一元二次方程的根系关系

一元二次方程的根的判别式（一）

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．重点：会用判别式判定根的情况．

2．难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”

3．疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．

三、教学步骤

（二）整体感知：在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：

①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．

2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将

（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac．

3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．

注意以下几个问题：

（1）∵  a≠0，∴  4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应渗透转化和分类的思想方法．

（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．

4．例1  不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．

解：（1）∵  △＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴  原方程有两个不相等的实数根．

（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵  △＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，

∴  原方程有两个相等的实数根．

（3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵  △＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，

∴  原方程没有实数根．

总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．

练习．不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；（3）4p（p-1）-3＝0；

4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．

又∵  不论k取何实数，△≥0，

∴  原方程有两个实数根．

教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．

练习：不解方程，判别下列方程根的情况．

（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；

（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．

学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．

（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1＝4m2-8m2-4＝-4m2-4．

∵  不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．∴  方程无实数解．

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．

一元二方程的根的判别式（二）

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．

2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．

三、教学步骤

（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．

1．复习提问

（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．

（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？

2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：

例1  已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时

（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；

（1）方程无实数根．

解：∵  a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴  b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．

方程有两个不相等的实数根．

方程有两个相等的实数根．

方程无实数根．

本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．

练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．

t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？

假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？

练习2．已知：关于x的一元二次方程：

kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．

和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．

解：∵  △＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．

原方程有两个实数根．

例  求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．

分析：将△算出，论证△＜0即可得证．

证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）

＝-4（m2＋2）2．∵  不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．

∴  -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴  （m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．

本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．

本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．

此种题型的步骤可归纳如下：

（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．

练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．

提示：将括号打开，整理成一般形式．

（四）总结、扩展

1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：

（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．

（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．

（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．

2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．

2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．

一元二次方程的根与系数的关系（一）

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．

3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．

三、教学步骤

（一）明确目标：一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．

（二）整体感知：一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．

1．复习提问

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．

（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．

观察、思考两根和、两根积与系数的关系．得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？

2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．

设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1

我们就可把它写成x2+px+q=0．

结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．

结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．

练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？

（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；

（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0

此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．

3．一元二次方程根与系数关系的应用．

（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．

验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项

（2）已知方程一根，求另一根．

例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．

此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．

方法（二）∵  2是方程5x2+kx-6=0的根，∴  5×22＋k×2-6＝0，∴  k＝-7．

∴  原方程可变为5x2-7x-6=0

比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．

一元二次方程的根与系数的关系（二）

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用．2．教学难点：某些代数式的变形．

3．教学疑点：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．

三、教学步骤

（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力．

1．复习提问（1）一元二次方程根与系数的关系及应用．

2．本节课继续学习它的应用（1）不解方程，求某些代数式的值．

例：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．

分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．

解： 设方程的两个根是x1，x2，那么

（1）∵  （x1+x2）2=x12+2x1x2+x22．

总结以下两点：

1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．

2．格式、步骤要求规范

第一步：求出x1+x2，x1x2的值．第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．

第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．

练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：

（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；

（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23．

（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．

如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，

∴  p=-（x1+x2），q=x1x2．∴  x2-（x1+x2）x+x1x2=0．

由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．

解：所求方程是

例  已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．

分析：此题可以通过列方程求得．

但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．

解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根．

解这个方程，得

以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．

通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3fffbb70647d27284b7351ca.html