社保基金投资组合策略
摘要
本文建立关于社保基金投资组合的Markowitz均值—方差模型，在收益率下限确定的情况下使得其风险最小，求得投资组合收益率与方差的关系并确定最优的组合。针对本文收益率考虑过于理想和假定市场无摩擦这两方面的缺陷，对模型进行了适当地改进。首先，分别讨论了在现实情况中在股票分割，送现金股息、送红股、发行新股等情况下，对收益率计算公式进行了修正。其次提出了带交易费的M-V-C投资组合模型，利用割平面法求解此模型的思想，对大规模的投资组合问题提供了有效的算法。
关键词：均值—方差模型 收益率 方差 投资组合 割平面法
Social Security Fund's investment portfolio strategy
ABSTRACT
Social Security Fund was established on the investment portfolio of the Markowitz mean - variance model, Yield threshold established in the case makes its minimum risk and seek investment portfolio yield variance with the relationship and to determine the optimal combination. For consideration in this paper yield is too ideal and the assumption that the market without the friction of these two shortcomings, the model is due to the improvement. First of all, were discussed in the reality of the situation in the stock split, sending cash dividend, Song Honggu, the issue of new shares, and other circumstances, the yield calculation formula was amended. Followed by the transaction costs with the MVC model portfolio, using this method cut plane model of thinking on a large-scale investment portfolio to provide an effective method.
Keywords Mean-variance model Yield Variance Portfolio Cutting Plane law
中文摘要 ....................................................………………………………………………….Ⅰ
英文摘要 ....................................................………………………………………………….Ⅱ
引言 .......................................................…………………………………………………….. .1
1、模型的基本假设.................................................……………………………….2
2、定义与符号说明.................................................……………………………….3
3、问题的分析.................................................…………………………………….3
问题的背景理解…………………………………………………………………..3
基于均值—方差的投资组合问题分析……………………………………….4
4、模型的建立和求解.….....................................…………………………………4
简单的Markowitz均值—方差(M-V)模型...............……………...………4
4.1.1 模型的建立………………………………………………………………….5
4.1.2 模型的求解……………………………………………………………….…6
基于流通市值限制的Markowitz均值—方差(M-V)模型………………….14
4.2.1 模型的建立…………………………………………………………………14
4.2.2 模型的求解…………………………………………………………………15
5、模型的评价.................................................…………………………………….18
6、模型的改进与推广................................................……………………………..19
7、参考文献..................................................…………………………………………………22
8、附录......................................................…………………………………………………….22
致谢......................................................…………………………………………………………23
引 言
证券市场是股票、债券、投资基金等有价证券发行和交易的场所.资本的供求矛盾是社会再生产的重要矛盾，一方面，社会上存在着大量的闲置资本，需要寻找投资机会，以实现资本的增值，它们形成资本的供给；另一方面，经济的发展又需要有更多新增的资本投入，需要向社会筹集更多的资本，它们形成资本的需求.证券市场就是为解决资本的供求矛盾而产生的市场，是经济发展到一定阶段的产物.证券市场实现了投资需求和筹资需求的对接，从而有效地化解了资本的供求矛盾.
社保基金是国人的养命钱.安全增值为上，不跟其他基金比收益，但是，社保基金要做制度最完备、专业最规范、队伍最专业、百姓最放心的基金.这是全国社保基金理事会的核心价值理念.
据初步统计数据显示，2006年社保基金实现收益为195亿，实现收益率为%；按12月31日社保基金所持有股票的市价初步统计，在资本市场上浮盈为424亿，因此社保基金06年经营业绩达到619亿，其经营收益率为29%，再加上股权投资的收益，去年社保基金业绩总体表现不错.此外社保基金海外投资启动不久，目前收益率已经达到了%，到一季度末海外投资的总数预计将达到10亿美元左右.
个人账户中央财政补助资金开始交由全国社保基金委托投资运营.方案中提出运营过程中的风险由全国社保基金承担，且年平均基本收益率为%，高于同期储蓄，假定投资收益高出该比例，高出部分将作为中央财政补助资金的风险基金，达不到则由社保基金补足.
我选择了40只沪深交易所的大盘历史价格.鉴于社保基金安全增值为上的理念.限定投资范围为所列出的大盘股.现欲为社保基金设计合适的投资组合.
基于此，本文提出以下优化基金投资组合的问题：
⑴选择合适的投资组合，要求收益率不小于%.
⑵如果对单个股票持股上限为流通市值的20%，社保基金帐户上的100亿资金需要如何构筑投资组合.
通过大量处理数据，运用均值—方差模型，解决了本文所提出的实际问题，并将之推广到证券、股票、国债、基金等投资组合方面，都具有实用性.改进中建立的模型了考虑现实多方面的因素，更能体现现实价值和推广性.
1、模型的基本假设
●市场是无摩擦的，不考虑交易成本及对红利、股息和资本收益的征税
●市场上没有其它的投资渠道
●市场不存在无风险利率的情况
●手上资金必须全部用于投资股票
2、定义与符号说明
3、问题的分析
Markowitz 1952年给出的均值—方差基本模型奠定了现代金融的基础，在一个无摩擦的时常上，按一定的投资比例将资金投入到各种风险证券上，以较小的风险获得较高的收益.投资组合收益和风险分别以均值和方差来度量.为比较两个随机收益的优劣，Rothschild和Stiglize(1970年，1971年)给出了二阶随机占优的概念并证明了当两个组合投资的均值相等时，随机占优的组合投资具有较小的方差.由均值—方差模型得到的有效前沿理论、二资金分离理论及着名的资本资产定价理论得到广泛的应用.近40年来，许多学者在理论和应用上作了大量的工作，Markowitz的基本理论得到了推广和补充.
本问题称为投资组合(portfolio)问题，早在1952年Markowitz就给出了这个模型的基本框架，而且这个模型到后来又得到了不断的研究和改进.一般来说，人们投资股票时的收益是不确定的，因此是一个随机变量，所以除了考虑收益的期望外，还应当考虑收益风险.风险用什么衡量Markowitz建议，风险可以用收益的方差(或标准差)来进行衡量：方差越大，则认为风险越大；方差越小，则认为风险越小.在一定的假设下，用收益的方差(或标准差)来衡量风险确实是最适合的.
一种股票收益的均值衡量的是这种股票的平均收益状况，而收益的方差衡量的是这种股票收益的波动幅度，方差越大则波动越大(收益越不稳定).两种股票收益的协方差表示的则是它们之间的相关程度：
●协方差为0时两者不相关
●协方差为正数表示两者正相关，协方差越大则正相关性越强(越有可能一赚皆赚，一赔俱赔)
●协方差为负数表示两者负相关，绝对值越大则负相关越强(越有可能一个赚，另一个赔)
4、模型的建立和求解
⑴股票收益率的确定
股票是一种具有较大投机性的金融工具，也是投资者主要的操作对象，投资者在证券市场中买卖股票就是为了规避风险获得收益，而评估股票收益与风险的一个重要的指标就是股票投资的收益率，亦即投资收益与投资成本的百分比.由于影响股票投资收益率的因素很多，因此投资者必须根据实际情况来计算股票收益率，进而制定投资计划，作出决策.
这里的收益率用单期收益率来确定，即指某一期间的股票价值变动额加上加上当期股利除以买进价格的比率，数学公式为：
word/media/image5_1.png， (5.1)
⑵均值—方差模型的建立
Markowitz发表证券组合理论以来，投资管理者开始根据现代金融理论构造证券投资组合，以规避风险，获得收益.社会保障基金入市投资以后，时刻面临着巨大的外部市场风险，实践证明，通过分散投资即构建投资组合可以降低甚至消除非系统性风险.
本模型所要解决的问题是投资者如何在所有可能的投资组合中选择出一个满足“具有尽可能高的期望收益率且尽可能小的风险水平”投资目标的最优证券投资组合，即要求组合在有一定的预期收益率的前提下，使组合的方差越小越好.
综上所述，建立以下的二次规划：
word/media/image6_1.png， (5.2)
word/media/image7_1.png (5.3)
投资者可以利用本模型预先确定一个投资组合的期望收益，通过此确定投资者在每种股票上的投资比例，使其投资组合的风险最小.分析以上的二次规划可知，其解的每一个word/media/image8_1.png对应一个
word/media/image9_1.png，每一对
word/media/image10_1.png是标准差与预期收益率的图一个坐标点，这些点在均值—方差坐标系下组成的曲线为双曲线， (见，投资组合的最小标准差曲线)
图1 投资组合的最小标准差曲线
此双曲线方程为
其中
根据Markowitz的投资理论，理性的投资行为应具有“非满足性”和“风险回避性”两个特征，即投资者在承受相同风险的条件下总是选择高收益率的证券投资组合，或者在具有相同收益率的情况下选择较小风险的证券投资组合.投资者根据以上两个特征进行证券投资组合优化，构造自己满意的证券投资组合.根据证券投资组合的收益率、预期收益率和风险的表达式，证券投资组合的收益率、预期收益率和风险都是由证券投资比例向量word/media/image11_1.png所决定，因此投资者进行证券投资组合优化的关键是选择投资比例向量
word/media/image11_1.png.
⑴数据处理
我们选取了2004年8月至2007年7月这3年内的40种大盘股，并且通过大智慧查出它们在这3年内每个月的价格.
将选出的40种股票确定为社保基金投资的对象.由公式，根据已知的每种股票每个月的历史价格，利用EXCEL软件求得该种股票相应月份收益率的数据.(见，2004年8月～2007年7月股票收益数据表)
表1 2004年8月～2007年7月股票收益数据表
将上表每种股票在每个月的收益率用折线统计图表示出来就更加的直观和清晰，这样可以定性地了解每种股票在这三年中每个月收益率大致的波动情况，也可为投资者作出决策提供一种参考.(见，2004年8月～2007年7月股票每月收益率的折线统计图)
图2 2004年8月～2007年7月股票每月收益率的折线统计图
⑵求解结果
根据问题1的要求，投资组合的收益率不小于%，则根据均值—方差模型，利用公式和求解以下的二次规划.
word/media/image12_1.png (5.4)
word/media/image13_1.png (5.5)
这个二次规划即是在约束条件下极小化.利用软件编程(见附录程序1)求解以上的二次规划，得出投资组合风险word/media/image14_1.png= ，投资组合收益率
word/media/image15_1.png以及社保资金在这40种股票中的比例分配情况.(见，收益率在不小于%情况下投资股票比例的最优分配情况)
表2 收益率在不小于%情况下投资股票比例的最优分配情况
由可清楚地知道在这个二次规划下每种股票的最优投资情况，共投资了9种不同的股票.同条形图可直观地看出每种股票的投资比例.(见，收益率在不小于%情况下投资股票比例条形统计图)
图3 收益率在不小于%情况下投资股票比例条形统计图
⑶结果的灵敏度分析
软件求解结果如下：
Objective value:
Total solver iterations: 42
Variable Value Reduced Cost
TARGET
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(8)
X(9)
X(10)
X(11)
X(12)
X(13)
X(14)
X(15)
X(16)
X(17)
X(18)
X(19)
X(20)
X(21)
X(22)
X(23)
X(24)
X(25)
X(26)
X(27)
X(28)
X(29)
X(30)
X(31)
X(32)
X(33)
X(34)
X(35)
X(36)
X(37)
X(38)
X(39)
X(40)
从以上的结果显示是42次迭代后得到全局的最优解.“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率.其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量word/media/image16_1.png, 相应的 reduced cost值表示当某个变量
word/media/image16_1.png 增加一个单位时目标函数增加的量(
word/media/image17_1.png型问题).本结果中：变量
word/media/image18_1.png对应的reduced cost值为，表示当非基变量
word/media/image18_1.png的值从0变为时（此时假定其他非基变量保持不变，但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优的目标函数值
word/media/image19_1.png，说明投资风险在有所加大.
灵敏性分析结果表示当约束发生变化，最优基即使不变，最优解也会发生变化.此程序求得的结果是word/media/image20_1.png最小的情况.最优基保持不变的系数范围内，也可以进一步确定当约束条件收益率发生小的变化时，最优解如何变化.
⑷对结果的进一步调整研究
基于以上的灵敏度分析，在收益率不小于%的情况下进行，每1%的单位逐次调高投资组合的收益率，利用软件求得相对应的投资组合的方差.(见，不同投资组合收益率下所对应的方差和标准差统计表)
表3 不同投资组合收益率下所对应的方差和标准差统计表
根据上表每一对word/media/image21_1.png方差与预期收益率的坐标点，利用软件编程画出其散点图，在方差—均值坐标系下，在最大收益率为%之下建立起对应关系.(见，不同投资组合收益率下所对应的方差的散点图)
图4 不同投资组合收益率下所对应的方差的散点图
根据以上结果，投资者便可以知道风险随着不同的投资组合收益率是如何变化的，然后作出最后的投资决策.由于这里研究的是社保基金的投资组合，社保基金一定要以安全增值为上，不能跟其他基金比收益.基于这样的实际情况，应该选取word/media/image22_1.png这一点进行投资组合比较合适.
通过对问题2的分析可知, 在问题1中收益率不小于%的基础上，要求单个股票持股上限为流通市值的20%.在充分考虑流通市值的股票的投资比例影响后，则在问题1的均值—方差模型基础上进行修正，得出以下的一个二次规划.
word/media/image23_1.png (5.6)
word/media/image24_1.png (5.7)
首先，以2007年8月29日为例，利用大智慧软件，统计出那天每种股票流通市值的情况.(见，2007年8月29日各个股票的流动市值统计表)
表4 2007年8月29日各个股票的流动市值统计表 单位：亿元
根据式的约束条件可知，所投资的每种股票的比例资金不能超过其对应的流通市值的20%.基于这样的考虑，将现有的100亿社保基金按问题1所得的投资比例与其流通市值的20%进行比较，统计出是否有股票所投资的比例会超出其流通市值的上限.(见，各个股票投资比例资金与流通上限统计表)
表5 各个股票投资比例资金与流通上限统计表 单位：亿元
由上表可知，若按问题1的投资比例将这100亿的社保基金进行投资，有两支股票的投资资金超过了其流通上限，分别是张裕A和宁沪高速.由于这样的约束条件，我们就在这两种股票上不投资，并将原先投资在其上的资金提取出来后，得到剩下的资金为亿元.
再利用问题1所得的投资比例，将剩下的资金重新按照这个投资比例进行分配，得到如下结果.(见，剩余资金在各种股票的投资分配情况)
表6 剩余资金在各种股票的投资分配情况 单位：亿元
根据可知道剩余的资金在各种股票上的投资情况，显然各个投资的比例是不会超过其流通市值的上限.则由和所得出的资金情况，我们就得出了这100亿社保基金的总分配情况.(见，100亿社保基金在各种股票上的投资分配情况)
表7 100亿社保基金在各种股票上的投资分配情况 单位：亿元
由可知，这100亿社保资金的投资分配情况，而且所投资的每支股票都没有超过其流通市值的上限.结合所建的均值—方差模型，这样的投资组合下，已经保证其投资组合的风险达到最小值为word/media/image25_1.png，其收益率
word/media/image26_1.png.以下的条形统计图更能直观地反应分配情况.(见，100亿社保基金在各种股票上的投资分配情况统计条形图)
图5 100亿社保基金在各种股票上的投资分配情况统计条形图
●模型的优点
本文建立的Markowitz均值—方差组合模型具有开创意义，奠定了现代金融学，投资学乃至财务管理学的理论基础.
用LINGO求解模型后，对参数进行了灵敏度分析，增强了模型的可行性.
整个模型结构紧凑，简单明了，通俗易懂.
●模型的缺点
Markowitz的均值—方差组合模型理论较为复杂，有时不便于操作.
此模型中，假设市场是无摩擦的，这样的处理不太符合现实生活.将在模型改进中，考虑了有交易费用的投资组合模型.
●模型的改进
建立一个真正能够解决收益与风险之间矛盾的投资组合模型，主要存在两方面的原因：一方面是由于股票方面的统计数据不足，参数的确定因资料的缺少而难以考虑周到；另一方面模型的本身也存在着缺陷.下面分别对两方面进行改进.
⑴收益率的改进
在上文建立的模型中，对于每种股票每个月的收益率只是简单的确定为：word/media/image27_1.png
在现实生活中，有时会出现股票分割、股息发放、送红股及配股等情况.基于这样的情况出现，对收益率公式的确定也要进行适当地改进，先分别予以讨论.
1股票分割(又称拆股)
将单支股票分成若干股.若在计算收益率的期间内发生股票分割的情况，且假定股票分割的比例为word/media/image28_1.png，即每股拆细为
word/media/image28_1.png股，则收益率计算公式为
②送现金股息
若在计算收益率期间，发生发放现金股息的情况，且每股股息为word/media/image29_1.png元，则收益率公式为
③送红股
若在计算收益率期间，发生送红股情况，且假定送股比例为word/media/image28_1.png，即每股送
word/media/image28_1.png股红股，则收益率公式为
④发行新股(即配股)
若在计算收益率期间发生配股的情况，且配股比例为word/media/image28_1.png，配股价格为每股
word/media/image30_1.png元，则收益率的计算公式为
⑤若同时发生送股、配股、送现金股息的情况
配股价为word/media/image30_1.png，配股比例为
word/media/image31_1.png，送股比例为
word/media/image32_1.png，股息为
word/media/image33_1.png，则收益率计算公式为
word/media/image34_1.png.
⑵考虑带交易费用的“M-V”模型的改进
在本文建立的模型中，是考虑市场无摩擦的，而在现实生活中，必须考虑交易费用等因素，则频繁的组合调整必将引起巨大的成本.则我们在此基础上，提出了带交易费用的投资组合模型M-V-C，并且利用割平面方法思想来求解模型.
考虑带交易费用的投资组合模型M-V-C如下：
word/media/image35_1.png (7.1)
这是一个带二次约束的线性最优化问题，对这类问题没有特殊的算法，当然能用非线性优化方法来处理，但可能导致无效解，所以提出了割平面算法来解决(M-V-C)投资组合模型.
设word/media/image36_1.png，则
word/media/image37_1.png是
word/media/image38_1.png上的凹函数.
令word/media/image39_1.png及
word/media/image40_1.png
Step1.解线性优化问题：
word/media/image41_1.png (7.2)
设word/media/image42_1.png是其最优解，若
word/media/image42_1.png在集合
word/media/image43_1.png中，终止，已得投资组合模型(MVC)的最优解，否则；令
word/media/image44_1.png转Step2.
Step2.解线性优化问题：
word/media/image45_1.png (7.3)
Step3.设word/media/image46_1.png是其最优解.若
word/media/image46_1.png
word/media/image47_1.png，终止，否则，令
word/media/image48_1.png转Step2.
记word/media/image49_1.png为Step2.中第
word/media/image50_1.png次迭代的可行集，这些集合是下降的，即：
定理：设word/media/image51_1.png是紧凸集
word/media/image52_1.png的闭凹函数，且对每一个
word/media/image53_1.png，次梯度
word/media/image54_1.png非空，即存在
word/media/image55_1.png使得
进一步，(MVC)的可行集word/media/image56_1.png非空且包含于
word/media/image57_1.png.设：
这里word/media/image58_1.png若
word/media/image59_1.png满足
word/media/image60_1.png则序列
word/media/image61_1.png包含一个收敛于(MVC)的最优解的子序列.
下面我们对上述定理进行证明.
由word/media/image62_1.png，我们知道函数
word/media/image63_1.png单调递减，因此，如果序列
word/media/image64_1.png包含一个收敛点
word/media/image65_1.png的子序列，则函数
word/media/image63_1.png收敛于
word/media/image66_1.png，其中
word/media/image67_1.png是
word/media/image68_1.png的解.
现假设word/media/image69_1.png不存在收敛于
word/media/image56_1.png中的点的子序列，则存在
word/media/image70_1.png，使得
word/media/image71_1.png这里
word/media/image72_1.png，如果
word/media/image73_1.png是
word/media/image74_1.png在
word/media/image75_1.png上的的最优解，则：
word/media/image76_1.png且
word/media/image77_1.png
由最后的两个关系式及Schwarz不等式，我们有
word/media/image78_1.png成立，因此对每一个以
word/media/image79_1.png为指标的子序列，都有：
即word/media/image80_1.png没有柯西子序列，这与
word/media/image80_1.png
word/media/image81_1.png有界矛盾，定理得证.
●模型的推广
运用本文所建的Markowitz均值—方差(M-V)模型，可以将其推广到证券、股票、国债、基金等投资组合方面，都具有实用性.改进中建立的模型了考虑现实多方面的因素，更能体现现实价值和推广性.
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[5] 陈国华 廖小莲，投资组合模型的割平面解法的数值算例，湖南人文科技学院学报，2006,(6)：5-7
程序1
运行环境：
MODEL:
Title 简单的投资组合模型;
SETS:
YEAR/1..36/;
STOCKS/ 1..40/: Mean,X;
link(YEAR, STOCKS): R;
STST(Stocks,stocks): COV;
ENDSETS
DATA:
TARGET = ;
! R是原始数据;
R =@ole('','股票');
ENDDATA
CALC: !计算均值向量Mean与协方差矩阵COV;
@for(stocks(i): Mean(i) =
@sum(year(j): R(j,i)) / @size(year) );
@for(stst(i,j): COV(i,j) = @sum(year(k):
(R(k,i)-mean(i))*(R(k,j)-mean(j))) / (@size(year)-1) );
ENDCALC
[OBJ] MIN = @sum(STST(i,j): COV(i,j)*x(i)*x(j));
[ONE] @SUM(STOCKS: X) = 1;
[TWO] @SUM(stocks: mean*x) >= TARGET;
END
致谢
本文是在我的导师盛宝怀精心指导下完成的. 在几个月的时间里，盛老师给了我很多指导和帮助，从开始的论文选题，到资料收集、思路清理、框架确定、论点形成、以及最后的定稿都悉心指导，严格要求. 在这期间我学到了很多知识，所谓受益非浅. 只是我悟性不高，深怕论文没有达到导师的要求，但也是这一阶段学习研究的成果. 师恩重于山，用言语难以表达，只希望在以后的学习工作中报效导师的教诲之恩.
在此同时，感谢数理信息学院的领导们为我们大学生活、学习创造的良好环境. 感谢所有的老师给我思维上的启迪，以及众校友在生活学习上给予的帮助.
最后，向本文所引的文献的全部作者表示衷心的感谢.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/308cad93b968a98271fe910ef12d2af90342a85b.html
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