随机事件的概率教案（绝对经典）

§12.1　随机事件的概率

会这样考　1.考查随机事件的概率，以选择或填空题形式出现；2.考查互斥事件、对立事件的概率；3.和统计知识相结合，考查概率与统计的综合应用．

1．随机事件和确定事件

(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件．

(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件．

(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．

(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件．

(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．

2．频率与概率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．

3．事件的关系与运算

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)＝1.

(3)不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．

②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．

③事件A的对立事件一般记为, 则P(A)＝1－P()

[难点正本　疑点清源]

1．频率和概率

(1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次 数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．

(2)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法．

2．互斥事件与对立事件

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．

1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．

答案　0解析　①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．

2．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，P(A)与的关系是(　　)

A．P(A)≈ B．P(A)< C．P(A)> D．P(A)＝

答案　A解析　在n次重复进行的试验中，试验次数很大时，频率可近似当作随机事件的概率．

3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)

A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球

答案　D

4．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________.

答案　0.5.

题型一　事件的关系及运算

例1　判断下列给出的每对事件，是互斥事件还是对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

解　(1)是互斥事件，不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．

(3)既不是互斥事件，也不是对立事件

某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.

解　(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．

题型二　随机事件的频率与概率

例2　某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.

（Ⅰ）设每销售一件该商品获利1000元，某天销售该商品获利情况如下表，完成下表，并求试销期间日平均获利数；

（Ⅱ）求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率.

答案及解析：（I）日获利分别为0元，1000元，2000元，3000元的频率分别为

；试销期间日平均获利数为1850元 . 6分

（Ⅱ）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）

（“当天商品销售量为3件”） 12分

　某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中√表示购买，×表示未购买。

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的哪种商品的可能性最大？

答案：（1）顾客同时购买乙和丙的概率P1==0.2

（2）顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率P2==0.3

（3）同时购买甲和乙的概率：=0.2

同时购买甲和丙的概率：=0.6

同时购买甲和丁的概率：=0.1 所以购买丙的可能性最大。

题型三　互斥事件、对立事件的概率

例3　在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是.

(1)求任取一张，中一等奖的概率；(2)若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张,中三等奖的概率.

【答案】

　①某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得。1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝.

故事件A，B，C的概率分别为，，.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.

∵A、B、C两两互斥，

∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝. 故1张奖券的中奖概率为.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

探究提高　(1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．

(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()计算．

②某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：

(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；

(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．

解　(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0．1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.

(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0．96＋z＝1，∴z＝0.04.

由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44， ∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.

例4：如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

考点分析　本题考查了随机事件的频率、概率的含义及计算，考查了实际应用能力．

解题策略　(1)读懂所给表格，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；(2)根据频率的计算公式计算；(3)计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．

规范解答

解　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，

∴用频率估计相应的概率为0.44.[3分]

(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人， 故由调查结果得频率为

(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，[10分]

∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.

同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.[12分]

方法与技巧

1．必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．

2．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1.

3．随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．

4．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件的概率，然后利用P(A)＝1－P()可得解．

失误与防范

1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

2．需准确理解题意，特别留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．

A组　专项基础训练

一、选择题

1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则 (　　)

A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件

C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件

答案　D解析　根据互斥与对立的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为基本事件的集合)，故事件B，C是对立事件．

2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则

①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球；

③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球．

在上述事件中，是对立事件的为 (　　)

A．① B．② C．③ D．④

答案　B解析　因为至少有1个白球和全是黑球不可能同时发生，且必有一个发生，属于对立事件．

3．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）

A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．只有一次中靶

答案：.C

4．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为 (　　)

A．0.3 B．0.5 C．0. 8 D．0.7

答案　D解析　由互斥事件概率加法公式知：重量在(40，＋∞)的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.

5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为(　　)

A.， B.， C.， D.，

答案　C

解析　“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－－＝.

设“甲不输”为事件A，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝.(或设“甲不输”为事件A，可看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝)

二、填空题

1．绿城购物中心准备举行“回报客户”的超低价购物有礼活动，现对活动期间购物中心付款处排队等候付款的人数及其概率预测如下：

则至少有50人排队的概率为________．

答案　0.14解析　由题意可知至少有50人排队的概率x＝1－0.1－0.16－0.3－0.3＝0.14.

2．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为__________，________.

答案　0.97　0.03解析　断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.

于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.

三、解答题

1．高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.

(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；

(2)求射击一次，至少命中8环的概率；

(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．

【答案】（1）P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31；（2）0.41；（3）0.59.

2．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？

解　从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥，所以有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.

故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，.

B组　专项能力提升

1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么 (　　)

A．甲是乙的充分但不必要条件

B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

答案　B

2．非空集合A、B满足A⊆B，在此条件下给出以下四个命题：

①任取x∈A，则x∈B是必然事件；

②若xA，则x∈B是不可能事件；

③任取x∈B，则x∈A是随机事件；

④若xB，则xA是必然事件．

上述命题中正确命题的序号是________．

答案　①③④解析　由A⊆B可知存在x0∈B而x0A，所以，“若xA，则x∈B是不可能事件”是假命题；命题①③④都是真命题．

3．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是 (　　)

A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件

B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件

C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件

D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件

答案　D

解析　由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事

件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任

何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事

件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.

4．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．

答案　32　0.437 5

解析　由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.

5. 小明打算从A种和B种两种花样滑冰动作中选择一种参加比赛．已知小明选择A种动作的概率是选择B种动作的概率的3倍，若小明选择A种动作并正常发挥可获得10分，没有正常发挥只能获得6分；若小明选择B种动作则一定能正确发挥并获得8分．据平时训练成绩统计，小明能正常发挥A种动作的概率是0.8.

(1)求小明选择A种动作的概率；

(2)求小明比赛时获得的分数不低于8分的概率．

解　(1)设小明选择A种动作的概率为P(A)，选择B种动作的概率为P(B)，由题意知P(A)＝3P(B)，P(A)＋P(B)＝1，解得P(A)＝0.75.

(2)依题意知：小明比赛时可能的得分为6分、8分、10分．

小明得8分的概率为P1＝0.25，得10分的概率为P2＝0.75×0.8＝0.6.

因此小明比赛时获得的分数不低于8分的概率P＝P1＋P2＝0.25＋0.6＝0.85.

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