初中九年级数学期中考试试卷
一、选择题(每小题4分,共32分.下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.)
1.抛物线y=(x-1)2+2的顶点是( )
A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB等于( )
A. B. C. D.
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,且AE=3cm,EC=5cm,DE=6cm,则BC等于( )
A.10cm B.16cm C.12cm D.
4.将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4?答:( )
A.先向左平移3个单位,再向上平移4个单位
B.先向左平移3个单位,再向下平移4个单位
C.先向右平移3个单位,再向上平移4个单位
D.先向右平移3个单位,再向下平移4个单位
5.如右图,⊙O的半径OA等于5,半径OC⊥AB于点D,若OD=3,则弦AB的长为( )
A.10 B.8 C.6 D.4
6.下列说法正确的个数有( )
①平分弦的直径垂直于弦; ②三点确定一个圆;
③等腰三角形的外心一定在它的内部; ④同圆中等弦对等弧
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠4=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中与△ABC相似的三角形(不包括△ABC)的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.已知b<0时,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析,a的值等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
二、填空题(每小题4分,本题共16分)
9.已知关于x的一元二次方程(k-1)2x2+(2k+1)+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为__________.
10.如右图,⊙O的直径为26cm,弦AB长为24cm,且OP⊥AB于P点,则tan∠ADP的值为__________.
11.己知菱形ABCD的边长是6,点E在直线AD上,DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则的值是__________.
12.已知:抛物线y=ax2+bx+c与y交于C点,顶点为M,直线CM的解析式为y=-x+3并且线段CM的长为,则抛物线的解析式为____________________.
三、解答题(每小题6分,本题共18分)
13.计算:4cos45°-(-3)2·-(π-3)0-·tan30°.
14.解方程:3x2--2=0.
15.如图,在4×4的正方形网格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:∠ABC=__________°,BC=__________;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
四、解答题(每小题5分,本题共10分)
16.已知:如图,直线AC与圆O交于点B、C,直线AD过圆心O,若圆O的半径是5,且∠DAC=30°,AD=13,求弦BC的长。
17.如图,在大圆中有一个小圆O,现有直尺和圆规.
(1)简要说明确定大圆的圆心O′的步骤;
(2)作直线l,使其将两圆的面积均二等分。
五、解答题(本题满分6分)
18.如图,矩形ABCD,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知折痕AD=10cm,且tan∠EFC=,
(1)求证:△AFB∽△FEC;
(2)求折痕AE的长.
六、解答题(本题满分8分)
19.已知二次函数.
(1)用配方法将函数解析式化为y=a(x-h)2+k的形式;
(2)当x为何值时,函数值y=0;
(3)列表描点,在所给坐标系中画出该函数的图象;
(4)观察图象,指出使函数值y>时自变量x的取值范围.
七、解答题(第20、21、23每题8分,第22题6分,共30分)
20.如图,四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=3,动点M从D点出发,以1个单位/秒的速度沿DA向终点A运动,同时动点N从A点出发,以2个单位/秒的速度沿AB向终点B运动.当其中一点到达终点时,运动结束.过点N作NP⊥AB,交AC于点P1连结MP.已知动点运动了x秒.
(1)请直接写出PN的长;(用含x的代数式表示)
(2)试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在这个运动过程中,△MPA能否为一个等腰三角形.若能,求出所有x的对应值;若不能,请说明理由.
21.已知:在△ABC中,∠ABC=-90°,点B在直线AB上,ED与直线AC垂直,垂足为D,且点M为EC中点,连接BM,DM.
(1)如图1,若点E在线段AB上,探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系,并直接写出你得到的结论;
(2)如图2,若点E在BA延长线上,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明:
(3)若点E在AB延长线上,请你根据条件画出相应的图形,并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系.
22.小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象,先取自变量x的7个值满足:x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d,再分别算出对应的y值,列出表1:
表1:
x | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
y | 1 | 3 | 7 | 13 | 21 | 31 | 43 |
记m1=y2-y1,m2=y3-y2,m3=y4-y3,m4=y5-y4,…;s1=m2-m1,s2=m3-m2,s3=m4-m3,…
(1)判断s1、s2、s3之间关系;
(2)若将函数“y=x2-x+1”改为“y=ax2+bx+c(a≠0)”,列出表2:
表2:
x | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
y | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | y7 |
其他条件不变,判断s1、s2、s3之间关系,并说明理由;
(3)小明为了通过描点法作出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,列出表3:
表3:
x | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
y | 10 | 50 | 110 | 190 | 290 | 420 | 550 |
由于小明的粗心,表3中有一个y值算错了,请指出算错的y值(直接写答案)
23.如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点c.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理
八、附加题:
1.已知直线y=b(b为实数)与函数y=|x|2-4|x|+3的图像至少有三个公共点,则实数b的取值范围__________.
2.如图,点A1,B1,C1分别在△ABC的边,AB,BC,CA上,且,若△ABC的周长为p,△A1B1C1的周长为p1;求证:p1<(1-k)p.
九年级期中考试数学试卷参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.C
二、填空题
9.且k≠1 10. 11. 12.
三、解答题
13.. 14.;
15.(1)∠ABC=135°,BC=;
(2)能判断△ABC与△DEF相似(或△ABC∽△DEF).
∵可求∠ABC=∠DEF=135°,
又AB=2,BC=,DE=,EF=2,
∴,
α△ABC∽△DEF.
16.解:作OM⊥BC于点M.
∵AD=13,OD=5,∴AO=8.
∵∠DAC=30°,∴OM=4
在Rt△OCM中,OM=4,OC=5,
∴MC=3
∴BC=2MC=6
17.答:(1)任作大圆的两条弦AB、CD,分别作AB和CD的中垂线li与l2,l与l2的交点O′就是大圆的圆心.
(2)过O,O′作直线EF可等分两圆的面积.
18.解:(1)利用两组对应角相等证明
(2)先利用三角函数求得AB=8,BF=6,AF=10;再利用方程求得CF=4,CE=3,EF=5;最后用勾股定理求得AE=
19.(1)y=- (x-1)2+2 (2)3或-1 (3)图象略 (4)0<x<2.
20.解:(1)PN=.
(2)过点P作PQ⊥AD交AD于点Q.
可知PQ=AN=2x.
依题意,可得AM=3-x.
∴S=·AM·PQ=·(3-x)·2x=-x2+3x=-.
自变量x的取值范围是:0<x≤2.
∴当x=时,S有最大值,S最大值=.
(3)△MPA能成为等腰三角形,共有三种情况,以下分类说明:
①若PM=PA,
∵PQ⊥AD,∴MQ=QA=PN=.
又DM+MQ+QA=AD ∴4x=3,即x=.
②若MP=AM,
MQ=AD-AQ-DM=3-,PQ=2x,MP=MA=3-x.
在Rt△PMQ中,由勾股定理得:MP2=MQ2+PQ2.
∴(3-x)2=(3-)2+(2x)2.
解得x=,x=0(不合题意,舍去)
③若AP=AM,
由题意可求AP=,AM=3-x.
∴=3-x.解得x=.
综上所述,当x=,或x=,或x=时,△MPA是等腰三角形.
21.解:(1)结论:BM=DM,∠BMD=2∠BCD.
(2)在(1)中得到的结论仍然成立.即BM=DM,∠BMD=2∠BCD.
证法一:∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点,
∴BM=EC=MC,
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点,
∴DM=EC=MC.
∴BM=DM.
∵BM=MC,BM=MC,
∴∠CBM=∠BCM,∠DCM=∠CDM.
∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM
=2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD.
即∠BMD=2∠BCD.
证法二:∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点,
∴BM=EC=ME.
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点,
∴DM=EC=MC,
∴BM=DM.
∵BM=ME,DM=MC,
∴∠BEC=∠EBM,∠MCD=∠MDC.
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD.
∴∠BMD=180°-(∠BMC+∠DME)
=180°-2(∠BEM+∠MCD)=180°-2(90°-∠BCD)=2∠BCD.
即∠BMD=2∠BCD.
(3)所画图形如图所示:
图1中有BM=DM,∠BMD=2∠BCD;
图2中∠BCD不存在,有BM=DM;
图3中有BM=DM,∠BMD=360°-2∠BCD.
22.解:(1)s1=s2=s3;
(2)s1=s2=s3;证明略
(3)420
23.解:(1)令y=0,得x2-1=0 解得x=±1
令x=0,得y=-1
∴A(-1,0) B(1,0) C(0,-1)
(2)∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°
∵AP∥CB,∴∠PAB=45°
过点P作PE⊥x轴于E,则△APE为等腰直角三角形
令OE=a,则PE=a+1 ∴P(a,a+1)
∵点P在抛物线y=x2-1上 ∴a+1=a##2-1
解得a1=2,a2=-1(不合题意,舍去)
∴PE=3
∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE=×2×1+×2×3=4
(3)假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45° ∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G,∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中,OA=OC=1 ∴AC=
在Rt△PAE中,AE=PE=3 ∴AP=
设M点的横坐标为m,则M(m,m2-1)
①点M在y轴左侧时,则m<-1
(i)当△AMG∽△PCA时,有
∵AG=-m-1,MG=m2-1
即 解得m1=-1(舍去) m2= (舍去)
(ii)当△MAG∽△PCA时有
即 解得:m=-1(舍去) m2=-2
∴M(-2,3)
②点M在y轴右侧时,则m>1
(i)当△AMG∽△PCA时有
∵AG=m+1,MG=m2-1
∴
解得m1=-1(舍去) m2= ∴
(ii)当△MAG∽△PCA时有
即
解得:m1=-1(舍去) m2=4 ∴M(4,15)
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为(-2,3),(,),(4,15)
附加题:
1.-1<b≤3
2.如图,过B1作AC的平行线交AB于A2,则有A1B1<A1A2+B1A2=(1-2p)AB+pAC.同理可得另外两式,三式相加即得结果.
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