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(完整版)2018年上海高考数学真题及答案,推荐文档-

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--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 2018 年上海市高考数学试
卷参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分， 第1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4 分（2018•上海）行列式．
【考点】OM：二阶行列式的定义．
的值为 18
【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ： 矩阵和变换．
【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．
【解答】解：行列式案为：18．
=4×5﹣2×1=18．
故答
--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的 应用，是基本知识的考查．

2．（4 分（2018•上海）双曲线﹣y2=1 的渐近线 方程为
± ．
【考点】KC：双曲线的性质．

【专题】11 ：计算题．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴， 再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线在 x 轴上
而双曲线 的渐近线方程为 y=±
的 a=2，b=1，
焦点
--

--WORD 格式--专业资料--可编辑---
∴双曲线的渐近线方程为 y=±
故答案为：y=±
【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程， 解题时要注意先定位，再定量的解题思想

3．（4 分（2018•上海）在（1+x）7 的二项展开式中， x2 项的系数为 示．
【考点】DA：二项式定理． 【专题】38 ：二项式定理．
【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中 x2 的系数．
：对应思想；4O：定义法；5P 21 （结果用数值表
--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 【解答】解：二项式（1+x）7 展开式的通项公式 为
Tr+1=•xr，
令 r=2，得展开式中 x2 的系数为
故答案为：21．
【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的 应用问题，是基础题．
=21．
4．（4 分（2018•上海）设常数 a∈R，函数 f（x） =1og2（x+a．若 f（x）的反函数的图象经过 点（3，1，则 a= 【考点】4R：反函数． 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想； 7 ．
4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】由反函数的性质得函数 f（x）

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- =1og2（x+a）的图象经过点（1，3，由此能求出 a．
【解答】解：∵常数 a∈R，函数 f（x） =1og2（x+a．
的反函数的图象经过点（3，1， ∴函数 f（x）=1og2（x+a）的图象经过点 （1，3，
∴log2（1+a）=3，解得 a=7． 故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
f（x）
5．（4 分（2018•上海）已知复数 z 满足

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- （1+i）z=1﹣7i（i 是虚数单位，则|z|= ．
【考点】A8：复数的模． 【专题】38 ：对应思想；4A 5 ：数学模型法；
5N ：数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i， 得
，

则|z|= 故答案为：5．
．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算， 考查了复数模的求法，是基础题．

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 6．（4 分（2018•上海）记等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a3=0，a6+a7=14，则 S7= ．
【考点】85：等差数列的前 n 项和．
14
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；
4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组， 求出 a1=﹣4，d=2，由此能求出 S7． 【解答】解：∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=0，a6+a7=14，
∴，
解得 a1=﹣4，d=2， ∴S7=7a1+故答案为：14．
=﹣28+42=14．

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 【点评】本题考查等差数列的前 7 项和的求法， 考查等差数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

7．（5 分（2018•上海）已知 α∈{﹣2，﹣1，﹣
，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα 为奇函数，且在（0，+∞）上递减， 则 α= ﹣1 ．
【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、 值域． 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；
4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】由幂函数 f（x）=xα 为奇函数，且在 （0，+∞）上递减，得到 a 是奇数，且

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- a＜0，由此能求出 a 的值． 【解答】解： ∵α∈{﹣2，﹣1，
，1，2，3}，
幂函数 f（x）=xα 为奇函数，且在（0，+∞） 上递 减，
∴a 是奇数，且 a＜0， ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题．

8．（5 分（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣1，0、B（2，0，E、F 是 y 轴上的两个动点，且| |=2，则 的最小值

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 为 ﹣3 ．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】11 ：向量法；5A ：计算题；35 ：转化思想；41 ：平面向量及应用．
【分析】据题意可设 E（0，a，F（0，b，从而得出 |a﹣b|=2，即 a=b+2，或 b=a+2， 并可求得 ， 将 a=b+2 带入上式即可求出 理将 b=a+2 带入，也可求出 值．
【解答】解：根据题意，设 E（0，a， F（0，b； ∴
；
的最小值，同
的 最 小
∴a=b+2，或 b=a+2； 且
；

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- ∴ ；
； ；
当 a=b+2 时， ∵b2+2b﹣2 的最小值为∴ 的最小值为﹣3，同理求出 b=a+2 时，
的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．
【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离， 根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标 的数量积运算，二次函数求最值的公式．

9．（5 分（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 （结果用最简分数表示．



--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【专题】11 ：综合法；5I ：计算题；34 ：概率与统计．
：方程思想；49 【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为 9 克的事件总数，然后求解概率即可．
【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个， 从中随机选取三个，3 个数中含有 1 个 2；2 个 2，没有 2，3 种情况， 所 有的事件总数为： 1 或 5，2，2 两个，
=10，
这三个砝码的总质量为 9 克的事件只有： 5，3，
--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 所以：这三个砝码的总质量为 9 克的概率是： =， 故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的概率的求法， 是基本知识的考查．

10．（5 分（2018•上海）设等比数列{an}的通项公式为 an=qn﹣1（n∈N*，前 n 项和为 Sn．若

= ，则 q= 3 ．
【考点】8J：数列的极限． 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：点列、递：转化思想；49 ：综合法；55 归数列与数学归纳法．
【分析】利用等比数列的通项公式求出首项， 通 过数列的极限，列出方程，求解公比即

--

--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 可．
【解答】解：等比数列{an}的通项公式为 a =qn﹣1（n∈N*，可得 a1=1， 因为= ，所以数列的公比不是 1， ，an+1=qn．
可得= == = ，
可得 q=3． 故答案为：3．
【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．

11．（5 分（2018•上海）已知常数 a＞0，函数 f（x）= 的图象经过点 P（p， ，

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- Q（q， ．若 2p+q=36pq，则 a= 6 ．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

【专题】35 及应用．
【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值． 【解答】解：函数 f（x）=P（p， ，Q（q， ．则：
，
整理得：解得：2p+q=a2pq， 由于：2p+q=36pq， 所以：a2=36，
=1，
的图象经过点
：转化思想；51 ：函数的性质
--

--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 由 于 a＞0， 故 ：a=6． 故答案为：6 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的 应用，代数式的变换问题的应用．

12．（5 分（2018•上海）已知实数 x1、x2、y1、y2 满足：
x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2 +y1y2=，则
+的最大值为 + ．
【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直 线的距离公式． 【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】设 A（x1，y1，B（x2，y2，

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- =（x1，y1， =（x2，y2，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB=1，+
的几何意义为点 A，B 两点到直线
x+y﹣1=0 的距离d1 与 d2 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
【解答】解：设 A（x1，y1，B（x2，y2， =（x1，y1， =（x2，y2，由
2+y 2=1，x 2+y 2=1，x x 1 1 2 2 1x2+y1y2=，可得 A，B
两点在圆 x2+y2=1 上， 且 • =1×1×cos∠AOB= ， 即有∠AOB=60°，
即三角形 OAB 为等边三角形， AB=1，
+ 的几何意义为点 A，B 两点

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 到直线 x+y﹣1=0 的距离 d1 与 d2 之和，显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1 平行，
可设 AB：x+y+t=0，（t＞0， 由圆心 O 到直线 AB 的距离 d=可得
2=1，解得 t=，
= ，
，
即有两平行线的距离为即+的最大值为 +，
故答案为： + ．
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分， 每 题 5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5 分（2018•上海）设 P 是椭圆 =1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之 和为 （ ）
A．2 B．2 C．2 D．4 【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，转化求解即可． 【解答】解：椭圆
=1 的焦点坐标在 x 轴，

--

--WORD 格式--专业资料--可编辑--- a= ，
P 是椭圆 =1 上的动点，由椭圆的定义可知： 则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2 ． 故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用， 椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．

14．（5 分（2018•上海）已知 a∈R，则 “a＞1” 是“＜1”的（
）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件． 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 4O：定义法；5L 【分析“a＞1”⇒“：简易逻辑． ，“”⇒“a＞1 或 a＜0”，由此能求出结果． 【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“ ⇒“a＞1 或 a＜0， ∴“a＞1”是“ 件． 故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断， 考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
”的充分非必要条，
“”

15．（5 分（2018•上海《fh章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马， 设 AA1 是正六棱柱的一条侧棱，如

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数 是 （ ）

A．4 B．8 C．12 D．16 【考点】D8：排列、组合的实际应用．

【专题】11 ：计算题；38 ：排列组合．
：对应思想；
4R：转化法；5O 【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．
【解答】解：根据正六边形的性质，则
D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1 满足题意，而

--

--WORD 格式--专业资料--可编辑--- C1，E1，C，D，E，和 一样，有 2×6=12，
D1
当 A1ACC1 为底面矩形，有 2 个满足题意，当 A1AEE1 为底面矩形，有 2 个满足题意，故有 12+2+2=16 故选：D．

【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的 问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．

16．（5 分（2018•上海）设 D 是含数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ A．
）
B． C． D．0 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值． 【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个 单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当 f（1） = ，，0 时，此时得到的圆心角为， ，0，然而此时 x=0 或者 x=1 时，都有 2 个

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y，因此只有当 x=， 此时旋转，此时满足一个 x 只会对应一个y，因此答案就选：B． 故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的 应用．

三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（14 分（2018•上海）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2．
﹣1﹣ 设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积； ﹣2﹣ 设 PO=4，OA、OB 是底面半径，且

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- ∠AOB=90°，M 为线段 AB 的中点，如图．求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】11 ：向量法；5F ：空间角．
【分析】（1）由圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O， 半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积．
：计算题；31 ：数形结合；41 ：空间位置关系与距离；5G
--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- （2）以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角． 【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为 P，底面圆心为O，半径为 2，圆锥的母线长为 4， ∴圆锥的体积 V==．
= （2）∵PO=4，OA，OB 是底面半径，且 ∠AOB=90°，
M 为线段 AB 的中点，
∴以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，
建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， P（0，0，4， A（2，0，0，B（0，2，0， M（1，1，0，O（0，0，0，

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- =（1，1，﹣4， =（0，2，0， 设 异面直线 PM 与 OB 所成的角为 θ， 则cosθ=
==．
∴θ=arccos ．
∴异面直线 PM 与 OB 所成的角的为arccos ．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 想，是基础题．

18．（14 分（2018•上海）设常数 a∈R，函数 f（x）=asin2x+2cos2x．
﹣1﹣ 若 f（x）为偶函数，求 a 的值；
（2）若 f（）= +1，求方程 f（x）=1﹣
在区间[﹣π，π]上的解．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS： 二倍角的三角函数． 【专题】11 ：计算题；38 ：解三角形．
：对应思想；
4R：转化法；58 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，
﹣2﹣ 先求出 a 的值，再根据三角形函数的性
质即可求出．

--

--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x，
∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f（）= +1，
∴asin +2cos2（ ）=a+1= +1，
∴a= ， ∴f（x）
= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1， ∵f（x）=1﹣ ， ∴2sin（2x+ ）+1=1﹣
，
--




--WORD 格式--专业资料--可编辑--- ∴sin（2x+ ）=﹣ ， ∴2x+ =﹣ +2kπ，或 2x+=π+2kπ，k∈Z，
∴x=﹣ π+kπ，或 x=π+kπ，k∈Z， ∵x∈[﹣π，π]， ∴x= 或
x=或 x=﹣或 x=﹣
【点评】本题考查了三角函数的化简和求值， 以及三角函数的性质，属于基础题．

19．（14 分（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族 S 中的成员仅以自 驾或公交方式通勤．分析显示：当 S 中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的 人均通勤时间为

--

--WORD 格式--专业资料--可编辑---
f（x）= （单位：分钟，
而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒 为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
﹣1﹣ 当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
﹣2﹣ 求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）
的表达式；讨论 g（x）的单调性，并说明其实际意义．
【考点】5B：分段函数的应用．

【专题】12 ：分类法；51 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意知求出 f（x）＞40 时 x 的取值范围即可；

--

--WORD 格式--专业资料--可编辑--- （2） 分段求出 g（x）的解析式，判断g（x）
的单调性，再说明其实际意义． 【解答】解；（1）由题意知，当 30＜x＜100 时 ，
=2x+ f（x） ﹣90＞40， 即
x2﹣65x+900＞0， 解得 x＜20 或 x＞45，
∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间 少于自驾群体的人均通勤时间； （2） 当 0＜x≤30 时 ， g（x） =30•x%+40（1﹣x%）=40﹣ 当 30＜x＜100 时 ， g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）
；
= ﹣ x+58；

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- ∴g（x）= ；
当 0＜x＜32.5 时，g（x）单调递减； 当32.5＜x＜100 时，g（x）单调递增；
说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时， 人均通勤时间是递减的；
有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递 增的；
当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少． 【点评】本题考查了分段函数的应用问题， 也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．

20．（16 分（2018•上海）设常数 t＞2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0，直

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 线 l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0．l 与 x 轴交于点 A、与 Γ 交于点 B．P、Q 分别是曲线Γ 与线段 AB 上的动点．
﹣1﹣ 用 t 表示点 B 到点 F 的距离； ﹣2﹣ 设 t=3，|FQ|=2，线段 OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；
﹣3﹣ 设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在 Γ 上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．

【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设 B 点坐标，根据两

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 点之间的距离公式，即可求得|BF|； 方法二：根据抛物线的定义，即可求得 |BF|；
﹣2﹣ 根据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得 OD 的中点坐标，即可求得直线 PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标， 即可求得△AQP 的面积；
﹣3﹣ 设P 及E 点坐标，根据直线kPF•kFQ=﹣1，求得直线 QF的方程，求得 Q点坐标，根据 + = ，求得 E 点坐标，则（
 ）2=8（ +6，即可求得 P 点坐标．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设 B（t，2 则|BF|= ∴|BF|=t+2；
t，
=t+2，

--

--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 方法二：由题意可知：设 B（t，2 t，
由抛物线的性质可知： |BF|=t+ =t+2，∴|BF|=t+2；
（2）F（2，0，|FQ|=2，t=3，则|FA|=1， ∴|AQ|= ，∴Q（3，
，设 OQ 的中点D， D（，， kQF= =﹣ ，则直线
PF 方程： y=﹣（x﹣2， 联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，
解得：x=，x=6（舍去， ∴△AQP 的面积 S=×
×=；
（3） 存在，设 P（，y，E（ ，m，则
kPF= = ，kFQ= --
，



--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 直线 QF 方程为 y=∴yQ=据 ∴（
（8﹣2）=（x﹣2，
，Q（8，，
，根+ = ，则 E（+6，
）2=8（ +6，解得：y2=，
∴存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点E 在 Γ 上，且 P（，．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛 物线的位置关系，考查转化思想，计算能力， 属于中档题．

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑---
21．（18 分（2018•上海）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意 n∈N*，都有 |bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．
﹣1﹣ 设{an}是首项为 1，公比为的等比数列， bn=an+1+1，n∈N*，判断数列 {bn}是否与{an} 接近，并说明理由；
﹣2﹣ 设数列{an}的前四项为： a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合 M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求 M 中元素的 个数 m；
﹣3﹣ 已知{an}是公差为 d 的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在 b2﹣b1，b3﹣b2，…，b20
1﹣b200 中至少有 100
--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 个为正数，求 d 的取值范围． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合． 【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义 “接近”，即可判断；
﹣2﹣ 由新定义可得 an﹣1≤bn≤an+1，求得 bi，i=1，2，3，4 的范围，即可得到所求个数；

﹣3﹣ 运用等差数列的通项公式可得 an，讨论公差 d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范 围．
【解答】解：（1）数列{bn}与{an}接近．

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--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 理由：{an}是首项为 1，公比为的等比数列，

可得an=1+1=，bn=an+
+1，则
|=1﹣＜1，n∈N*
|bn﹣an|=|+1﹣，可得数列{bn}与{an}接近；
﹣2﹣ {bn}是一个与{an}接近的数列，可得
an﹣1≤bn≤an+1， 数列{an}的前四项为： a1=1，a2=2，a3= 4，a4=8，
可得 b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]， b4∈[7，9]，
可能 b1 与 b2 相等，b2 与 b3 相等，但 b1 与 b3
不相等，b4 与 b3 不相等，集合 M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- M 中元素的个数 m=3 或 4；
﹣3﹣ {an}是公差为 d 的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，

可得 an=a1+（n﹣1）d， ①若 d＞0，取 bn=an，可得 bn+1﹣bn=a n+1﹣an=d＞
0，
则 b2﹣b1，b3﹣b2，…，b20 1﹣b200 中有 200 个正数，符合题意； ②若 d=0，取 bn=a1﹣，则 |bn﹣an|=|a1﹣﹣a1|=＜1 ，n∈N*，可得 bn+1﹣bn= ﹣则

-- ＞0，



--WORD 格式--专业资料--可编辑--- b2﹣b1，b3﹣b2，…，b20
1﹣b200
中有
200 个正数，符合题意； ③若﹣2＜d＜0，可令 b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，

--


--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 则
b2n﹣b2n﹣1=a2n +1﹣（a2n﹣1﹣b200
1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b20
中恰有 100个正数，符合题意；
④若 d≤﹣2，若存在数列{bn}满足：{bn}与 {an}接近，即为
an﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1 ≤bn+1≤an+1+1， 可得 bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（ an﹣1）=2+d≤0， b2﹣b1，b3﹣b2，…，b20
1﹣b200 中无正数，不符合题
意．
综上可得，d 的范围是（﹣2，+∞．
【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用， 考查等差数列和等比数列的定义和通项公式

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--WORD 格式--专业资料--可编辑--- 的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．

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--WORD 格式--专业资料--可编辑---
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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

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