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安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛数学(文)试题含答案

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安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合Axy1x,Byy2,xA，则A


x

B（）
A．,1B．0,1C．0,1D．0,22.若cosA．
2
，则cos2（）
25
212212B．C．D．25252525
3.“xy”是“xy”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

3311B．C．D．16884
113
5.已知命题p:a,bR,ab且，命题q:xR,sinxcosx．下列命题为真命题的是（）
ab2
A．pqB．pqC.pqD．pq
A．
6.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：




若x,y线性相关，线性回归方程为y0.6xa，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（）A．7.2万盒B．7.6万盒C.7.8万盒D．8.6万盒7.将函数y2sinx为（）
A．2B．1C.


6
0的图像向右移
2
个单位后，所得图像关于y轴对称，则的最小值3
11D．24
8.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（）

A．
822248
B．C.D．
3333
9.函数y
lnx
的图像大致为（）x

A．B．C.D．
ax1,x0,110.设函数fx，gxlnx，若对任意实数x0,，fxgx0恒成2ax1,x1,
立，则实数a的取值范围为（）A．B．,
2

1
1,C.
11
,1D．,122
11.若函数yfx2的图像与函数y2log3A．3
2x2
x的图像关于直线yx对称，则fx（）
2x2
B．3C.3
2x2x1
D．3




2x2xa,x0
12.已知函数fx在R上恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）
x2eaxe,x0
A．0,1B．e,C.0,1
e,D．0,1e2,
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知平面向量a2,1，b2,x，且a2b//2a3b，则实数x．14.执行下面的程序框图，如果输入的t0.02，则输出的n．


xy1

15.已知点M的坐标为2,1，点Nx,y满足yx1，则MN的最小值为．
2xy2
16.如果一个正四面体与正方体的体积比是
22
，则其表面积（各面面积之和）之比3
S正四面体
=．
S正方体
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知Sn为数列an的前n项和，且满足Sn2ann4nN*．（1）证明Snn2为等比数列；（2）设数列Sn的前n项和为Tn，求Tn．18.已知函数fx12sinx



cosx3,x0,．64
（1）求函数fx的最大值fxmax和最小值fxmin；
（2）CD为ABC的内角平分线，已知CD22,ACfxmax,BCfxmin，求角C的大小．19.南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．




（1）试求受奖励的分数线；
（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.
20.如图，在四棱锥PABCD中，ABC90，AB//CD，APD是等边三角形，BP3，
0
ABAP2,ADBP．

（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．
x2y2
21.已知椭圆C:221ab0与直线l:bxay0都经过点M22,2．直线m与l平行，
ab

且与椭圆C交于A,B两点，直线MA,MB与x轴分别交于E,F两点．（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：MEF为等腰三角形．22.已知fxxlnxax，
2
（Ⅰ）若fx有两个零点，求实数a的范围；（Ⅱ）若fx有两个极值点，求实数a的范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若fx的两个极值点为x1,x2x1x2，求证：fx1
1
．2





一、选择题1-5:CABDB6-10:CBBDD11
二、填空题
试卷答案
、12：BD



13.114.615.
3523
16.53
三、解答题
17.解:（Ⅰ）当n1时，S1124;n2时原式转化为：Sn2(SnSn1n4，即Sn2Sn1n4，所以Snn22[Sn1(n12]，
所以Snn2为首项为4，公比为2的等比数列.Snn22n1，所以Sn2n1n2.（Ⅱ）由（1）知：
Tn(22232n1(12n2n
（412nn(n1
2n
122=2
n2
n23
n4．22
18.解：f(x12sin(x

6
cosx3

3112sinxcosxcosx322
33sin2x31cosx3


6sin2x
6

fx在[0,上单增，(,]上单减，fxmax6,fxmin3；
664
ADACBDBC
（2）ADC中，，,BDC中，
CsinADCCsinBDCsinsin
22
∵sinADCsinBDC，AC6，BC3，
AD2BD，
CC
68482cos，22CC
ACD中，AD244242cos68482cos，
22
BCD中，BD217122cos



cos
C2，∴C．222
19.解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在90,100分的人数为0.0121010012，竞赛成绩在80,90的人数为0.021010020，故受奖励分数线在80,90之间，
设受奖励分数线为x，则90x0.020.012100.20，解得x86，故受奖励分数线为86．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在86,90的人数为8，分数在90,100的人数为12，利用分层抽样，可知分数在86,90的抽取2人，分数在90,100的抽取3人，设分数在86,90的2人分别为A1,A2，分数在90,100的3人分别为B1,B2,B3，
所有的可能情况有A1,A2，A1,B1，A1,B2，A1,B3，A2,B1，A2,B2，A2,B3，B1,B2，
B1,B3，B2,B3，满足条件的情况有B1,B2，B1,B3，B2,B3，所求的概率为P
20.解：（Ⅰ）取AD中点F，连PF,BF，
3
．10
ADP是等边三角形，PFAD,
又
ADBPAD平面PFB，BF平面PFB，ADBF,
BDAB2∴BC3
（Ⅱ）
AD平面PFB，AD平面APD
∴平面PFB⊥平面APD．作BGPF交PF于G，
则BG平面APD，AD,BC交于H，BHG直线BC与平面ADP所成的角．由题意得PFBF
3,又BP3
GFB600,BG
3，2
ABCBCD900，CD1，BH23，
sinBHG

3
．4


x2y2
1．21.解：（Ⅰ）椭圆C的方程为
164
（Ⅱ）设直线m为：y
1
xt,Ax1,y1,Bx2,y22
x2y2
116422
联立:，得x2tx2t80，
y1xt2
于是x1x22t,x1x22t8．
设直线MA,MB的斜率为kMA,kMB，要证MEF为等腰三角形，只需证kMAkMB0，
2
kMA
y12y2
，,kMB2
x122x222
x1x2t22
1
kMAkMB

xx42t22t82t42t42t80．
x22x22x22x22
1
2
2
2
2
1
2
所以MEF为等腰三角形．
22．解：方法一：（Ⅰ）fxxlnxax,x0，
fx有两个零点，gxlnxax有两个零点，
gx
1
a，x
a0时gx0,gx在0,上单调，最多有一个零点，不合题意；
11
a0,gx在0,上单增，在,上单减，
aa111
gln10,0a，
aea
又
1
0a时，
e
2
111113a3a1
g1a0,g33ln23120，2
aaaaaa
gx必有两个零点，



1
0a．
e
（Ⅱ）fxlnx12ax有两个改变fx符号的零点，设hxlnx12ax，则hx
1
2a，x
a0时，hx0恒成立，hx在0,上单调，最多有一个零点，不合题意；a0，由hx0得：x
1，2a
11
hx在0,上单增，在,上单减，
2a2a1111
hln12a0，即0a．
2a2a22a
又
2a122111
h0,h22ln121110，
eaaaeaa
1111
hx在,,,2各有一个零点，
e2a2aa
0a
1
．2
1
x11,hx1lnx112ax10，e
（Ⅲ）由（Ⅱ），结合h112a0，知
fx1x1lnx1ax12
x1lnx1x1
，2
设kxxlnxx,kxlnx0，
kx在0,1上单减，kxk11
1
fx1．
2
方法二：分离参数法（Ⅰ）a令gx
lnx
，两图象有两交点，x
lnx1lnx
,gx2
xx，
当x0,e,gx0,gx单增，当xe,,gx0,gx单减，ge
1
e



结合图像，0a
1．e
（Ⅱ）fxlnx12ax有两个改变fx符号的零点，
lnx1
对应的两函数的图像有两交点．2xlnx1lnx
令x,x2，当x0,1,x0,x单增，
2xx
1
当x1,,x0,x单减，1，
2
1
结合图象，0a．
2
等价于a
（Ⅲ）由（Ⅱ）0x11，下同方法一
1
fx1．
2



















本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/49444caf0a4e767f5acfa1c7aa00b52acfc79c92.html

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