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2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（全国卷3,含答案）

发布时间：2020-04-13 17:23:11 来源：文档文库

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高考衣食住用行

衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。另外，进考场前一定要少喝水！

住：考前休息很重要。好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）

文科数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则Aword/media/image1_1.pngB中元素的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．已知word/media/image3_1.png，则word/media/image4_1.png=

A．word/media/image5_1.png B．word/media/image6_1.png C． word/media/image7_1.png D．word/media/image8_1.png

5．设x，y满足约束条件word/media/image9_1.png，则z=x-y的取值范围是

A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]

6．函数f(x)=word/media/image10_1.pngsin(x+word/media/image11_1.png)+cos(x−word/media/image12_1.png)的最大值为

A．word/media/image13_1.png B．1 C．word/media/image14_1.png D．word/media/image15_1.png

7．函数y=1+x+word/media/image16_1.png的部分图像大致为

A． B．

C． D．

8．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5 B．4 C．3 D．2

9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．word/media/image22_1.png B．word/media/image23_1.png C．word/media/image24_1.png D．word/media/image25_1.png

10．在正方体word/media/image26_1.png中，E为棱CD的中点，则

A．word/media/image27_1.png B．word/media/image28_1.png C．word/media/image29_1.png D．word/media/image30_1.png

11．已知椭圆C：word/media/image31_1.png，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线word/media/image32_1.png相切，则C的离心率为

A．word/media/image33_1.png B．word/media/image34_1.png C．word/media/image35_1.png D．word/media/image36_1.png

12．已知函数word/media/image37_1.png有唯一零点，则a=

A．word/media/image38_1.png B．word/media/image39_1.png C．word/media/image40_1.png D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量word/media/image41_1.png，且a⊥b，则m= .

14．双曲线word/media/image42_1.png（a>0）的一条渐近线方程为word/media/image43_1.png，则a= .

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=word/media/image44_1.png，c=3，则A=_________。

16．设函数word/media/image45_1.png则满足word/media/image46_1.png的x的取值范围是__________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

设数列word/media/image47_1.png满足word/media/image48_1.png.

（1）求word/media/image47_1.png的通项公式；

（2）求数列word/media/image49_1.png 的前n项和.

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

20．（12分）

在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

21．（12分）

已知函数word/media/image51_1.png=lnx+ax2+(2a+1)x．

（1）讨论word/media/image52_1.png的单调性；

（2）当a﹤0时，证明word/media/image53_1.png．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为word/media/image54_1.png（t为参数），直线l2的参数方程为word/media/image55_1.png.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−word/media/image56_1.png=0，M为l3与C的交点，求M的极径.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数word/media/image52_1.png=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式word/media/image52_1.png≥1的解集；

（2）若不等式word/media/image52_1.png≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围.

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题正式答案

一、选择题

1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A

7.D 8.D 9.B 10.C 11.A 12.C

二、填空题

13. 2 14. 5 15. 75° 16. (-eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png，47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png )

三、解答题

17.解:

（1）因为c31dad6cf86cdeecc03c269fc8e8a482.png+35b72604a8499309b3f1374cd9280b6df.png+…+（2n-1）bfad6dce8079bb9f9498dc30ca4ee75f.png =2n，故当n≥2时，

c31dad6cf86cdeecc03c269fc8e8a482.png+35b72604a8499309b3f1374cd9280b6df.png+…+（21e2c0c0472b331622877accbe29b91b.png-3）1b96f2a989a12a2d27b52a4c845c8a95.png =2（n-1）

两式相减得（2n-1）bfad6dce8079bb9f9498dc30ca4ee75f.png=2

所以bfad6dce8079bb9f9498dc30ca4ee75f.png=88186adea51ef631c8e930d22f7643bc.png (n≥2)

又因题设可得 c31dad6cf86cdeecc03c269fc8e8a482.png=2.

从而{bfad6dce8079bb9f9498dc30ca4ee75f.png} 的通项公式为 bfad6dce8079bb9f9498dc30ca4ee75f.png =88186adea51ef631c8e930d22f7643bc.png.

（2）记 {2d353fa40dadbad786d4914b6a6068e4.png}的前n项和为65c2a2ab74b145310e6fdfcddb8fdad6.png ，

由（1）知2d353fa40dadbad786d4914b6a6068e4.png = 8b3d219e28de44b6bb36e7926b4e16b4.png= 03d291054d114118ab310e15d2f8fa72.png -58cf1882907feb3edc47480489e91f70.png .

则 65c2a2ab74b145310e6fdfcddb8fdad6.png= 444afbd3de43d1dfbfeef9090487d21c.png- 7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png +7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png - 22417f146ced89939510e270d4201b28.png +…+ 03d291054d114118ab310e15d2f8fa72.png - 58cf1882907feb3edc47480489e91f70.png = 638f3d1cae7991d5b3a6c57f3b08f286.png .

18.解：

（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为b2c33dd241ccc8c6ad197136f1049342.png，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.6.

（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则Y=66392228661363e75c352077a2cfe66d7.png450-46392228661363e75c352077a2cfe66d7.png450=900；

若最高气温位于区间 [20,25），则Y=66392228661363e75c352077a2cfe66d7.png300+2（450-300）-46392228661363e75c352077a2cfe66d7.png450=300；

若最高气温低于20，则Y=66392228661363e75c352077a2cfe66d7.png200+2（450-200）-46392228661363e75c352077a2cfe66d7.png450= -100.

所以，Y的所有可能值为900,300，-100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为d28aee2ffb114a9c7b1ddb85643c3db0.png ，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

19.解：

（1）取AC的中点O连结DO，BO.

因为AD=CD，所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.

（2）连结EO.

由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.

在Rt△AOB中，8448b24d381654f0a5faca25513704ac.png.

又AB=BD，所以

9e15b2eb2e2606ce8f9367cf94fde229.png，故∠DOB=90°.

由题设知△AEC为直角三角形，所以976e508b0fbd747e14d516cf7eed5355.png.

又△ABC是正三角形，且AB=BD，所以b79d4a7ad35cf83b713112620438a31d.png.

故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.

20.解：

（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设377d638cd25e7bf67e786fa819230936.png,bd50efa917df667b39fd2c9b5e4d9a43.png,则b61821bcb58f039abd5ee7ac45b4c83f.png满足8b42625c0358f0e5eb7821687ab286de.png所以de6bb8c1afa88c85e7ff3070e8322228.png.

又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为5ea8862f11ee998f6e25aa5b17eb911b.png，所以不能出现AC⊥BC的情况.

（2）BC的中点坐标为（879e9e21582a8a37e0dc1f31ef74c83f.png），可得BC的中垂线方程为97b871a4e5a650b09192d04f402996a3.png.

由（1）可得317a1ae4032b5c35e1953ddb839334e7.png，所以AB的中垂线方程为4a88676f0c19ac858ea364a0ff4d70f7.png.

联立e39b5208a980a9d47125f3e17581793b.png又0fb5b1cf42f239e3c0703b202c0c8f0d.png，可得4d1bcfecf2f497d3fe5bb1bdcee64141.png

所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（3b54698f384cc3b11d32d526dec0b050.png），半径5242fc9653cf17097c15852e308e2975.png

故圆在y轴上截得的弦长为ce805463c5fe52e6348dcfc00c00a735.png，即过A、B、C三点的圆在y轴上的截得的弦长为定值.

21.解：

（1）f（x）的定义域为（0，+b63148f54c8e3d3cfd0603baae351208.png），3abdb02260dcb458e34555516a8cf3ca.png.

若a≥0，则当x∈（0，+b63148f54c8e3d3cfd0603baae351208.png）时，6936fac375e39452054faf2d8624636f.png，故f（x）在（0，+b63148f54c8e3d3cfd0603baae351208.png）单调递增.

若a＜0，则当x∈eb6bab99b4939962c399bf05fe8227f7.png时，6936fac375e39452054faf2d8624636f.png；当x∈158092eeb3ad19b045e1e7df3ee257d2.png时，edc2b316e2fcd0d3a8139ec99efbc3b4.png.故f（x）在eb6bab99b4939962c399bf05fe8227f7.png单调递增，在158092eeb3ad19b045e1e7df3ee257d2.png单调递减.

（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在028da042f1270a39011a99edf3b362de.png取得最大值，最大值为

e03291c48aad70718ff939edc6eb572d.png.

所以57a208bfc5b4345d1aaacd3ffcfa6b9f.png等价于a4150af6924c73481405472e73a4b761.png，即7074eff02999946094d70018bd48152f.png

设g（x）=lnx-x+1，则6ba5102161cefd55a0e6b25c32cf9f96.png

当x∈（0,1）时，91b4c93dc9de23395183d2be7f76360e.png；当x∈（1，+b63148f54c8e3d3cfd0603baae351208.png）时，ef6fea7344a8e0882853c7d8febf51c2.png.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+b63148f54c8e3d3cfd0603baae351208.png）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0,.从而当a＜0时，7074eff02999946094d70018bd48152f.png，即57a208bfc5b4345d1aaacd3ffcfa6b9f.png.

22.解：

（1）消去参数t得dc488a398c287323d6a37d25ba87d147.png的普通方程dc488a398c287323d6a37d25ba87d147.png：4b1ab417d59a7d0c3c80ae9c9c28d6c8.png; 消去参数m得f0654748150f41cb02a1886cde108ab3.png的普通方程 f0654748150f41cb02a1886cde108ab3.png：cbe3c577b55fecdabab7807b74728291.png+2).