2019 届神州智达高三诊断性大联考 （二）（质检卷Ⅱ）数学（文）

试题

一、单选题

1．已知集合 A y|y 2x 1 ,B x|x2 2x 3 0 ,则 AI B （ ）

A ． 0,1 B． 0,2 C． 1,2 D ． （ 3,1）

【答案】 A

【解析】 分别求出集合 A、B ，然后求交集即可 .

【详解】 解：由已知得 A 0, ,B 3,1

A B 0,1 ,

故选： A 【点睛】 考查集合的运算，是基础题 .

2

2．已知 i为虚数单位，且复数 z满足 z 3 2i 2 3i 2,则复数 z在复平面内对应的 点位于（ ）

A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】 A

【解析】 求出复数，然后根据复数的几何意义判断即可 .

【详解】

解： z 3 2i 13,

13

故 z 13 3 2i,复数 z 在复平面内的对应点位于第一象限

3 2i

故选： A 【点睛】 考查复数的运算及其几何意义，是基础题 . 3．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力 （指标值满分为 5 分，分值高者为优 ），

绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点 A 表示甲的创造力指标值为 4，点 B 表示 乙的空间能力指标值为 3，则下面叙述正确的是

A ．乙的记忆能力优于甲的记忆能力 B．乙的创造力优于观察能力 C．甲的六大能力整体水平优于乙 D．甲的六大能力中记忆能力最差 【答案】 C

【解析】 从六维能力雷达图中我们可以得到甲的各种能力的大小、 乙的各种能力的大小 以及甲、乙的各项能力的大小关系等，从而可判断 A，B，D. 而整体水平的优劣取决于

六种能力的数字之和的大小，计算可得孰优孰劣 .

【详解】

从六维能力雷达图上可以得到甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故 A 错.

乙的创造力为 3，观察能力为 4，乙的观察能力优于创造力，故 B 错 . 甲的六大能力总和为 25，乙的六大能力总和为 24 ， 故甲的六大能力整体水平优于乙，故 C 正确 .

甲的六大能力中，推理能力为 3，为最差能力，故 D 错. 综上，选 C.

【点睛】

本题为图形信息题， 要求不仅能从图形中看出两类数据之间的差异， 还要能根据要求处 理所给数据 .

答案】 C

uuur uuur

BD DC ,即可求解 .

uuur uuur

Q BD DC, ∴D为边 BC的中点 .

uuur uuur uuur

AC AB 2AD

故选： C

【点睛】 考查向量的线性运算和中点向量公式，是基础题 .

5．已知 Sn是等差数列 an 的前 n项和， a3 a7 12,S3 S9,则 S6 （ ） A． 6 B． 9 C． 72 D．84

【答案】 C

【解析】 根据 an 是等差数列，由 a3 a7 12,S3 S9,列出关于 a1和 d的方程组，然 后求解即可 .

【详解】

解：由 a3 a7 2a5 12,

得 a5 a1 4d 6,

又由 S3 S9 ，

3 a1 a3 9 a1 a9

22

a1 a3 3 a1 a9 6a5 36

a1 a3 2a1 2d 36

a1 d 18

a1 22 ， d 4

65

S6 22 6 4 72

2

故选： C

【点睛】 考查等差数列的有关运算，是基础题 .

6．将一颗质地均匀的骰子 （它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具 ）先 后抛掷 2次，记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n,则 m n 6的概率为

答案】 D

解析】 根据题意，列表表示两次出现的点数情况，然后找出满足 再利用对立事件概率的性质求概率即可

详解】

解：根据题意，列表表示两次出现的点数情况

共 36种情况，其中 m n 6的有 15种情况，

15 5 7

则 m n 6 的概率为 1 1

36 12 12

故选： D

【点睛】

考查古典概型的概率运算，是基础题 .

是双曲线 C右支上一点， 若 OM OF2 , MOF2 ,则双曲线 C 的离心率为 （ ）

3

A ． 3 1 B． 6 3 C． 3 D ． 3 1

【答案】 A

【解析】 根据 OM OF2 和双曲线的性质确定 △MF1F2 为直角三角形且

MF1F2 ，然后根据离心率的定义代入计算即可

1 2 6

【详解】 解：若 OM OF2 , 则 OM OF1 F1F2 c

2

F1MF2

2

又 MOF2 .

23

MF1F2

6

2c F1F2 2c

e 3 1

2a MF1 MF2 3c c

故选： A 【点睛】 考查双曲线的性质及有关运算，是基础题 .

2

故当 x 0 时， f x x2 2x,

2

x 0时， f x x2 2x,

f ' x 2x 2 0 ，

f ' 1 4,

f x 在 1, f 1 处的切线斜率为 4 ， 故选： D

点睛】 考查奇函数的性质及曲线在某一点处的切线斜率的求法，是基础题 .

9．立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面 .已知正方体

ABCD A1B1C1D1 的内切球 O的直径为 2,过球 O 的一条直径作该正方体的截面， 所得 的截面面积的最大值为（ ）

A．2 B． 4 C．3 3 D．4 2

【答案】 D

【解析】 先判断出正方体的内切球直经就是其棱长，显然截面面积最大是对角面 . 【详解】

解：当截面为正方体的对角面时，截面面积最大，

由已知得正方体棱长为 2,截面面积的最大值为 2 2 2 4 2

故选： D

【点睛】 考查正方体的截面问题的有关计算，是基础题 .

知函数 f x 最小正周期为

2

由 x 3 时， f x 取得最小值，

3

故选： A

【点睛】

考查 f x cos x 型函数的有关性质，是基础题

11．如图，在三棱锥 A BCD中，DA , DB , DC 两两垂直，且DB DC 2,点E为 BC

中点，若直线 AE与底面 BCD 所成的角为

45 ,则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为

)

A．4

C．10

【答案】 C

【解析】 根据 DA , DB, DC 两两垂直确定

B．8

D． 12

AED 45 , 再将三棱锥补成正方体，正方

体的对角线就是三棱锥的外接球的直径，最后求外接球的表面积即可

【详解】

解：QDB DC 2,点 E为 BC的中点

DE BC,DE 2,

Q DA,DB,DC 两两垂直，

AD 平面 DBC,

AED 为直线 AE 与底面 BCD 所成的角， 由题意可知， AED 45 ,

AD DE 2,将三棱锥补成棱长分别为 2,2, 2 的长方体， 设三棱锥外接球的半径为 R,

2

则 4R2 22 22 2 10 ，

三棱锥外接球的表面积为 10 故选： C

【点睛】

本题考查三条侧棱两两互相垂直的三棱锥的外接球的表面积的求法，

是( )

1

A． (0, ]

eln 2

【答案】 B

B．

11

[2,eln2]

C．

3

(0, el3n 2]

13

D．[2,eln2]

解析】 作出函数 f

log2x (x

x2 2x 2

0) 的图象如图，

x0

D 有零点，即

x kx 有

根，

y kx 与 y f

x 在 2,4 上有交点，则

k 的最小值为 1

2

，设过原点的直线与

log2 x 的切点为

x0,log 2 x0 ，由 y 1

xln2得

x0 ln 2

，则切线方程为

log2 x0 x0ln2

x x0 ，把 0,0 代入，可得

log2 x0

1

ln12 ，即 x0 e，∴

切线斜率为 1 ，即 k 的取值范围是 1, 1 ，故选 B． eln2 2 eln2

点睛：本题考查函利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，数零点的判定，考查数学 转化思想方法与数形结合的解题思想方法，较难； 作出函数的图象，可知 D ，把题意 转化为 y kx 与 y f x 在 2，4 上有交点，然后利用导数求出切线斜率，即可求得 k 的取值范围．

二、填空题

g x ,x 0

13．已知函数 f x 是 R 上的偶函数，则 g 3 ．

2x 1,x 0

【答案】 5

【解析】 先求 f 3 ，再根据 f x 是偶函数，得 g 3 f 3 f 3 即可 .

【详解】

g x ,x 0

解： Q 函数 f x 是 R 上的偶函数 .

2x 1,x 0

g 3 f 3 f 3 6 1 5

点睛】

本题考查偶函数的有关性质，是基础题

最小值是

答案】 4

【详解】

由约束条件作出可行域如右图阴影部分所示，

uuur uuuur

z OA BM 2x y 6,

y 2x 6 z ，

当直线 y 2x 6 z经过点 1,0 时， z 的最小值为 4.

【点睛】 考查线性规划的有关知识，是基础题 . 15．已知数列 an 中， an 1 3an 2n x, 数列 bn 为公比不为 1的等比数列，且

3

bn an n ,则 x ．

2

【答案】 4

【解析】 先表示出 bn 1 ，然后根据 bn 是等比数列即可求解 .

【详解】

解：由己知得，

3 3 1 x 1 bn 1 an 1 n 1 3an 2n x n 1 3an 3n x 3 an n

n 1 n 1 2 n 2 n 2 n 3 6

3

因为数列 bn 为等比数列， bn an n 2 ，

x 1 3

所以 x 1 3,x 4.

362

故答案为： 4.

【点睛】 已知等比数列求其中参数，考查等比数列的性质，是基础题 .

12

16．已知点 F 是抛物线 y x2 的焦点，点 A 为抛物线上异于原点的任意一点，直线

4

AF 交抛物线于点 B,分别过点 A, B作抛物线的切线，两条切线交于点 P,以 AB 为直

径作 e M ,M 为圆心，则线段 PM 长度的最小值为 ．

【答案】 2

【解析】 表示出直线 AB:y= kx+ 1,把它和抛物线联立，得到两根之积，判断出直线 AP和BP互相垂直，从而得出 P点在以为 AB直径的圆上， MP为RtVMAB 的中位

1

线， PM AB , 再根据基本不等式可求 .

2

【详解】 解：由题意得 F 0,1 ,

22

设直线 AB:y= kx+1, A x1,x1 ,B x2,x2

44

y kx 1,

12

由 1 2 得 x2 kx 1 0,

y x 4

4

1

故 x1 x2 4, 又 y' x,

2

1

因此过 A 的抛物线的切线的斜率为 kAP 1 x1

1

同理过 B 的拋物线的切线斜率为 kBP 1 x2 ,

2

因此 kAP kBP 1

则 PA PB, 点 P 在以 AB 为直径的 e M 上，

1 1 2 2 1

且 PM AB , 又 AB y1 y2 2 (x12 x22 ) 2 x1x2 2 4,

2 4 2

故线段 PM 长度的最小值为 2.

故答案为： 2.

点睛】

本题考查抛物线的性质、 曲线上过某一点的切线的斜率的求法及基本不等式的应用， 中档题 .

三、解答题

详解】

A3

2 由 SABC

1 bcsinA

2

又由余弦定理，

得 a2

22

c 2bccosA

b2 c2 8 ， b c

16,

b c为 4,

VABC 的周长为 6.

点睛】

三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中

的综合应用，属于中档题 18 ．炼钢是一个氧化降碳的过程， 由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，

此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系 .现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量

冶炼时间 y （从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：

（ 1）据统计表明， y 与 x 之间具有线性相关关系，请用相关系数 r 加以说明

（若 r 0.75，则认为 y与x有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关 关系， r 精确到 0.001）；

（ 2）建立 y 关于 x 的回归方程（回归系数的结果精确到 0.01）；

（ 3）根据（ 2）中的结论，预测钢水含碳量为 160 个 0.01% 的冶炼时间 .

参考公式：回归方程 y=bx a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为

n

xiyi nx y i1 n

2

xi

i1

参考数据：

x 159.8, y

10

172,

i1

2

xi

10

2

265 448, yi2

i1

312

350,

10

xi yi 287 640 ，

i1

10

yi2 10y2 12 905.

i1

答案】（1）可以认为 y与 x有较强的线性相关关系 （; 2）

y?

1.27x 30.95 (; 3)172min

解析】 （1）代入公式计算 r，再作判断， （2） 根据数据计算

b?

，利用 a? y b?x 计算 a? ，

（3） 即计算 x 160时对应函数值

详解】

287640 10 159.8 172 0.991

12905

Q r 0.75

可以认为 y 与 x 有较强的线性相关关系

2)Q b?

10

i 1xi yi 10xy

10 2 2 i 1xi 10x

1.27

a? y b?x 30.95

所以回归方程为 y? 1.27x 30.95

3)当 x 160 时， y? 1.27 160 30.95 172 min

即大约需要冶炼 172min

【点睛】

函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系

.事实上，函数关系是两个

.如果线性相关，则直

DAB 60 , PAB 为

正三角形 .

2）若 PD 6 AB ，四棱锥的体积为 16，求 PC 的长.

2

答案】（ 1）见解析（ 2） 2 10

判定定理可得 AB 平面 POD ，由线面垂直的性质可得结论； （2）根据勾股定理，

PO OD，结合 PO AB,可得， PO 平面 ABCD ，设 AB 2x ，利用棱锥的体 积公式列方程解得 x 2 ，由勾股定理可得 PC 的长.

详解：（1）证明：取 AB 中点为 O,连接 PO,DO,BD

∵ 底面 ABCD 为菱形， DAB 60

∴ ABD 为正三角形， DA DB

∴ DO AB

又 ∵ PAB 为正三角形，

∴ PO AB

又∵ DO PO O,PO 平面 POD ,DO 平面 POD ，

在正三角形 PAB 中， PO 3x，同理 DO 3x ， ∴ PO2 OD2 PD 2，

∴ PO OD ，

又∵PO AB,DO AB O，DO 平面 ABCD ， AB 平面 ABCD，

∴ PO 平面 ABCD ,

∴ VP ABCD 1 2 3x 3x 16 ，

3

∴ x 2 ，

∵ AB //CD,AB PD

∴ CD PD

法二：设 AB 2x，则 PD 6x ，

在正三角形 PAB 中， PO 3x，同理 DO 3x ，

∴ PO2 OD2 PD 2，

∴ PO OD ，

又∵PO AB,DO AB O，DO 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，

∴ PO 平面 ABCD ,

∴ VP ABCD 2 3x 3x 16 ，

P ABCD 3 ∴ x 2 ，

连接 OC ,

22

∴在RT POC中， PC PO2 OC2 2 3 2 7 2 10.

点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面 面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理； 证明直线和平面垂直的常用方法有： （ 1）利用判定定理； （ 2）利用判定定理的推论

（a||b,a b ） ；（ 3）利用面面平行的性质 a , || a ；（4）利用

面面垂直的性质， 当两个平面垂直时， 在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面.

1）求椭圆 C 的方程；

2）记 VQF1O与 VPF1R的面积之和为 S,求 S的最大值 .

分两种情况： PQ 的斜率不存在和斜率存在；

明 SVPF1R SVPF1O ，从而表示出 SVPQO ， 然后再利用换元法求最大值

详解】

a2 4b2 1

解： 1 依题意，得 a2 b2 c2 ，

1,

解得 a 2,b 3,c 1,

22

故椭圆 C 的方程为 x y 1

43

2 当直线 PQ 的斜率不存在时，其方程为 x 1,

此时 SVPQO 2 1 2 2 2

当直线 PQ 的斜率存在时，

设其方程为 y k x 1 ，设 P x1,y1 ,Q x2,y2 ，

显然直线 PQ 不与 x轴重合，即 k 0,

y k x 1

2 2 2 2 联立 x2 y2 ，解得 3 4k2 x2 8k2x 4k2

1

43

144 k2 1 0

12 0,

x1

x2

8k2

3 4k2

x1x2

2

4k2 12

3 4k2

uuur uuuur 因为 PR RF2,

故 O,R分别为 F2F2,PF2的中点，

故 OR //PF1,

故 VPF1R 与 VPF1O 同底等高，

故 SVPF1R SVPF1O ，

PQ 1 k

x1 x2

1

S PQ d

2

2

令 u 3 4k 2

点 O 到直线 PQ 的距离 d

1 k2

22

k 2 k 2 1

22

4k2

(3,

），

x2

2

4x1x2

2

12 1 k2

3 4k2

u 3 u 1

44

2

u

33

21

u

0,32

故 S 的最大值为

点睛】

韦达定理的应用、直线和椭圆的位置关系及弦长公式的求解、求函数 .能力：考查了逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题、解决问题

2

x 1 4 a 1 lnx, 其中实数 a 3.

1）当 a 0时，求函数 f x 的最小值 .

2）已知当 x 1,2 时，

x 2a x 1 恒成立，求 a 的取值范围

答案】（1）1 4ln2.（2） （ ,2]

解析】（ 1）把 a 0代入原函数，根据函数的单调性易求 f x 的最小值 .

2

( 2)构造新函数 g x x 1 4 a 1 lnx 2a x 1 ，求 g x 的最大值即可

【详解】

解： 1 函数 f x 定义域为 (0, )

2

4 a 1 2 x2 x 2a 1

f x 2 x 1 xx

当 a 0 时， f ' x

令f' x 0,解得x 2；

令 f ' x 0,解得 0 x 2，

所以 f x 在 x 2 处取得唯一的极小值，即最小值

x

又因为 a 3,

所以 a 1 2,

所以当 a 2时，则 x 1,2 时 g' x 0,

所以函数 g x 单调递减，

所以有 g x g 1 0 恒成立；

当 2 a 3时，则 x 1,a 1 时 g' x 0,

所以函数 g x 单调递增，

所以 g a 1 g 1 0, 不符合题意 综上， a 的取值范围是 ( ,2].

【点睛】

知识：利用导数求函数的单调区间、最值，不等式恒成立求参数的取值范围 .能力：推

理论证能力、分析问题、解决问题的能力、运算求解能力 .试题难度大 .

13

22．已知平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的倾斜角为 ，且过点 P , , 以坐标

4 4 2

原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为

2 cos( ) 0 .

3

1)求曲线 C 的普通方程并说明其轨迹；

2)若直线 l与曲线 C相交于 A,B 两点，求 AB

2 1 答案】（1）曲线 C 的普通方程为 x 1

2

2）设出 AB 的参数方程，利用参数的几何意义求解即可

详解】

因此 AB t1 t2 3 2 4 7 18 28 46

1 2 4 16 16 4 故所求的 AB 的值为 46 .

4

【点睛】

知识：极坐标方程转化为普通方程和参数方程中参数的几何意义求距离 .能力：逻辑思

维能力和运算求解能力 .中档题 .

23 ．已知函数 f x 2x a x 2

（1）当 a 1时，求不等式 f x 0 的解集 A.

（ 2）若函数 f x 的值域包含集合 A, 求实数 a 的取值范围 .

1 10 【答案】（ 1） A x| x 3 （2） a

33

【解析】（ 1）根据绝对值不等式解法，分两种情况讨论即可 .

（ 2）把 f x 2x a x 2 分段表示，然后根据两个集合的关系求解即可 .

详解】

3

所以 A x| 1 x 3

3

a

x a 2, x

2

2fx

3x a 2, x a

2

aa

所以当 x 时， f x 取得最小值 2 22

所以 f x 的值域为 a 2,

2

【点睛】

知识：考查绝对值不等式的解法和已知两个集合的关系求其中参数 .能力：考查运算求

解能力和逻辑思维能力 .中档题 .

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3347ee180aa1284ac850ad02de80d4d8d05a013e.html