人教版九年级下册数学期中考试试题及答案

人教版九年级下册数学期中考试试卷

一、单选题

1．下列各点中，在函数y=－图象上的是（ ）

A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1）

2．已知△ABC∽△A′B′C′且，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )

A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1

3．点A(－1，y1)，B(－2，y2)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）

A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定

4．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）

A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC

C．AB2=AD•AC D．

5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD＝2BD，则的值为( )

A． B． C． D．

6．如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为(m，n)，则m，n满足的关系式为( )

A．n＝－2m B．n＝－ C．n＝－4m D．n＝－

7．如图，△ABE和△CDE是以点E(1，0)为位似中心的位似图形，已知点A(3，4)，C(2，2)，D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是( )

A．(4，2) B．(4，1) C．(5，2) D．(5，1)

8．如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ）

A．8 B．10

C．12 D．24

9．如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

10．如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）

A．2 B．-2 C．4 D．-4

二、填空题

11．若反比例函数y＝的图象在同一象限内，y的值随x值的增大而增大，则m的值可以是________(写出一个即可)．

12．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，点B(0，6)，反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为____．

13．如图，在中，、分别是边、上的点，且∥，若与的周长之比为，，则_____.

14．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10，四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是___．

15．甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为_____米．

16．正比例函数y1＝mx(m＞0)的图象与反比例函数y2＝ (k≠0)的图象交于点A(n，4)和点B，AM⊥y轴，垂足为M.若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的取值范围是____．

17．如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD∶OD＝1∶2，则k的值为______．

18．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x－1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝－上，并且满足A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn＋1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an(n为正整数)．若a1＝－1，则a2018＝___．

三、解答题

19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），

B（﹣3，4） C（﹣2，6）.

（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；

（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．

20．如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A(－1，)．

(1)试确定此反比例函数的解析式；

(2)点O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转30°后得到线段OB，求出点B的坐标，并判断点B是否在此反比例函数的图象上．

21．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．

求证：(1)BD是⊙O的切线；(2)CE2＝EH·EA．

22．如图，已知点A，P在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，点B，Q在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为－1，AB⊥x轴，且S△OAB＝4，若P，Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为(m，n)．

(1)求点A的坐标和k的值；

(2)求的值．

23．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知， 学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)．

(1)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

24．如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，点H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F.

(1)求证：；

(2)若∠CGF＝90°时，求的值．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式．

(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．A

【解析】

所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上

【详解】

解:-2×4=-8

故选:A

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．

2．C

【解析】

试题解析：∵△ABC∽△A′B′C′，，

∴，

故选C．

点睛：运用相似三角形的性质进行计算时，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

3．C

【解析】

先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及其增减性，再根据A、B两点的横坐标判断出两点所在的象限，进而看得出结论.

解：∵反比例函数y=中，k=2>0，

∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小,

∵，-1<0，-2<0，

∴点A（-1，y1）、B（-2，y2）均位于第三象限，

∵-1>--2，

∴y12，

故选C.

4．D

【解析】

根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．

【详解】

解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，

∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；

B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；

C、∵AB2=AD•AC，

∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；

D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．

故选D．

【点睛】

点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

5．A

【解析】

【详解】

∵AD＝2BD，DE∥BC，

∴ ．

∵ EF∥AB，

∴ ．

6．B

【解析】

试题分析：首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A为（，n），点B的坐标为（-，-n），根据图像知B、C的横坐标相同，可得-=m.

故选B

点睛：此题主要考查了反比例函数的图像上的点的坐标特点，解答此题的关键是要明确：

①图像上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在坐标系的图像上任取一点，过这个点向x轴、y轴分别作垂线．与坐标轴围成的矩形的面积是一个定值|k|.

7．C

【解析】

试题分析：分别过C,D,A,B,做x轴的垂线，垂足分别是F,H,K；因为A,D的横坐标相同，所以D在AH上，∵E（1,0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），∴EF=1，FH=1；∵CF∥AH∥BK,∴,∵CD∥AB,∴,∵DH∥BK,∴,∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴B（5，2）,故选C．

考点：1．位似性质；2．平行线分线段成比例定理．

8．C

【解析】

试题分析：x=-1时，y=6，x=-3时，y=2，所以点A（-1，6），点B（-3，2），应用待定系数法求得直线AB的解析式为y=2x+8，直线AB与x轴的交点C（-4，0），所以OC=4，点A 到x轴的距离为6，所以△AOC的面积为=12．

故选C．

考点：待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形．

9．A

【解析】

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠GEA+∠FEB=90°，

∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．

∴△AEG∽△BFE，

∴ ，

又∵AE=BE，

∴AE2=AG•BF=2，

∴AE= ，

∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，

∴GF的长为3．

故选A.

10．D

【解析】

【分析】

要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点、作轴，轴，分别于、，根据条件得到，得到：，然后用待定系数法即可.

【详解】

过点、作轴，轴，分别于、，

设点的坐标是，则，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

因为点在反比例函数的图象上，则，

点在反比例函数的图象上，点的坐标是，

.

故选：.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.

11．0（答案不唯一）

【解析】试题分析：根据反比例函数图象的性质得到m-1＜0，通过解该不等式可以求得m的取值范围，据此可以取一个m值．

试题解析：∵函数的图象在同一象限内，y随x增大而增大，

∴m-1＜0，

解得 m＜1．

故m可以取0，-1，-2等值．

考点：反比例函数的性质．

12．9

【解析】

过点C作CD⊥y轴于点D，

∵正方形OABC的顶点O为坐标原点，点B（0，6），

BD=CD= OB=3，

∴C（3，3）．

∵反比例函数y= 的图象过点C，

∴k=3×3=9．

13．2.

【解析】

试题分析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，因为相似三角形的周长之比等于相似比，所以AD:AB=2:3,因为AD=4,所以AB=6，所以DB=AB-AD=6-4=2.故答案为2.

考点：相似三角形的判定与性质.

14．25

【解析】在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10，根据勾股定理可求得AB=BC=10，可求设EF=x，则AF=10﹣x，由已知EF∥BC，可得到△AFE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例可得 ，即 ，即可求得x=EF=5，进而根据正方形的面积公式即可求得正方形的面积为25．

15．9

【解析】

如图，设路灯甲的高为米，由题意和图可得：，解得，

∴路灯甲的高为9米.

16．－2＜x＜0或x＞2

【解析】正比例函数y1=mx（m>0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，

∴B（-n，-4）．

∵△AMB的面积为8，

∴×8×n=8，

解得n=2，

∴A（2，4），B（-2，-4）．

由图形可知，当-2或x>2时，正比例函数y1=mx（m>0）的图象在反比例函数y2=（k≠0）图象的上方，即y1>y2．

17．8

【解析】

试题分析：如答图，过D点作x轴的垂线交x轴于H点，

∵△ODH的面积=△OBC的面积=，△OAC的面积为5，∴△OBA的面积=.

∵AD：OD=1：2，∴OD：OA=2：3.

∵DH∥AB，∴△ODH∽△OAB. ∴，即.解得：k=20．

考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.相似三角形的判定和性质．

18．2

【解析】∵a1=-1，

∴B1的坐标是（-1，1），

∴A2的坐标是（2，1），

即a2=2，

∵a2=2，

∴B2的坐标是（2，-），

∴A3的坐标是（，-），

即a3=，

∵a3=，

∴B3的坐标是（，-2），

∴A4的坐标是（-1，-2），

即a4=-1，

∵a4=-1，

∴B4的坐标是（-1，1），

∴A5的坐标是（2，1），

即a5=2，

…，

∴a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是-1、2、，

∵2018÷3=672……2，

∴a2018是第673个循环的第2个数，

∴a2018=2．

点睛：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．本题还考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解决本题要明确直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．

19．（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；

（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2.

【详解】

（1）如图：△A1B1C1即为所求；

（2）如图：△A2B2C2即为所求.

20．(1)y＝－；(2)点B(－，1)在反比例函数y＝－的图象上.

【解析】

试题分析：1）由于反比例函数y=的图象经过点A，运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C，过点B作x轴的垂线交x轴于点D，由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上．

试题解析：

(1)y＝－　；

(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C，过点B作x轴的垂线交x轴于点D.

在Rt△AOC中，AC＝，OC＝1，

∴OA＝＝2，可求∠AOC＝60°，

∵将线段OA绕O点逆时针旋转30°得到线段OB，

∴∠AOB＝30°，OB＝OA＝2，

∴∠BOD＝30°.

在Rt△BOD中，BD＝OB＝1，由勾股定理得OD＝，

∴B点坐标为(－，1)，

将x＝－代入y＝－中，得y＝1，

∴点B(－，1)在反比例函数y＝－的图象上

21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，即可得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论.

试题解析：(1)∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，

∴∠ODB＝∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD＝90°，

∴∠ODB＋∠DBF＝90°，

∴∠ABC＋∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切线。　

(2)连接AC，

∵OF⊥BC，

∴＝，

∴∠ECB＝∠CAE，

又∵∠HEC＝∠CEA，

∴△CEH∽△AEC，

∴＝，

∴CE2＝EH·EA.

22．(1)点A的坐标为(2，－5)， k＝－10；(2)－.

【解析】

试题分析：（1）由点B在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，可求出B（2，﹣1）．由AB⊥x轴可设点A的坐标为（2，t），利用S△OAB=4可求出t=﹣5，得到点A的坐标为（2，﹣5）；将点A的坐标代入y＝，即可求出k的值；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q（﹣m，n），由点P（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，点Q在直线y＝x－3的图象上，得出mn=﹣10，m+n=﹣3，再将变形为 ，代入计算即可．

试题解析：

(1)∵点B在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为－1，

∴当y＝－1时，x－3＝－1，解得x＝2，

∴B(2，－1)．设点A的坐标为(2，t)，则t＜－1，AB＝－1－t.

∵S△OAB＝4，

∴ (－1－t)×2＝4，解得t＝－5，

∴点A的坐标为(2，－5)．

∵点A在反比例函数y＝ (k＜0)的图象上，

∴－5＝，解得k＝－10.

(2)∵P，Q两点关于y轴对称，点P的坐标为(m，n)，

∴Q(－m，n)，

∵点P在反比例函数y＝－的图象上，点Q在直线y＝x－3的图象上，

∴n＝－，n＝－m－3，

∴mn＝－10，m＋n＝－3，

∴＋＝＝＝＝－

23．（1）第30分钟注意力更集中；（2）老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完成这道题目，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断.

（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．

试题解析：

(1)由题意得y1＝2x＋20(0≤x≤10)，y2＝ (x≥25)，

当x1＝5时，y1＝30，当x2＝30时，y2＝，

∴y1＜y2，

∴第30分钟注意力更集中

(2)令y1＝36，∴36＝2x＋20，

∴x＝8，令y2＝36，

∴36＝，∴x＝≈27.8，

∵27.8－8＝19.8＞19，

∴老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完成这道题目

点睛：本题主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．

24．（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据相似三角形判定的方法，判断出△CEH∽△GBH，即可推得结论；

（2）作EM⊥AB于M，则EM=BC=AD，AM=DE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：=3，得出BG=CE=a，AG=5a，证明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性质得出EG•EF=DE•EC，由平行线证出=，得出EF=EG，求出EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=a，即可得出结果．

试题解析：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴．

（2）作EM⊥AB于M，如图所示：

则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：=3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EG•EF=DE•EC，∵CD∥AB，∴=，∴=，∴EF=EG，∴EG•EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==．

25．(1)①点B的坐标为(1，0)；②y＝－x2－x＋2；(2)存在点M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.

【解析】

【试题分析】（1）①先求的直线y=x+2与x轴、y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（3）证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；③当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．

试题解析：

(1)①对于直线y＝x＋2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4，

∴C(0，2)，A(－4，0)，

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线x＝－对称，

∴点B的坐标为(1，0)；

②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－4，0)，B(1，0)，

∴可设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，

又∵抛物线过点C(0，2)，

∴2＝－4a，

∴a＝－，

∴y＝－x2－x＋2　

(2)在Rt△AOC中，易知△ABC∽△ACO∽△CBO，

如图，①当M点与C点重合，即M(0，2)时，△MAN∽△BAC；

②根据抛物线的对称性，当M(－3，2)时，△MAN∽△ABC；

③当点M在第四象限时，设M(n，－ n2－n＋2)，则N(n，0)，

∴MN＝n2＋n－2，AN＝n＋4，

当＝时，MN＝AN，即n2＋n－2＝ (n＋4)，

整理得n2＋2n－8＝0，解得n1＝－4(舍)，n2＝2，

∴M(2，－3)；

当＝时，MN＝2AN，即n2＋n－2＝2(n＋4)，

整理得n2－n－20＝0解得n1＝－4(舍)，n2＝5，

∴M(5，－18)．

综上所述，存在点M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.

点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与相似三角形的综合应用，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4a50aa2e5afafab069dc5022aaea998fcc2240df.html