考查方式】结合正切函数图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值. 【难易程度】中等 【参考答案】3
π，所以=2，函数的解析式为：f(xtan(2x
2π因为函数过（0，1），所以，1=tan，所以=，
4ππππ所以f(xtan(2x则f(=tan（）=3. 424124【试题解析】由题意可知A=1，T=三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=10 （I）求数列{an}的通项公式；
a （II）求数列nn的前n项和． 12【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式an与前n项和Sn的关系. 【考查方式】已知递推关系求通项，再结合给出的关系式，求数列的前n项和. 【难易程度】容易
【试题解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得a1d0,
2a112d10,a11,解得 故数列{an}的通项公式为an2n.（步骤1）
d1. （II）设数列{ana2nS的前项和为，即}Sann12n12an. 所以，当n1时， n2an,故S11（步骤2） 2n1Sna1a2224SnSnaaaaaa121nn1n1n2222n1112n1(n1n
242212n1(1n1n22n.（步骤3） 2nn所以Snn1.
2
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__________________________________________________ 综上，数列{ann}的前n项和S.（步骤4） n2n12n118．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD （I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．
QA，QA=AB=1PD．
2
第18题图

【测量目标】面面平行的判定，二面角. 【考查方式】给出空间线线、线面的关系，利用空间直角坐标系求解. 【难易程度】中等
【试题解析】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
第18题（I）图

（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）. 则DQ(1,1,0,DC(0,0,1,PQ(1,1,0. 所以PQDQ0,PQDC0.（步骤1）
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 故PQ⊥平面DCQ. （步骤2）
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. （步骤3） （II）依题意有B（1，0，1），CB(1,0,0,BP(1,2,1.
nCB0,x0,即设n(x,y,z是平面PBC的法向量，则
x2yz0.nBP0,因此可取n(0,1,2.（步骤4）
mBP0,设m是平面PBQ的法向量，则
mPQ0.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________ 可取m(1,1,1.所以cosm,n15.
5故二面角Q—BP—C的余弦值为15.（步骤5）
519.（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙． （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望； （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
品种甲 品种乙
403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1,x2,,xn的的样本方差s21[(x1x2(x2x2(xnx2]，其中x为样n本平均数．
【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】给出种植方式求分布列与数学期望，再根据样本方差与样本平均数判断应选品种. 【难易程度】中等 【试题解析】（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且
P(X011,4C8703C184C4P(X1,4C8352C2184C4P(X2,
4C8351C384C4P(X3,4C835P(X411.4C8700 1 即X的分布列为 X
P 1 708
352 18
353 4 8 351
70（步骤1）
X的数学期望为
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__________________________________________________ E(X018188112342. （步骤2） 7035353570 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
1x甲(403397390404388400412406400,8（步骤3）
1S甲2(32(32(10242(122021226257.25.8 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
1x乙(419403412418408423400413412,8（步骤4）
1S乙2(72(920262(42112(1221256.8由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． （I）设e1，求BC与AD的比值；
2AN，并说明理由．

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO
第20题图

【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】给出离心率求线段比值，判断在离心率变化时，是否存在直线使已知两直线平行. 【难易程度】较难 【试题解析】（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
x2y2b2y2x2C1:221,C2:421,(ab0(步骤1 abaa设直线l:xt(|t|a，分别与C1，C2的方程联立，求得
A(t,a22b22at,B(t,at. (步骤2 ba收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________ 当e13时,ba,分别用yA,yB表示A,B的纵坐标，可知 222|yB|b23|BC|:|AD|2. (步骤3 2|yA|a4 （II）t=0时的l不符合题意.t0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即
b22a22atatab,
ttaab21e2a2.(步骤4 解得t22abe1e221,解得e1.(步骤5 因为|t|a,又0e1,所以1e22所以当0e2时，不存在直线l，使得BOAN；
2 当2e1时，存在直线l使得BOAN. (步骤6 221.（本小题满分12分）
已知函数f(xlnxax2(2ax． （I）讨论f(x的单调性； （II）设a0，证明：当0x111时，f(xf(x； aaa （III）若函数yf(x的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（x0）＜0．
【测量目标】利用导数判断函数的单调性，利用导数解决不等式问题. 【考查方式】给出含参的函数式，利用导数判断函数的单调性，通过限定参数范围，证明不等式. 【难易程度】较难
【试题解析】（I）f(x的定义域为(0,, f(x （i）若a1(2x1(ax12ax(2a. xx0,则f(x0,所以f(x在(0,单调增加. （ii）若a0,则由f(x0得x1,
a11且当x(0,时,f(x0,当x时,f(x0.(步骤1 aa收集于网络，如有侵权请联系管理员删除


__________________________________________________ 1a11 （II）设函数g(xf(xf(x,则
aag(xln(1axln(1ax2ax,所以f(x在(0,单调增加，在(,单调减少. (步骤2 1aaa2a3x2(步骤3 g(x2a.221ax1ax1ax1时,g(x0,而g(00,g(x0. a111故当0x时，f(xf(x. (步骤4 aaa当0x （III）由（I）可得，当a0时,函数yf(x的图象与x轴至多有一个交点，
1a1a故a0，从而f(x的最大值为f(,且f(0.(步骤5 不妨设A(x1,0,B(x2,0,0x1x2,则0x1由（II）得f(x1f(1x2.
a211x1f(x1f(x20.
aaa1又f(x在(,单调递减，
axx212从而x2x1,于是x01.(步骤6 a2a 由（I）知，f(x00. (步骤7 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED． （I）证明：CD//AB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F 四点共圆．

第22题图

【测量目标】直线与圆的位置关系. 【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行，结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系. 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________ 【难易程度】容易 【试题解析】（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD. （步骤1）
因为A,B,C,D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB. （步骤2）
（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC. （步骤3） 连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，（步骤4）
又CDAB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA. （步骤5）
所以∠AFG∠GBA=180. 故A,B,G,F四点共圆.（步骤6）
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
xcos在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数ysinxacos方程为（ab0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系ybsin中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； （II）设当=π时，2ππ时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，44B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
【测量目标】极坐标与参数方程. 【考查方式】根据圆和椭圆的位置关系求出参数方程中各参数. 【难易程度】中等
【试题解析】（I）C1是圆，C2是椭圆. 当0时，射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3. 当π时，射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以2b=1. （步骤1）
x2y21.（步骤2） （II）C1,C2的普通方程分别为xy1和922 当2π时，射线l与C1交点A1的横坐标为x，与C2交点B1的横坐标为
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__________________________________________________ x310. 10当π时，射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称，因此，
4四边形A1A2B2B1为梯形. （步骤3） 故四边形A1A2B2B1的面积为(2x2x(xx2.（步骤4）
2524．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x=|x2||x5|． （I）证明：3f(x3；
（II）求不等式f(xx28x+15的解集．
【测量目标】不等式的证明，分段函数. 【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集. 【难易程度】中等
x2,3,【试题解析】（I）f(x|x2||x5|2x7,2x5,（步骤1）
3,x5. 当2x5时,32x73. 所以3f(x3. （步骤2）
（II）由（I）可知， 当x2时,f(xx28x15的解集为空集； x28x15的解集为{x|53x5}；
当2x5时,f(x 当x5时,f(xx28x15的解集为{x|5x6}.（步骤3）
x6}. （步骤4）

综上，不等式f(xx28x15的解集为{x|53学习雷锋班会教案
一、活动目标: 1、 通过介绍雷锋的生平简介以及他亲身经历的真实故事，弘扬“雷锋精神”。 2、 通过认真地学习和参加有关的助人为乐活动，构建“优良班风、和谐校园”。 3、 让同学们以实际行动来学习雷锋全心全意为人民服务的奉献精神。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除


__________________________________________________ 二、活动准备: 1、准备一些相关的雷锋图片和他亲身经历的有先进代表性的真实故事。 2、准备几则《雷锋日记》和《学习雷锋好榜样》这首歌的录音带。 三、活动安排程序： 欣赏图片------ 生平简介------雷锋日记------雷锋故事------表演小品------听一听歌曲------学会唱歌-------精神大讨论-------代表发言-------要求行动------总结归纳------谈一谈体会 四、 具体活动过程： 1、 师生共同欣赏一些与雷锋相关的图片。（2分钟） （陶冶学生情操------勤俭朴素、助人为乐、全心全意为人民服务） 2、 先请个别同学畅谈自己对雷锋叔叔的了解，然后由班主任老师向同学们补充介绍雷锋的生平简介。（3分钟） 《雷锋的生平》

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