浅谈取整函数
发布时间：2023-06-01 00:51:33 来源：文档文库
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浅谈取整函数
作者：邢怀勇
来源：《理科考试研究·高中》2017年第03期
摘要：取整函数是一个非常重要的数学概念，本文通过对几个例题的分析阐述了解有关取整函数类问题的策略.
关键词：取整函数；解题策略
取整函数定义：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数.则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数.显然，y=[x]的定义域是R，值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即x=[x]+a（0≤a
取整函数是一个非常重要的数学概念.它的定义域是连续的，值域却是离散的，取整函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用.在数学竞赛或高考中也备受命题者的青睐.用[x]命制的试题情境新颖，弹性大，利于赋予新意，具有挑战性，而在解决与之相关的问题时，可以依据的命题、法则不多，规律性不明显，解法变化大，灵活性强，往往会用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等.
例1试画出f（x）=x-[x]的图像.（[x]表示不大于x的最大整数）
解析若做出上述函数图象，需先分析一下取整函数[x]的图像的基本性质和特征.（1）由y=[x]的定义易知[x]的图形在y=x的图形的下方.
（2）由y=[x]的性质知[x]的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段，这组平行线段呈阶梯形.
可见函数y=[x]是一个不减（非单调）的非周期的函数，其图像如下：所以f（x）=x-[x]，是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如下图所示：
例2（2010年高考陕西卷理科10）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A.y=x10x+310B.y=x+310C.y=x+410D.y=x+510
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解析1当x除以10的余数为0，1，2，3，4，5，6时，由题设知y=x10，且易验证知此时x10=x+310.
当x除以10的余数为7，8，9时，由题设知y=x10+1，且易验证知此时x10+1=x+310.故综上知，必有y=x10.故选B.
解析2依题意知：若x=16，则y=1，由此检验知选项C，D错误；若x=17，则y=2，由此检验知选项A错误.故由排除法知，本题应选B.
例3某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk
