最新士兵军考试题：2017军队院校招生文化科目统一考试 - 士兵高中数学模拟试题1（含答案）doc资料

阶段性检测试题

一、选择题（共9小题，每题4分）

1、已知全集U＝R，集合A＝{x|lg x≤0}，B＝{x|2x≤8685cab480e9b01d71b07e689bcc5892.png}，则A∪B＝(　D　)

A．∅ B．(0，7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png] C．[7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，1] D．(－∞，1]

(1)由题意知，A＝(0，1]，B＝(－∞，7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png]，∴A∪B＝(－∞，1]．故选D.

2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a52，a2＝2，则a1＝(　C　)

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png B.193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png

C.1553867a52c684e18d473467563ea33b.png D．2

解析：选C.由等比数列的性质得 ，

∵q>0，

∴a6＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pnga5，q＝e1d72c7baee22a948bfc597c0c2c81ad.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，a1＝f9c585f3886b0bcfb2bf4a708a1a520e.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，故选C.

3．已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：∀x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，f(x)<0，则(　D　)

A．p是假命题，word/media/image1_1.pngp：∀x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，f(x)≥0

B．p是假命题，word/media/image1_1.pngp：∃x0∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，f(x0)≥0

C．p是真命题，word/media/image1_1.pngp：∀x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，f(x)>0

D．p是真命题，word/media/image1_1.pngp：∃x0∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，f(x0)≥0

解析：选D.因为f′(x)＝3cos x－π，所以当x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以∀x∈42c56404253a6fd3953459a630f3c03e.png，f(x)＝0，所以p是真命题，又全称命题的否定是特称命题，所以答案选D.

4．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(D　　)

A.cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png B.6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png C.aa8ee001c5caf4b01be5866c2c7088f8.png D.40e0e164a635c508463915d501d1f617.png

解析：选D.a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，故所求夹角为40e0e164a635c508463915d501d1f617.png.

5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　A　)

A．f(x)＝word/media/image2_1.png　　　　　　　 B．f(x)＝x2＋1

C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x

解析：选A.A中f(x)＝e88eda2a7b0cca1e077b2e0fc4c19be3.png是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．

6．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　B)

解析：选B.∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，

∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A.

若a＞1，则0＜b＜1，

此时f(x)＝ax是增函数，

g(x)＝－logbx是增函数，

结合图象知选B.

7、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　B　)

A．2n－1　　　　　　　　 B.a56af1e7e528f50a4dd9a6d7b7363b3a.pnga5f6eb2f071da33504927b2d237016da.png

C.346779e2e4d8c9a97904c3dee2962893.pnga5f6eb2f071da33504927b2d237016da.png D.d94ec20228cc8f63e737c825733a3d9d.png

[解析]　(1)由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，1c972bd630800f176a49327f3a89df62.png＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，而S1＝a1＝1，所以Sn＝a56af1e7e528f50a4dd9a6d7b7363b3a.pnga5f6eb2f071da33504927b2d237016da.png.

[答案]　B

8.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当ef4210901099bed98ebb4bd26d0e1f41.png取得最大值时，505abc90ca50474a8117f87e24c4a812.png＋afee4fceccbdcacec7068e8037d22889.png－ae6220ba29463a1d46635c14cb5aaae5.png的最大值为(　B　)

A．0 B．1 C.35a31b705b246b7ad7b441f074f1d9cf.png D．3

解析：选B.z＝x2－3xy＋4y2(x>0，y>0，z>0)，

∴56155ef3dda4f9ea49b69a9b33a5dd9e.png＝942da360dfdd1f49199095196fec6616.png＝7779de01780fc5566f6b3486778a794d.png≤63a63829b0477a26054ad7df04927867.png＝1.

当且仅当d00c180cd9074d5df2a112c76ba0eb8e.png＝9edf9d24fd40e2540122c4ff79499b88.png，即x＝2y时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴b4c30d4d628f438f3fa7348fdc6f9bc1.png＋afee4fceccbdcacec7068e8037d22889.png－ae6220ba29463a1d46635c14cb5aaae5.png＝2d8fed580f592c23aa6cfe5920b68d0b.png＋afee4fceccbdcacec7068e8037d22889.png－045bdff8bafdf8e623b66d2619aa5eff.png＝－85f8a9a01dc1e42e9d9c62bb5ba676fc.png＋7dc0fbe4142dff0f9142404bef179e27.png＝－075a94116d835c5c5db2b829ae507914.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png＋1，∴当y＝1时，505abc90ca50474a8117f87e24c4a812.png＋afee4fceccbdcacec7068e8037d22889.png－ae6220ba29463a1d46635c14cb5aaae5.png的最大值为1.

9.已知{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于(　C　)

A．40 B．200 C．400 D．20

解析：选C.S20－2S10＝0f0e6377e36302ffea75745519a304da.png－2×e82db1e10e0a196cadd8e6d17b59f422.png

＝10(a20－a10)＝100d.

又a10＝a2＋8d，

∴33＝1＋8d，

∴d＝4.

∴S20－2S10＝400.

二、填空题（共8小题，每题4分）

1、函数f(x)＝aa8c82ae3f41a79a03223fbf7ea3b3a3.png的定义域为(　　)

解析：要使函数有意义，

则x需满足05ee20f95a9ab4a7acad15b28931bd91.png即a3dc7c2f17caa5d5029b588424efbf95.png

解①得－1≤x≤10.

所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]．

2、函数y＝word/media/image3_1.png的单调减区间为________．

(3)由y＝cosc228cd6db8dad1bf78029da02e2a4382.png＝cos41e401a50da3cceefc126f6f690b9dd8.png，得

2kπ≤2x－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png≤2kπ＋π(k∈Z)，

故kπ＋10b173fd1e868f175286d0771c60fc70.png≤x≤kπ＋9dbcc8043b8b8345d24e15dd393f817f.png(k∈Z)．

所以函数的单调减区间为9c0826acb052bb1d54894c6f9f05389e.png(k∈Z)．

3、函数f(x)＝word/media/image4_1.png在[0，2]上的最小值是(　　)

A．－4e3e246498ccecf0813ef99958f6306f.png　　　　　　　 B．－1b12ceb0cd2318dd71eb705ee4f5dd05.png

C．－4 D．－d730dcdc89d4703d7c3b147b771f7cd5.png

解析：选A.f′(x)＝x2＋2x－3，

令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，

又f(0)＝－4，f(1)＝－4e3e246498ccecf0813ef99958f6306f.png，f(2)＝－1b12ceb0cd2318dd71eb705ee4f5dd05.png，

故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－4e3e246498ccecf0813ef99958f6306f.png.

4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P­ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，所以最长的棱为PC，PC＝2d898ea0213ba5f8f9b185455224b96a.png＝21553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

答案：21553867a52c684e18d473467563ea33b.png

5、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－4，则an＝________．

解析：由3an＋1＝3an－4，得an＋1－an＝－8c9bfdf69a73b9cefcdf72f3d8c83bc5.png，

所以{an}是等差数列，首项a1＝15，公差d＝－8c9bfdf69a73b9cefcdf72f3d8c83bc5.png，

所以an＝15－8c9bfdf69a73b9cefcdf72f3d8c83bc5.png(n－1)＝eebb36f94ad8a00af7adfe6eefce2d6a.png.

答案：eebb36f94ad8a00af7adfe6eefce2d6a.png

6、若命题“∃x0∈R，2xcfdb03549fa6c92cde266811b48746fd.png－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

因为“∃x0∈R，2xcfdb03549fa6c92cde266811b48746fd.png－3ax0＋9<0”为假命题，则“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－257306a222fa7427706854bf892218a27.png≤a≤21553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

7、若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝210513b2be7a6796a40152484ab3b664.png则 f19894107ba96f8c244f5386e50dc1a0c.png＋f44729d9e5e86e3b1cf8eb6295f0f7070.png＝________．

∵f(x)是以4为周期的奇函数，∴f19894107ba96f8c244f5386e50dc1a0c.png＝f1823072f5c4bfa0ba8792e39ab06c3ad.png＝fc189f8656e933382094038808200f074.png，f44729d9e5e86e3b1cf8eb6295f0f7070.png＝f5333d179ff5f59fd88a62879fd4931e7.png＝f08b68b0c993d70b38ecc9b7acf664a2c.png.

∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，∴f5b9c4d2f62f0c35d833408fb074c292d.png＝265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png×9cd36e687003cb5d960c0b6a07d7630e.png＝50287030ae62d34edcba8f9e889d5c97.png.∵当1<x≤2时，f(x)＝sin πx，

∴faaa58013c7f084dd5c308e66bbe3f6c5.png＝sin0993cefd8ea7c93d4e0bcef4184742f4.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.又∵f(x)是奇函数，

∴fc189f8656e933382094038808200f074.png＝－f5b9c4d2f62f0c35d833408fb074c292d.png＝－50287030ae62d34edcba8f9e889d5c97.png，f08b68b0c993d70b38ecc9b7acf664a2c.png＝－faaa58013c7f084dd5c308e66bbe3f6c5.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

∴f19894107ba96f8c244f5386e50dc1a0c.png＋f44729d9e5e86e3b1cf8eb6295f0f7070.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png－50287030ae62d34edcba8f9e889d5c97.png＝ee0279b6043dfcdc02ea7234903d0266.png.

8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．

解析：(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；

当x>0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥5a95fae892870afe9a4092834bebccc0.png－f0ce46772dc771b702bb1e0254bffd14.png.

设g(x)＝5a95fae892870afe9a4092834bebccc0.png－f0ce46772dc771b702bb1e0254bffd14.png，

则g′(x)＝f1b48559c128b49ef27318f42c6569a9.png，

所以g(x)在区间4fd62d5d614496e7d843f94eaff510b3.png上单调递增，在区间de7cd6539be560a28c27b5ddf7df982a.png上单调递减，

因此g(x)max＝gfed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.png＝4，从而a≥4.

当x<0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤5a95fae892870afe9a4092834bebccc0.png－f0ce46772dc771b702bb1e0254bffd14.png.

g(x)在区间[－1，0)上单调递增，

∴g(x)min＝g(－1)＝4，

从而a≤4，综上可知a＝4.

答案：4

三．计算下列各题：（18分）

(1)df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnglg 45f229f584b700d6731ca96a7133aca9.png－b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.pnglg d5c8717a199943d0c071fc123e8238ba.png＋lg a26a9cdabe8a02a7b96e23cdbe6e97bf.png；

解：(1)df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnglg 45f229f584b700d6731ca96a7133aca9.png－b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.pnglg d5c8717a199943d0c071fc123e8238ba.png＋lg a26a9cdabe8a02a7b96e23cdbe6e97bf.png

＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×(5lg 2－2lg 7)－b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png×003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.pnglg 2＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(lg 5＋2lg 7)

＝33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.pnglg 2－lg 7－2lg 2＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnglg 5＋lg 7

＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnglg 2＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnglg 5＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnglg(2×5)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.求角A的大小；

[解]　(1)由题意知，

根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

即a2＝b2＋c2＋bc.①

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

故cos A＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，A＝120°.

四、（12分）已知word/media/image6_1.png，word/media/image7_1.png，若word/media/image8_1.png的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

五、证明：(1)连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，

故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1＝C，

所以BD⊥平面ACC1.

而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.

因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，

所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

（12分）六、已知函数word/media/image10_1.png的最小正周期为word/media/image11_1.png，将函数word/media/image12_1.png的图像上各点的横坐标缩短到原来的word/media/image13_1.png，纵坐标不变，得到函数word/media/image14_1.png的图像，求函数word/media/image14_1.png在区间word/media/image15_1.png上的最小值。

（14分）七、已知数列word/media/image16_1.png满足word/media/image17_1.png，且word/media/image18_1.png

（1）设word/media/image19_1.png，证明数列word/media/image20_1.png为等比数列；

（2）设word/media/image21_1.png，求数列word/media/image22_1.png的前n项和word/media/image23_1.png。

（14分）八、已知函数f(x)＝word/media/image24_1.png

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)＝6a438d3a7f13f406a95117a53b4e1946.png，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，

∴f′(x)＝39413c17b31b75be33687de4caa9fdd4.png.

当f′(x)＝0时，x＝1.

f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：

故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．

(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，∴g′(x)＝ex－a，

①当a≤1时，g′(x)＝ex－a>0，即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点．

②当a>1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a；

令g′(x)＝ex－a>0，得x∈(ln a，＋∞)；

令g′(x)＝ex－a<0，得x∈(0，ln a)．

故g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增，

∴g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝ln a.

故实数a的取值范围是a>1.

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