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反证法的优越性

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反证法的优越性

湖南省华容县怀乡中学周光华

反证法就是从否定命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，引出一个新结论，使这个新结论与题设矛盾，或与已知的定义、公理或定理相矛盾，或者自相矛盾，由此得出原命题结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的．
反证法是一种重要的数学证题方法．有些命题用直接证明方法不容易得证或者根本不能得证，而反证法可能解决这些问题．请看下面例子：
例1假设有十本书，任意放在三个抽屉里，那么总有一个抽屉里至少放了四本书．
直接证法我们考虑每个抽屉里放书本数的各种可能情况，为了防止遗漏列表如下：
这样就要列一个有六十六种可能情况的表．由表知，不管出现哪种情况都有一个抽屉里的书数不少于四本．这个问题由此得证．
我们看到这种直接证法是多么的繁琐．如果将一千本书分放到九十个抽屉或者更多，直接证法岂不更加麻烦！
反证法假设每只抽屉里至多放了三本书，那么三只抽屉里总共至多放了九本书，现已知有十本书，矛盾．因此总有一只抽屉里至少放了四本书．
例2试证：两直线平行，同位角相等．已知：如图，直线AB∥CD，

求证：∠1＝∠2．
反证法假设∠1≠∠2，则过点O作∠EOQ=∠2，由平行线判定定理知PQ∥CD．这样过点O有两条直线AB和PQ都平行于CD．这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行这一公理矛盾．因此∠1=∠2．
例3证明：如果m，n是奇数，那么方程
x2＋mx＋n=0
没有等根．
反证法假设方程x2+mx+n=0有等根，则Δ＝m2-4n=0．由于m是奇数，

则m2也是奇数，而4n是偶数，于是m2-4n为奇数，这与m2-4n=0是偶数相矛盾．因此方程x2＋mx＋n＝0没有等根．
一般地，当命题的结论以否定形式出现时，或直接证明有困难或不可能时，或当命题的结论中涉及“至少„„”时，可考虑用反证法．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3927c079f242336c1eb95e1c.html