2003年高考数学

2003年高考数学

最后一讲

江 苏 省 启 东 中 学

中国数学奥林匹克高级教练

曹 瑞 彬

第一部分 考点分析与预测

（一） 集合、映射、简易逻辑

考点分析

1、 集合、集合的运算

2、 映射的概念

3、 逻辑连接词、充要条件、四种命题

命题趋势：

集合与简易逻辑以选择题或填空体形式出现，属低挡题。

例1、 若A、B为实数，集合A=｛a，，1｝，B=｛a2，a+b，0｝，若A=B，则a2002+b2003=（ ）

A、1 B、－2 C、－1 D、±1

解：因为a≠0，0≠1，所以=0，所以b=0， a2=1，所以a=±1，又由集合元素互异性得：a=－1，答案选C。

例2、 A=｛1，2，3，4，5，｝，B=｛6，7，8，｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（ ）

A、27 B、9 C、21 D、12

解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C个

（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有C·C=12个

（3）有二个不等号的映射，f有C·C=6个。

所以共有3+12+6=21个，答案选C。

例3、已知命题甲x≠2或y≠3；命题乙x+y≠5，则甲是乙的（ ）

A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既不充分也非必要条件

解：由x=1，y=4 x+y=5故甲不是乙的充分条件。其次我们考虑其甲、乙的否命题分别是x=2，y=3、 x+y=5故甲是乙的必要条件，答案选B。

（二）函数

考点分析

1、有关函数的图象及其性质

2、函数的最值问题

3、有关函数的证明题

4、有关函数的应用性问题

5、有关函数的的综合题

命题趋势

1、 对于函数概念与函数性质、图象的直接考查将在选择与填空中出现。

2、 函数与其他方面知识交汇点。如不等式、数列、解析几何有关综合问题。这类题以大题形式出现，属高档题。

3、 函数应用题仍将是命题的热点，主要考函数的性质，建立函数模型及解读信息的能力。

4、 常见的几种初等函数，尤其是二次函数，抽象函数，分段函数，对数函数与其他综合。

例4、 二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2－x），又f（2）=1，f（0）=3，若在[0，m]有最小值1，最大值3则m的取值范围是（ ）

A、0＜m≤2 B、m≥2

C、m＞0 D、2≤m≤4

解：f（2+x）=f（2－x），可得其对称轴

是x=2，及f（2）=1，f（0）=3，可作出如图的草图，有图可知m的取值范围是2≤m≤4，答案是D。

例5、设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则f（－1）+f（1）（ ）

A、大于0 B、小于0

C、等于0 D、以上结论都不对

解：由图可知f（x）=ax（x+x1）（x－x2）（a＜0）

f（－1）+f（1）= －a（－1+x1）（－1－x2）+a（1+x1）（1－x2）

=2a（x1－ x2）＞0 故答案选A

例6、函数y=f（x）有以下表达式：

0 当x＜a时

y=f（x）= 当a≤x≤b时

1 当x＞b时

（1） 证明对x≥，都有f（x）≥；

（2） 是否存在实数c，使之满足f（c）≥ 如有请求出它的范围，若没有请说明理由。

解：（1）①当x＞b时，f（x）=1＞成立；

②当≤x≤b时，由题设有f（x）=，

而对于所给的≤x1≤x2≤b，f（x1）－f（x2）=＜0，所以f（x）在[，b]上是递增函数，所以f（x）≥==，即所给的x∈[，b]，f（x）≥。

（2）①当≤0，即a+b≤0时，对任意c∈R，f（x）≥

②当＞1，即a+b＞2时，由题设f（c）≤1，矛盾即不存在满足要求的c。

③当=1，即a+b=2时，由题设c≥b时

f（c）=1满足。

④当0＜＜1，即0＜a+b＜2时，令f（x0）=，解得x0=a+,因为c≥x0时恒有f（c）≥f（x0），从而当c≥a+时，f（c）≥。

例7、已知函数f（x）=（a、b、c、∈N）的图象按 a=（－1，0）平移后得到的图象关于原点对称，f（2）=2，f（3）＜3

（1）求a、b、c的值； （2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证：|t+x|+|t－x|＜|f（tx+1）|；

（3）设x为正实数，

求证f n（x+1）－f（xn+1）≥2n－2.

解：（1）函数f（x）的图象按a=（－1，0）平移后得到的图象的函数式为f（x）=，∵图象关于原点对称， ∵f（－x+1）= －f（x+1），即=－，

∵ a∈N所以ax2+1＞1，所以－bx+c=－bx－c

∴ c=0，又 ∵f（2）=2， =2，∴a+1=2b，

∴a=2b－1……①

又∵f（3）=<3 ∴ 4a+1<6b ……②

由①②及a、b∈N得：a=1，b=1，c=0.

（2）f（x）=，∴f（tx+1）=tx+，

∴|f（tx+1）|=|tx+|=|tx|+||≥2=2，

当且仅当|tx|=1时上式取等号，但0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，∴|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2；

而（|t+x|+|t－x|）2=2（t2+x2）+2|t2－x2|，当|t|＞|x|时，

上式=4t2≤4；当|t|≤|x|时，上式=4x2＜4，

∴|t+x|+|t－x|≤2＜|f（tx+1）|，

即|t+x|+|t－x|＜|f（tx+1）|；

（3） fn（x+1）－f（xn+1）=（x+）n－（xn+）

=Cxn-1·+ C xn-2·+…+ Cx·

= Cxn-2+ C xn-4+…+ C

= [ C（xn-2+）+ C（xn-4+）+…+ C（+ xn-2）]

≥C+ C+…+ C=2n－2.

（三）向量与三角

考点分析

（1）向量的概念与运算；（2）向量的应用；

（3）角的范围；（4）三角函数的性质；

（5）三角函数的变换与图象变化；

（6）正弦定理、余弦定理，解斜三角形；

命题趋势：

（1） 向量的概念，向量的基本运算主要以填空题形式出现，属中、低档题；

（2） 向量的应用与三角，解析几何等问题结合，在综合题中出现；

（3） 三角函数的图象与性质，主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性、对称性及图象的变换等，以选择题和填空题的形式出现，一般这些试题所涉及三角函数的知识点两个或两个以上。考查知识来源于教材；

（4） 三角函数的变换，主要考查公式的应用，变换能力，解斜三角形；

（5） 三角的应用，主要考查三角在解析几何中的应用，三角代换的应用

例8、点P分有向线段MN的比为λ且|MN|=3|NP|，则λ的值是（ ）

A、4或－2 B、－3或1 C、－4或2 D、－3或－1

解：可作图来判断

答案选C

例9、下列命题：

1 若a与b为非零向量，且a∥b时，则a—b必与a或b中之一的方向相同；

2 若e为单位向量，且a∥e，则a=|a|e；

3 a·a·a=|a|3

4 若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线

⑤若平面内四个点A、B、C、D则必有AC+BD=BC+AD

正确的命题个数为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、0

例10．若向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则a与b一定满足（ ）

A、a与b的夹角等于α－β

B、（a+b）⊥（a－b）

C、a∥b D、a⊥b

解：（a+b）·（a－b）=（cosα+ cosβ）·（cosα－ cosβ）+（sinα+ sinβ）·（sinα－ sinβ）= cos2α－ cos2β+ sin2α－ sin2β=0 ∴ a+b⊥ a－b故答案选B

例11、已知△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c若cos（+A）+cosA=，b+c=a，求A、B、C的大小。

解：由cos（+A）+cosA=，得sin2A+cosA=

4cos2A－4cosA+1=0， cosA=

∵ A是△ABC的内角，∴A=，B+C=

由正弦定理，知sinB+sinC=sinA=

2sincos=， cos=

B、C是△ABC的内角

B－C=或C－B=.

(四）数列

考点分析

（1）有关等差数列，等比数列的概念与性质

（2）数列｛an｝与｛sn｝问题

（3）有关数列的综合题及应用题

命题趋势

（1）选择题和填空题主要考查等差数、等比数的概念与性质为主

（2）解答题中会把等差数列、等比数列及性质与不等式，函数相结合，来命制综合题，一般要求较高，要特别注意探索性问题

（3）数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.

例13、已知等差数列｛an｝的首项a1=1，且公差d＞0，第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛bn｝的第二项、第三项、第四项

（1） 求数列｛an｝与｛bn｝通项公式;

（2） 设数列｛cn｝对任意自然数n均有

++…+=an+1成立，

求c1+c2+…+c2003的值.

解：（1）由题意得：

（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2

解得d=2， a1=2n－1 易得bn=3n-1

（2）由题意得： =an+1－an=2 （n≥2）

∴ cn=2 bn=2·3n-1 （n≥2）

当n=1时cn=a2·b1=3 ∴cn=

C1+C2+…+C2003=3+2×3+2×32+……+2×32002=32003

例14．已知：正项等比数列{an}满足条件：①a1+a2+a3+a4+a5=121；②；求{an}的通项公式an。

解：设等比数列的公比为q，由已知条件得

…………（1）

…………（2）

（1）×（2）q2+q+1+

即：

(舍去) 所以

故

（五）不等式

考点分析：

（1）有关不等式性质;（2）有关不等式的解法;

（3）不等式证明;（4）不等式的综合应用.

命题趋势：

（1）在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题。

（2）在选择题与填空题中注意不等式的解法,求参数的取值范围，以及求最大值和最小值及应用题。

（3）解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法。

例15．有三个条件：（1）ac2>bc2；(2)＞；(3)a2>b2，其中能分别成为a>b的充分条件的个数有（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

解：（1）由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故ac2>bc2是a>b的充分条件。（2）c<0时，a<b。（3）a<0时，a<b，故（2）、（3）不是a>b的充分必要条件，故答案选B。

例16．解关于x的 不等式：

解：

（1）若<0，即－1<a<1时，x2－2ax+1>0恒成立 ,

∴原不等式的解集是{x}

(2)若△=0，即①a=1，原不等式的解集是②若a=－1时，原不等式的解集是

(3)若△＞0时，①a>1时，原不等式等价于:

x·(x－a+)( x－a－)>0 其解集为:

{x|0<x< a－或x> a+}

②a<－1时，解为a－<x< a+或x>0

例17．已知a>b>c，a+b+c=0。方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2

（1） 证明：－；

（2） 若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22

（3） 求

解：（1）∵ a>b>c，a+b+c=0,

∴,

∴ a>0，1>,

∴.

(2)(方法1) ∵a+b+c=0

∴ ax2+bx+c=0有一根为1，

不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，而x2=x1x2=<0 (3c<a+b+c=0)，

∴ x2=－1, ∴x12－x1x2+x22=3.

(方法2) x1+x2=－，x1x2=

1=x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－ x1x2==1，

∴

∴x12-x1x2+x22=x12+x1x2+x22- 2x1x2

=1－2x1x2=1+.

（3）（方法1）由（2）知，

=

∴－

∴。

（ 方法2）∵（x1－x2）2=(x1+x2)2－4x1x2=

又∵－, ∴, ∴|x1－x2|=

∴|x12－x22|=| (),

当0时，|x12－x22|=（）2－1；

当－时，|x12－x22|=－（）2+1

综上， 。

（六）立体几何

考点分析：

(1)有关平行问题; (2)有关垂直问题

(3)空间角与距离的计算; (4)简单多面体

命题趋势：

(1)线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系。

(2)多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现。

(3)多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现。

(4)有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点。

例18．设m、n是两条直线，那么使m//n成立的一个必要不充分条件是（ ）

A. m、n与同一平面垂直; B. m、n与同一直线垂直;

C. m、n与同一平面成等角; D. m、n与同一直线平行.

答案选C

例19．足球的表面是由黑白两色多边形组成，其中黑色的为五边形，白色的为六边形，则制作一只足球需 块黑皮和 块白皮。

解：设五边形为x个，六边形为y个，则

5x+6y=2E

F=x+y x=12, y=20

3V=2E

V+F－E=2

例20．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60角，

BC1⊥AC，BC1=2Cm.

(1) 求证：ACAC1；

(2) 求BC1与底面ABC所成的角。

解：（1）连AG，∵AC⊥AB，AC⊥BC1 ∴AC⊥平面ABC1 ∴AC⊥AC1

（2）过C1作C1H⊥AB，由（1）证明得：平面ABC1⊥平面ABC，∴C1H⊥平面ABC

连CH，则∠C1BH就是直线BC1与底面ABC所成的角。设AH=x,则BH=2－x

∴C1H==，CH2=BH2+BC2－2BH·BC·cos45°=(2－x)2+2×(2－x) ×2·=4+x2

又∵tan60°= ∴=3，x=2或x=－1

∴tan∠C1BH== 或90°。

（七）解析几何

考点分析：

（1） 直线的基本概念

（2） 二次曲线的定义与方程

（3） 有关轨迹问题

（4） 直线与二次曲线的位置关系

命题趋势：

1．直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考。

2．直线与二次曲线的普遍方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现。

3．考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题。

4．有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生几何知识与代数知识的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求教高。

例21．椭圆（a>b>0）的两焦点为F1,F2，连接点F1，F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

解：设F1F2=2c，则PF1=c，PF2=c ,

∴2e=（+1）c.

故 e===—1，答案选D。

例22．已知N（3，1），点A、B分别在直线y=x和y=0上，则△ABN的周长的最小值是 。

解：分别作N关于直线y=x及y=0的对称点，N’(1,3) N’’(3,－1)，连N’N’’交y=x与y=0于A、B。则△ABN就是周长最小的三角形。其最小值是。

例23．已知△OFQ的面积为2，

且·=m，

（I）若<m<4时，求向量与的夹角θ的取值范围。

（II）设||=c，m=()c2时，若以O 为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，当||取得最小时，求双曲线的方程.

解：（I）由已知，得

||·||sin(π－θ)=2

||·||cosθ=m

所以tanθ=，∵<m<4

∴1θ<4，则<θ

(II)以O为原点，所在直线建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为：

，（a>0，b>0），Q点的坐标为（x1 ，y1），则=（x1－c，y1），

∵△OFQ的面积||y1=2，∴y1=，

又由·=（c，0）( x1－c，y1)=( x1－c)c2，所以x1=

，当且仅当c=4时，最小，

此时Q的坐标为

由此可得

解之得

故所求的方程为:

例24．已知直线 ：，双曲线C： ，双曲线C关于直线对称的双曲线记为

（1）当k=1时，求的方程

（2）求证不论k为何值时，双曲线C与总有公共点

[说明]本题考查直线与圆锥曲线的位置关系和对称性。本题能力要求较高，作为高考压轴题，这类题是常见的一类

[解答]（1）当k=1时，：y=x－1,设P(x,y)是双曲线上的任意一点，

则点P关于直线y=x－1对称的点Q（y+1, x－1）

故，即为所求的双曲线

（2）双曲线C与相交，其交点有两种情况，一是交点在上，二是交点不在上

①若C与相交且交点在上，则只要直线与双曲线C相交，所以

(*)

若,即时，，此时直线与双曲线C有一个交点

若，即时，方程（*）的判别式

△=,所以.

所以直线与双曲线C有交点时，

②若C与相交且交点不在直线上，设C与交于点P。则点P关于直线对称的点Q也是双曲线C与的交点，即双曲线C上存在两个不同点P、Q关于直线对称

设PQ的方程为：，（因为PQ）

(* *)

由题意知方程（* *）应有两个不同的解，所以

△=（***）

设PQ中点M(，)，

则由韦达定理，得

因为M(，)在直线上，所以代入直线方程，得

　代入（***）式，得

解不等式得:

故C与有交点时，k的取值范围是R，也就是说不论k为何值时C与恒有交点

(八)排列组合、二项式定理、概率与统计及导数

考点分析：

（1）排列、组合的综合应用

（2）二项定理性质及应用

（3）随机事件的概率，等可能事件的概率，互斥事件的概率，相互独立事件的概率，独立重复事件有一个发生的概率
（4）统计知识
（5）导数的概念及应用

命题趋势

（1）排列、组合、概率与统计还将在选择与填空中出现，可能与实际背景及几何题材有关

（2）导数主要以函数的切线有关及最值、单调性有关

例25．一道数学竞赛题，甲生解出它的概率为1/2，乙生解出它的概率为1/3，丙生解出它的概率为1/4。由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为

解：甲解出乙、丙没有解出的概率为：

乙解出甲、丙没有解出的概率为：

丙解出甲、乙没有解出的概率为：

故独立解答此题只有一人解出的概率为：

例26图中的每个开关都有闭合与不闭合两种，因此5个开关共有种可能，在这种可能中，电路从P到Q接通的概情况共有（ ）

A．30种 B．24种 C．16种 D．12种

1 2

P

3

Q

4 5

解法一：（i）若5个开关全闭，则只有一种情况

（ii）若4个开关闭，一个开关断，则有

（iii）若有3个开关闭，二个开关断，则有

（iv）若有2个开关闭，三个开关断则有：2

故共有（种） 故答案选C

解法二：考虑开关3，（i）若3断，则形如图甲电路，通的情况有7种

1 2

P

4 5 Q

（甲）

（ii）若3开，则形如图乙电路，通的情况有种故共16种，答案选C

1 2

P

4 5 Q

（乙）

例27．已知a>0,函数y=f(x)=在是一个单调函数，

（1）试问函数y=f(x)在a>0的条件下，在上能否是单调递减函数？请说明理由

（2）若f(x)在区间上是单调递增函数，试求出实数a的取值范围：

（3）设，求证：

解：（1）

若f(x)在上是单调递减函数，则须，即，这样的实数a不存在，故f(x)在上不可能是单调递减函数

（2）若f(x)在上是单调递增函数，则

由于，故

从而

（3）由（1）、（2）可知f(x)在上只能是单调增函数

若，则矛盾，

若，则，即矛盾

故只有成立

（3）的别证：设，则，∴，，

两式相减得

∴，

∵，

∴，又，

∴

∴，即，亦即，证毕

第二部分 应用性问题及信息题、动手题

1、 基本方法

求解高中数学应用问题的一般步骤：具体的建模分析

关系分析法 列表分析法 图像分析法

求解数学应用性问题必须突破的三关

事理关 文理关 数理关

阅读应用题时几个要点：

划分题目的层次 领会关键词语 弄清题图联系

2、 基本题型

建立函数模型 建立数列模型 建立不等式模型建立三角函数模型

建立直线模型或圆锥曲线模型 建立计数模型 建立概率模型

3、 命题趋势：

函数、数列、不等式、概率综合模型最容易考

强化数学应用意识、突出数学建模思想

贴近学生认识水平，联系社会热点问题

题量是一大一小或一大二小

例28：某市举行“抗非典”足球义赛，由全市的6支企业职工业余足球队参加，比赛组委会规定，比赛采取单循环制进行，每个队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则参加比赛的市工商银行队的可能的积分值有：（ ）

A 13种 B 14种 C 15种 D 16种

解：得分最高15分，最低是0－分，其中14分不能得到，故共有15种，答案选C

例29，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，得出一天中环境综合污染指数f(x)与时间x(小时)的关系为f(x)=| sin|x－18|+－ a|+2a ,x∈[0,24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[0,],若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记作M(a),

求函数M（a）;

市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？

解：设t=sin|x－18|,

∵0≤x≤24,

∴0≤|x－18|≤

∴0≤t≤,

∴f(x)=g(t)=|t+－a|+2a,t∈[0,]

∵g(t)的图像为线段或折线段，故g(t)的最大值在端点或折点处取得。

又当g(t)的图象为折线时，在转折点处的t值为a－，而g(a－)=2a≤max{g(0),g()},∴g(t)的最大值M(a)=max{g(0),g()}=max{|－a|+2a,|－a|+2a}

a+,0≤a<

g(0)=

3a－,≤a≤

g()= a+,0≤a≤

画出草图，并解方程组

y= 3a －,

得a=

y= a+

a+,0≤a<

从而知M(a)=

3a－,≤a≤

由图象知M（a）为增函数，故M（a）的最大值为

M（）=3×—= <2

所以目前市中心的污染指数没有超标。

例30．有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计），有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）,

（）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V；

（）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V>V.

x

x

图（a） 图（b）

解：（）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4—2x,高为x,所以V=(4－2x)·x=(4x－ 4x+4x),(0<x<2).

∴V’ =4(3x－8x+4)

令V’ =0,得x=, x=2(舍去)

而V’ =12(x－)(x－2),

又当x<时, V’ >0,当<x<2时, V’ <0,

∴当x=时, V取最大值

（）重新设计方案如下：

如图，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图，将图焊成长方体容器。

新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积

V=3×2×1=6，显然V>V

故第二种方案符合要求。

3 1

1

4

3

图 图 图

另外还可以如图

4

V=2×4×=> V 图

还可以如图

图

V=××=> V

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