2016辽宁现代服务职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ）

①（a·b）c-（c·a）b＝0

②|a|-|b|＜|a-b|；

③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；

④（3a＋2b）·（3a-2b）＝9|a|-4|b|．

其中的真命题是（ ）

A．②④ B．③④ C．②③ D．①②

2．若直线mx＋ny＝4和⊙O∶没有交点，则过（m，n）的直线与椭圆的交点个数（ ）

A．至多一个 B．2个

C．1个 D．0个

3．将正方形ABCD沿对角线BD折成120°的二面角，C点到处，这时异面直线AD与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

4．现用铁丝做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（ ）．

A．4.6米 B．4.8米 C．5.米 D．5.2米

5．在△ABC中，＝5，＝3，＝6，则＝（ ）

A．13 B．26 C． D．24

6．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的离心率，．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为，则的取值范围是（ ）．

A．， B．，

C．， D．，

8．已知函数为偶函数＜＜，其图像与直线y＝2的某两个交点横坐标为，，的最小值为，则（ ）

A．， B．，

C．， D．，

9．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4

10．（理）一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ）

A． B．

C． D．

（文）一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，则公比的平方为（ ）

A． B．

C． D．

11．（理）参数方程为参数且0＜＜表示（ ）

A．过点（1，）的双曲线的一支

B．过点（1，）的抛物线的一部分

C．过点（1，）的椭圆的一部分

D．过点（1，）的圆弧

（文）关于不等式的解集为（ ）

A． B．

C． D．

12．若，则，，的大小关系是（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上

13．是定义在实数有R上的奇函数，若x≥0时，，则________．

14．若点P（，）在直线上上，则________．

15．用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的________（把所有符合条件的图形序号填入）．

①矩形 ②直角梯形

③菱形 ④正方形

16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面，远地点B距离地面，地球半径为，关于这个椭圆有以下四种说法：

①焦距长为；②短轴长为；③离心率；④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为，其中正确的序号为________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）某厂规定，如果工人在第一季度里有1个月完成产生任务，可得奖金90元；如果有2个月完成任务，可得奖金210元；如果有3个月完成任务，可得奖金330元；如果三个月都未完成任务，则没有奖金．假设某工人每个月完成任务与否是等可能的，求此工人在第一季度里所得奖金的期望．

18．（12分）无穷数列的前n项和，并且≠．

（1）求p的值；

（2）求的通项公式；

（3）作函数，如果，证明：．

甲、乙任选一题，若甲乙均解答，则只按19（甲）评分．

19．（12分）（甲）如图，已知斜三棱柱的侧面⊥底面ABC，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝，又⊥，＝．

（1）求侧棱与底面ABC所成的角的大小；

（2）求侧面与底面所成二面角的大小；

（3）求点C到侧面的距离．

（乙）在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．

（1）求证：；

（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）．

20．（12分）在抛物线上存在两个不同的点关于直线l；y＝kx＋3对称，求k的取值范围．

21．（12分）某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量（万件）与月份x的近似关系为：，且．

（1）写出明年第x个月的需求量（万件）与月x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？

（2）如果将该商品每月都投放市场p万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问：p至少为多少万件？

22．（14分）已知函数的定义域为[，]，值域为，，并且在，上为减函数．

（1）求a的取值范围；

（2）求证：；

（3）若函数，，的最大值为M，求证：

参考答案

1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B 10．C（文、理）

11．B（文理） 12．C 13．-1 14．-2 15．①③④

16．①③④

17．设：该工人在第一季度完成任务的月数，：该工人在第一季度所得奖金数，则与的分布列如下：

∴

．

答：该工人在第一季度里所得奖金的期望为153.75元．

18．（1）∵ ∴ ，且p＝1，或．

若是，且p＝1，则由．

∴ ，矛盾．故不可能是：，且p＝1．由，得．

又，∴ ．

（2）∵ ，，

∴ ．

．

当k≥2时，． ∴ n≥3时有

．

∴ 对一切有：．

（3）∵ ，

∴ ． ．

故．

∴ ．

又．

∴ ．

故 ．

19．（甲）（1）∵ 侧面底面ABC， ∴ 在平面ABC上的射影是AC．

与底面ABC所成的角为∠．

∵ ，， ∴ ∠＝45°．

（2）作⊥AC于O，则⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，连结，则，所以∠就是侧面与底面ABC所成二面角的平面角．

在Rt△中，，，

∴ ． 60°．

（3）设点C到侧面的距离为x．

∵ ，

∴ ．（*）

∵ ，， ∴ ．

又，∴ ．

又． ∴ 由（*）式，得．∴

（乙）（1）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．

设AE＝BF＝x，则（a，0，a），F（a-x，a，0），（0，a，a），E（a，x，0），

∴ （-x，a，-a），

（a，x-a，-a）．

∵ ，

∴ ．

（2）解：记BF＝x，BE＝y，则x＋y＝a，则三棱锥的体积为

．

当且仅当时，等号成立，因此，三棱锥的体积取得最大值时，．

过B作BD⊥BF交EF于D，连结，则．

∴ ∠是二面角的平面角．在Rt△BEF中，直角边，BD是斜边上的高， ∴

在Rt△中，tan∠．故二面角的大小为．

20．∵ k＝0不符合题意， ∴ k≠0，作直线：

，则．

∴ 满足条件的

由消去x，得

，

．．（*）

设，、、，则 ．

又．

∴ ．

故AB的中点，． ∵ l过E， ∴ ，即 ．

代入（*）式，得

21．（1）．当x≥2时，

．

∴ ，且．

∵ ．

∴ 当x＝12-x，即x＝6时，（万件）．故6月份该商品的需求量最大，最大需求量为万件．

（2）依题意，对一切{1，2，…，12}有．

∴ （x＝1，2，…，12）．

∵

∴ ． 故 p≥1.14．故每个月至少投放1.14万件，可以保证每个月都保证供应．

22．（1）按题意，得．

∴ 即 ．

又

∴ 关于x的方程．

在（2，＋∞）内有二不等实根x＝、．关于x的二次方程

在（2，＋∞）内有二异根、．

．

故 ．

（2）令，则

．

∴ ．

（3）∵ ，

∴

．

∵ ， ∴ 当（，4）时，；当（4，）是．

又在[，]上连接，

∴ 在[，4]上递增，在[4，]上递减．

故 ．

∵ ，

∴ 0＜9a＜1．故M＞0． 若M≥1，则．

∴ ，矛盾．故0＜M＜1．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/49c162e0a32d7375a51780b2.html