2003年高考数学（理科）真题及答案[全国卷I]

2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数 学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1．已知9724b33be849de0ea139396aa87cbb98.png，0），b2c4c69840d8d5fc4e76f2ae8c3b45aa.png，则5c31d39092a4b8139e093ffbaf0f0bb0.png （ ）

（A）74be9009964746fd6030af234932cd9d.png （B）e0f210f4176042a3530271e0d55036b1.png （C）f65374af079059290d94480c74ece7ee.png （D）a8d71726a09479ee093ca79e48b6f09a.png

2．圆锥曲线6b72b3c394b947714ad5b886f1e1444d.png的准线方程是 （ ）

（A）dd5cdc42a02c982dd237af52b9965812.png （B）f337883ca8c50fbb604aef1091d222aa.png （C）10a9e5b11ff452de618631a19ec61432.png （D）18a24279d73dea563a262e77fd4c34d2.png

3．设函数797979c269e5ae1df5b276bb63db7628.png 14d13e9812764e200e03649548ed7be0.png，若636e26cde635688278ed77d9e5eb1f0a.png，则0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png的取值范围是 （ ）

（A）（768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png，1） （B）（768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png，47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png）

（C）（196e4ef52826478d4c903f3f9b627aca.png，02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png）f3cef465dc643930d97faf93729b90dc.png（0，47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png） （D）（196e4ef52826478d4c903f3f9b627aca.png，768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png）f3cef465dc643930d97faf93729b90dc.png（1，47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png）

4．函数1f5cc8a451cef1070f5cd652ab10ad92.png的最大值为 （ ）

（A）12c23528a899cb3ac176b76655a1f184.png （B）c8168f582ccafb1cc49f0ef6d5a66f3b.png （C）d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png （D）2

5．已知圆C：26f6cd7c8152200ee1f3fc28b3d3ebcf.png（323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png）及直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：df3e05b3fea0b3d2cc8d30b88cd4cf3c.png，当直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png被C截得的弦长为68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png时，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png （ ）

（A）d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png （B）e817de627d14f1cbdfb9318af4ae0a47.png （C）c8168f582ccafb1cc49f0ef6d5a66f3b.png （D）4bc3c43b38c136cb7a40b233c50b591e.png

6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

（A）53186bee022e1b461950c99e4625ccaf.png （B）4680c0bc4145727be0baafc7de59c68e.png （C）8962633e66ded65a76eb6369ba77388e.png （D）8cd923169c5e5f86cbf916a746ebcd13.png

7．已知方程0b4ace06490cd704acac835c90b94948.png的四个根组成一个首项为eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png的的等差数列，则fdad65bb4ceb46ad0845ae3cab9381e5.png （ ）

（A）1 （B）9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png （C）93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png （D）0580caa35cb38096c461dc12b333d6da.png

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（1801cfc88edd59ca7296ac197514e703.png，0），直线de1edca1d87138fa1b61b2997e47ca84.png与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为fc18bf9360e6895b9b01a774b18e3780.png，则此双曲线的方程是 （ ）

（A）77067df1ab3821b3a68396523ef837f3.png （B）d4a0816948e090011c0b779fc646a3d7.png （C）40b0782eeb1739aac8fc96fa74d00019.png （D）d84e59b89977a7d45820155fa669fc41.png

9．函数6eb3daa863c21e84e72a568c40963922.png，5ddb3dfca776c6a0b3278cf92ee9de42.png的反函数77d1894fc929f0d735829870ba9f6168.png （ ）

（A）8e50bd4409efd975736cc0797c94ebd7.png 3fd75b42e9abbb0ff5476f23489def2e.png，1] （B）065dd89de5466dfed690efb864b4ee5a.png 3fd75b42e9abbb0ff5476f23489def2e.png，1]

（C）c18b81bfd077c4dec6cf9641f5f16345.png 3fd75b42e9abbb0ff5476f23489def2e.png，1] （D）65a07f392733ed68eda0122b8b099a1e.png 3fd75b42e9abbb0ff5476f23489def2e.png，1]

10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点13899aa46204b02713a854702142955d.png沿与AB的夹角7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png的方向射到BC上的点47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.png后，依次反射到CD、DA和AB上的点2d145e3684093dda8dbfe869afa543f9.png、e796bf8ab080239efc771161ea64089d.png和36dd20a5095aff8b4a7c264950784993.png（入射角等于反射角），设36dd20a5095aff8b4a7c264950784993.png的坐标为（aa51775bcd244abf06e709f0cd80e614.png，0），若c794148aaa0ae287e9f3fb63661128a5.png，则tg7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png的取值范围是 （ ）

（A）（7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，1） （B）（7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png） （C）（add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png，93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png） （D）（add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png，6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png）

11．d8ce7b6e76263e515841e0ea0a3d86b1.png （ ）

（A）3 （B）7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png （C）6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png （D）6

12．一个四面体的所有棱长都为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）

（A）fe0ceaedf8bfef70a3094ca99ea01d24.png （B）57296c7d6fccf4e67a03f8918c574cb9.png （C）e783fba839d7ed5071e9babb19a47a36.png （D）79d01361857df52fb602490bcc57fc79.png

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．fafd1e6238e9f0ef1c5e1be2fc842a44.png的展开式中f81fed6f26bb1667dea76ed572714052.png系数是

14．使2aeadee681dbe6cccf76e48a5a41caf3.png成立的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的取值范围是

15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答）

16．下列5个正方体图形中，2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出036310b009c502a99d25f31eec3f095e.png面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）

① ② ③ ④ ⑤

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png的辐角为bd76c0b409f1a0fcf2abea803939c12a.png，且78a34d09eaf74d03a598186ef75d8408.png是425a78d383c3e5e5f9f095de1d5c5115.png和9ef6a66a3a3070787cc55b97f1e1aad7.png的等比中项，求425a78d383c3e5e5f9f095de1d5c5115.png

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，底面是等腰直角三角形，52f4c087296260b9cf32142373cb45e1.png，侧棱a47ae652c2226972ecdb9f2d98c200d5.png，D、E分别是86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png与8699feecc8808315ee780ac97d864391.png的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G

（I） 求8699feecc8808315ee780ac97d864391.png与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

（II） word/media/image105.gif求点e283f48f6f3d4077546b2b697c3eebad.png到平面AED的距离

19．（本小题满分12分）

已知96df96dd95bbf61a8224853c7a06c48c.png，设

P：函数f186ebdb3a38a05092385beb4c12e207.png在R上单调递减

Q：不等式61ef9b127f1a3e50521549b9482c4bbe.png的解集为R

如果P和Q有且仅有一个正确，求4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的取值范围

20．（本小题满分12分）

word/media/image111.gif 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南0439533bc083ea0967aa82b7b96ca5ef.png）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北964b97788c2e29b16b368d95a4b4dbfc.png方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21．（本小题满分14分）

word/media/image114.gif 已知常数323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，在矩形ABCD中，c35e42752132cf7a443d853ea352cc3b.png，ae9416b9fd8f60d80e0922d73d6eba84.png，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且1f1124b1993a6b746194bad63ad908c8.png，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分12分，附加题4 分）

（I）设3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png是集合bc4d9e6f5be9cee0936aa0987772a144.png 4e690b1aa616b227782521044528f4f4.png且d2a8d937a09e10af8f69f5ffb4670e1e.png}中所有的数从小到大排列成的数列，即7ae9fa917ce60c9924806540f32b5c68.png，4deb0d0926b91812daaa18ec7a0c5b10.png，7d3325354de47b73d58a6099ab948996.png，685582f803ed89925971cfe27e8bc827.png，d9450ad3e871e2226cc69caba7dd85c7.png，a464d4101f1a1fbb7b77980469f31356.png，…

将数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

5 6

9 10 12

— — — —

…………

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求486338e933b3145b566c578a9ce25952.png

（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）

设eac391c0815f72031ce6673528b827f2.png是集合f459c1d3e0e12289b733ee4c987531d9.png，且1ea25792d33c29215d3a3eab8dc4964a.png中所有的数从小到大排列成的数列，已知2051d88950e7979102e9d21432b6cc2d.png，求8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png.

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(理工农医类)答案

一、选择题

1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A

二、填空题

13．beced682ae6ebce4cd53dd664c010b2a.png 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤

三、解答题：

17． 解：设d206f71279d4807fa614b59c9204d8ee.png，则复数56e5ccf653f2f35b33d398faa0d7b133.pngef740061a993cf0eec35239e8fec847b.png由题设

d64e7e2ca1243298e54b1a308c4a79c9.png

18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

48b389d96e9bb2a62b0ff97b6011a95c.png

（Ⅱ）解：afccc79474c6109ea1488a069daa618e.png

e47fe8485cb0c1d5b602fb47d673a6e7.png

19．

解：函数f186ebdb3a38a05092385beb4c12e207.png在R上单调递减8362f399d06a18d538da4ede1b4b8d24.png

不等式a8db41b6dd862274ad10981a961c3112.png

eaf80c1f385ca7af419cc64b01d50b49.png

20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：（1）台风中心P（959a3285040ec571587840d4ec6d2d09.png）的坐标为b1b7401e020fc2b4419d3cba715d6f59.png

此时台风侵袭的区域是c9bb31c285323594184be5484eddf0a1.png

其中0d30dc823595e1c74e3c1fd884348cec.png若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

10c527ae5fe705c0ab9f95fa973e6cb4.png即0555c9e233be9b4855877ff6ed329253.png

ae3f5219e77d990085b3f55e898e46b0.png

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设8c3f892931b88234e29d71bdbfe9138d.png

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：4b610a5ebc160178046b026d2814b5ec.png①

直线GE的方程为：c5a1b37eea63ec4b27fb71418ff1ac7d.png②

从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程7b683bd816f61cec287e9955d9342da6.png

整理得8e836c76036babdc4b4ce4b88d0ea7c9.png 当a204babfafb31bcc468dfab422b22db8.png时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当ba09ecb9ff37700ad34a8422877a4738.png时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。

当9a0698840eae33eeaa605bd2c6b2136b.png时，点P到椭圆两个焦点（d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的距离之和为定值d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png。

当96edfc41632b728a7620ecd6fc1bb3c2.png时，点P 到椭圆两个焦点（0，09cda698db4bb206b4d543c442c1c219.png 的距离之和为定值20cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png.

22．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48

（i i）解：设8497926f60b0319e7f16f8e31952927e.png，只须确定正整数a6266832bf401bb211bdb0cef4a67641.png

数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png中小于193d66f5e2eaadca91ac10d2b7919282.png的项构成的子集为 8d49dc22b11f49b3a3b5977e51035c69.png

其元素个数为984f82cc7cdd1253add3e8d70fcf8a60.png满足等式的最大整数6d523d2156a1f903c9cd55ab12627d5f.png为14，所以取dc8957541e720664e959420ea608780d.png

因为100－bd495ed3331c4fe3eaeeb3896020e942.png

（Ⅱ）解：226c236647a87d1fde6969f39ca2df6e.png令41157d5f7a9eb0da4a769ad47e64f536.png

因453e2b0827b26cc55b7c4bcae1e2a4fe.png

现在求M的元素个数：fc5387826b1bcbe96132a1aa66f39ec7.png

其元素个数为78e32d7aba6e55057fcd3c11f9279ade.png： 7bdd33d20efc38c701098d6486a938a9.png

某元素个数为ab742c9eee937e5a1a38e7b8e1e2399f.png

某元素个数为b3a8eadcc9722e0d5e9dd131973fc789.png

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4bc4bf4770fe910ef12d2af90242a8956aecaa23.html