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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设函数46226387e9045eebef816bcc23813c1a.png则d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png的零点个数（ ）

70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png0. cd4eba427fa1a6e2d0349ee9a6f34f7f.png1. d44a1545c32bb4fd80e6620d5977da46.png2. f9b4418076bba52ba65fbde092ae1bac.png3.

（2）函数c39b3fc65cdac4be97bc27c2dbca835c.png在点b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png处的梯度等于（ ）

70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png. cd4eba427fa1a6e2d0349ee9a6f34f7f.png c0e088328da42e078c9e6ad9af07e92a.png. d44a1545c32bb4fd80e6620d5977da46.png 363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png. f9b4418076bba52ba65fbde092ae1bac.png 079a9cbbf5fe3ac57dee6c4ec4a84cc8.png.

（3）在下列微分方程中，从302ff2dc5cc32ba28a2e5efed9bd4948.png（36ccc6d923d71c1d43f0c7bd4a7d855b.png为任意常数）为通解的是（ ）

70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png38f8cb6285b7f5b31b8e56c6a15113e1.png. cd4eba427fa1a6e2d0349ee9a6f34f7f.pnge57d2402687bcfe824ce11443bfdeb98.png.

d44a1545c32bb4fd80e6620d5977da46.png8292ac4bad65f42b10efbf56a493a994.png. f9b4418076bba52ba65fbde092ae1bac.png60b657067aada8cedffee27f78b7ec68.png.

（4）设函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在ee79fabc055934de03d92f1e8ba90090.png内单调有界，52a02a198f7e2f077e22ae201f9bb7cc.png为数列，下列命题正确的是（ ）

70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png若52a02a198f7e2f077e22ae201f9bb7cc.png收敛，则9fc3d19a1b7294d8dbb33c6235a49ca4.png收敛. cd4eba427fa1a6e2d0349ee9a6f34f7f.png若52a02a198f7e2f077e22ae201f9bb7cc.png单调，则9fc3d19a1b7294d8dbb33c6235a49ca4.png收敛.

d44a1545c32bb4fd80e6620d5977da46.png若9fc3d19a1b7294d8dbb33c6235a49ca4.png收敛，则52a02a198f7e2f077e22ae201f9bb7cc.png收敛. f9b4418076bba52ba65fbde092ae1bac.png若9fc3d19a1b7294d8dbb33c6235a49ca4.png单调，则52a02a198f7e2f077e22ae201f9bb7cc.png收敛.

（5）设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶非零矩阵3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶单位矩阵若1313cf81eb3a8ee7007438e9eec12ada.png，则（ ）

70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png720c5def2652f9bdc8de705fd9919625.png不可逆，77ba9d01b5cb81fbcb07ee2b513b63e4.png不可逆. cd4eba427fa1a6e2d0349ee9a6f34f7f.pngab36bc2d1188a365fef6d3ea22db6724.png不可逆，77ba9d01b5cb81fbcb07ee2b513b63e4.png可逆.

d44a1545c32bb4fd80e6620d5977da46.pngab36bc2d1188a365fef6d3ea22db6724.png可逆，77ba9d01b5cb81fbcb07ee2b513b63e4.png可逆. f9b4418076bba52ba65fbde092ae1bac.pngab36bc2d1188a365fef6d3ea22db6724.png可逆，77ba9d01b5cb81fbcb07ee2b513b63e4.png不可逆.

（6）设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程6fef281c948b2e30a2c4c35ff96ee80a.png在正交变换下的标准方程的图形如图，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的正特征值个数（ ）

70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png0. cd4eba427fa1a6e2d0349ee9a6f34f7f.png1.

d44a1545c32bb4fd80e6620d5977da46.png2. f9b4418076bba52ba65fbde092ae1bac.png3.

（7）随机变量d23a4ce8bca0f4891e037439a79b45a6.png独立同分布且02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png分布函数为cde464a63f2a191f8ec9c6100aad2299.png，则b6d405cd96c76eff1281fba2dc72dc41.png分布函数为（ ）

70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png c00184ec7e5d9c92f242299a8afd9005.png. cd4eba427fa1a6e2d0349ee9a6f34f7f.png 087d3540a8615c691330f954282df9d4.png.

d44a1545c32bb4fd80e6620d5977da46.png 18ced9eacb437434a3aa0e307fedb6fc.png. f9b4418076bba52ba65fbde092ae1bac.png 5ad7d8e7a8189d4c61b4475ae943c440.png.

（8）随机变量28a73ee14bf058809f9cd6754290952f.png，720c5def2652f9bdc8de705fd9919625.png且相关系数083c6ea9bd34fb1cc129f7856f1cf493.png，则（ ）

70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png f327133550d9e46264e7c4201eb54912.png. cd4eba427fa1a6e2d0349ee9a6f34f7f.pnge1685c5f53b67095dbb87ad552225df9.png.

d44a1545c32bb4fd80e6620d5977da46.png340555e97dda4bb5aadb6e37a230c1ae.png. f9b4418076bba52ba65fbde092ae1bac.png83f580f196ab6b9916bd0ebe9e08803f.png.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）微分方程f7dbe9c0d1f87e1105098184b79dae90.png满足条件091b6688b4f717c36329e1f175802fb6.png的解是65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.png6fe787b0cdef07429ade84bfc01207f4.png.

（10）曲线fcd2eb7dab04ad4589a951050e0315a8.png在点7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png处的切线方程为6fe787b0cdef07429ade84bfc01207f4.png.

（11）已知幂级数514348a3e57bc49f261d12685e679bb1.png在e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png处收敛，在d9cd0ee1472f0c70057114324c3edc9e.png处发散，则幂级数467dec5d85b4c4262547a54222afbea2.png的收敛域为6fe787b0cdef07429ade84bfc01207f4.png.

（12）设曲面e15c0eb40e61adefe95778c26e7840f6.png是98759d790a59d26fe547e933d77ab521.png的上侧，则09e80dd98e9157d3d1ac399bacd4649c.png6fe787b0cdef07429ade84bfc01207f4.png.

（13）设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为2阶矩阵，1c44e38d0349f6c9ed3313d4de3ec29e.png为线性无关的2维列向量，f4518ecc05224462bc69b81f0da20c0e.png，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的非零特征值为6fe787b0cdef07429ade84bfc01207f4.png.

（14）设随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png服从参数为1的泊松分布，则b9427bd37b017ea96e1147f59944a8eb.png6fe787b0cdef07429ade84bfc01207f4.png.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分10分）

求极限942d6ffaf303a20df6f96a897027f7b4.png.

(16)（本题满分12分）

计算曲线积分d77cdce6bc5c8a5d7c7393c44bd74c94.png，其中d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png是曲线e532f3d8ea858571785762423ba1bc05.png上从点4fac1708bdf0e88ef48ef1219f0a215d.png到点c3ab4036a6f023ae82a09012d158567b.png的一段.

(17)（本题满分12分）

已知曲线ae1d6013d1580d25a5c58569d314a6a4.png，求0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png点距离aab047027760810a83276639203dfde1.png面最远点和最近的点.

(18)（本题满分12分）

函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png连续，f67587f66f77b4d8931d055de48f5d85.png，证明43b32dc07a962e721a72c14aeeab5fc4.png可导，且6862a10412e4825db69ce50dc1f66f7e.png.

(19)（本题满分12分）

b5651ebdbd1ca4248b91f7adcd568add.png，用余弦级数展开，并求24fcba2aa5e49a533f997bbf2a1c82cb.png的和

(20)（本题满分9分）

d4f733f309fc3f9593f32e053ef26be7.png，a6d6d57dd6a36756edd9f025498ca463.png为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的转置，da1ba33c1b9365cde2860904285603e7.png为dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的转置

（1）证2607e9a089f131ce07c572fac530ff04.png；（2）若5f2abeeac98cd1096d5658f9f306e651.png线性相关，则word/media/image94_1.png.

（21）（本题满分9分）

设矩阵word/media/image95_1.png，现矩阵word/media/image96_1.png满足方程e1112045fc6e2c6976013a218ee015f6.png，其中24bab802d3fee7c686c92d30de537976.png，06c74f6190486de31a87935cc29e24c4.png，

（1）求证cb2e3fe9b17fda8df7b338a836db7760.png

（2）0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为何值，方程组有唯一解，求f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png

（3）0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为何值，方程组有无穷多解，求通解

（22）（本题满分9分）

设随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png与57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png相互独立，02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png概率分布为f96bef3d95a5aaac7f8c271719e4f93e.png，概率密度为1d2cbdd75aa670a24e5284a88446f76c.png，记89643973bd6f1e58ba188c8b932000f4.png

（1）求4054236bc3cdc0f7fa7321aa10e46e8b.png

（2）求21c2e59531c8710156d34a3c30ac81d5.png的概率密度．

（23）（本题满分9分）

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngf04962720aef5daeef9223356f4ec5a8.png是总体为e485c00adeabfdd348c0161360b927ab.png的简单随机样本.记9bb73392147208d045292fc35beff60f.png，

cff09d539aa31fee4f72b91bc3c02826.png，word/media/image115_1.png

（1）证 word/media/image116_1.png是word/media/image117_1.png的无偏估计量.

（2）当word/media/image118_1.png时 ，求word/media/image119_1.png.

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