2017年全国二卷理科数学高考真题及答案解析

2016年全国高考理科数学试题全国卷 2

、选择题：本题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

已知z=(m+3)+(m - 1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是()

A. - 8

6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A • 20 n B • 24 n C • 28 n D • 32 n

n

y=2sin2x的图像向左平移石个单位长度，则平移后图象的对称轴为

8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左 3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的

其中两数的平方和小于 1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 n的近似值为()

率为()

45

B, C的对边分别为 a, b, c,若 cosA=-, cosC=~3，a=1，则

513

14、 a、B是两个平面，m, n是两条直线，有下列四个命题：

(1)如果 ml n, mla, n 〃B,那么 a丄B。 (2) 如果 mla, n //a,那么 ml n。

⑶如果a/B, m? a,那么m//B。

⑷如果m// n,a//B，那么 m与a所成的角和n与B所成的角相等。

其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号 )。

15、 有三张卡片，分别写有 1和2, 1和3, 2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：

“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 .

16、 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线 y=ln(x+1)的切线，贝U b= .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、 (本题满分12分)Sn为等差数列｛an｝的前n项和，且—1=1, S=28。记bn=[lga n]，其中[x]表示不超过x的

最大整数，如[0.9]=0 , [Ig99]=1 .

(1)求 b1, bn, b101；

⑵ 求数列｛b n｝的前1 000项和.

18、(本题满分12分)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本 年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： []

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%勺概率；

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

19、(本小题满分12分)如图，菱形 ABCD勺对角线 AC与BD交于点 Q AB=5, AC=6点E、F分别在AD CD上,

5 L

AE=CFj EF 交 BD 于点日.将厶 DEF 沿 EF 折至 'EF 位置，QD'=/10.

(1)证明：DH丄平面ABCD

⑵ 求二面角B- D'A - C的正弦值.

2 2

20、 (本小题满分12分)已知椭圆E：牛+鲁=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为 k(k>0)的直线交E于

I 3

A, M两点，点 N在E上，MAL NA

(1)当 t=4 , |AM|=|AN| 时，求AAMN的面积；

⑵当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

x — 2

21、 (本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)= — ex的单调性，并证明当 x>0时，(x - 2)e x+x+2>0;

入T厶

x

— —

⑵ 证明：当a€ [0,1)时，函数g(x)= -2 (x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.

X

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

22、（本小题满分10分）［选修4 - 1:几何证明选讲］如图，在正方形 ABCD中，E、G分别在边DA DC上（不与 端点重合），且DE=DG过D点作DF丄CE垂足为 F.

（1）证明：B, C, G, F四点共圆；

⑵ 若AB=1, E为DA的中点，求四边形 BCGF的面积.

23、 （本小题满分10分）［选修4 -4 :坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6） +y2=25.

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程；

⑵ 直线I的参数方程是 x=tCOS aa（t为参数），I与C交于A B两点，|AB|= 10，求I的斜率.

参考答案

1、 解析：二 m+3>0 m- 1<0,「.- 3故选 A.

2、 解析：B={x|(x+1)(x - 2)<0, x€ Z}={x| - 1, x € Z}, a B={0,1} AU B={0,1,2,3}，故选 C.

3、 解析： 向量 a+b=(4,m - 2) ,t( a+b)丄 b ,「.(a+b) • b=10 - 2(m- 2)=0，解得 m=8 故选 D.

4、 解析：圆 x2+y2 - 2x - 8y+13=0 化为标准方程为：(x - 1)2+(y - 4) 2=4,故圆心为(1,4) , d=|a+4—1| =1,解

寸a +1

4

得a=--，故选A.

3

5、 解析一：E-F有6种走法，F^G有3种走法，由乘法原理知，共 6X 3=18种走法，故选 B.

解析二：由题意，小明从街道的 E处出发到F处最短有C2条路，再从F处到G处最短共有 C条路，则小明到

老年公寓可以选择的最短路径条数为 CJ・C=18条，故选B。

6、 解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为 r，周长为c,圆锥母线长为I，圆柱高为h.

由图得 r=2 , c=2n r=4 n,由勾股定理得： l=Q22+(2 羽)2=4, S 表=nr 2+ch+gcl =4 n +16 n +8n =28 n，故选 C.

. n n n

7、解析：由题意，将函数 y=2sin2x的图像向左平移乜个单位得y=2sin2(x+ ^2)=2sin(2x+ —)，则平移后函数

n n n k n

的对称轴为2x+?=^+kn，k€Z，即x=h〒k€Z，故选B。

8、解析：第一次运算：s=0X 2+2=2,第二次运算：s=2X 2+2=6,第三次运算：s=6X 2+5=17,故选 C.

n 2 n 7 丄)打

sin2 a =cos( — - 2 a )=2cos (丁 - a ) - 1=25,故选 D.

n 3

解法二：对cos(--a)= 5展开后直接平方

解法三：换元法

10、解析：由题意得：(xi,y i)(i=1 , 2, 3, ... , n)在如图所示方格中，而平方和小于 1的点均在如图的阴影 中

x+1 1

12、解析：由f( - x)=2 - f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y=——=1—也关于(0,1)对称, x x

3 12 63

cosC=y3, sinA= 5, sinC=^3, • sinB=sin(A+C)=sinAcosC+co sAsin。=亦,

14、解析：对于①，mln, mla, n则 a,3的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为 n// 所以过直线n作平面丫与平面3相交于直线c,则n// c,因为m!a,「. ml c,「. ml n,故②正确；对于③, 由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.

15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2) 不满足；故甲(1,3),

解得 X1=2 , X2= - 2。二 b=lnx 1+1=1 - ln2 .

a4 — ai

17、解析： ⑴ 设｛an｝的公差为 d, S=7a4=28,「.a 4=4,「. d= 3 =1 ,「.a n=ai+(n - 1)d=n .

•••bi=[lga i]=[lg1]=0 , bii=[lga ii]=[lg11]=1 , bioi=[lga ioi]=[lg1O1]=2

⑵ 记｛b n｝的前n项和为Tn,则 T1ooo=b1+b2+ ・.・+b 1000 =[lga 1]+[lga 2]+...+[lga 1000].

当 Ow lga n<1 时，n=1, 2, ... , 9;当 1< lga n<2 时，n=10, 11, ... , 99;当 2< lga n<3 时，n=100, 101,

999;

当 lga n=3 时，n=1000.^T W00=0X 9+1 x 90+2X 900+3X 仁 1893.

18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A, P(A)=1 - P( A )=1 - (0.30+0.15)=0.55

⑶解：设本年度所交保费为随机变量 X.

平均保费 EX=0.85aX 0.30+0.15a+1.25a x 0.20+1.5a x 0.20+1.75a x 0.10+2a x 0.05=1.23a ,

•平均保费与基本保费比值为 1.23 .

5 ae CF

19、解析：(1)证明：如下左 1 图，T AE=CF=4，「. ad=CD •- EF// AC

•••四边形 ABCD为菱形，• ACLBD, • EF丄BD, • EF丄DH •- EF丄D 'H .

22 2

•/AC=6 • AD=3 又 AB=5, AQLOB •OB=4 •。日瓦，OD=1 • DH=DH=3 , • |OD'| 2=|OH| 2+|D'H| 2 , • D'H丄OH 又••• OHH EF=H •- D'H丄面 ABCD

5 5 15

⑵方法一、几何法：若 AB=5, AC=6 贝U AO=3 B0=OD=4 •/ AE=4 , AD=AB=5 • DE=5- 4=—,

••• HD =DH=3 OD =2 QI，•满足 HD 2=OD 2+oH ,则厶 OHD 为直角三角形，且 OD 丄 OH 即OD丄底面 ABCD即OD是五棱锥 D'- ABCFE勺高.

贝U五棱锥 D'— ABCFE体积 V」S • OD ='x69x2^1=13^1.

3 3 4 2

方法二、向量法。建立如下左 2 图坐标系 H- xyz . B(5,0,0) , C(1,3,0) , D'(0,0,3) , A(1, — 3,0),

•向量 AB=(4,3,0) , AD'=( — 1,3,3) , AC=(0,6,0),

x=3

设面 ABD'法向量 n1=(x,y,z)，由：• AD==0得 4Xx+3y03z=0，取 y= - 4，• ^=(3, - 4,5).

同理可得面 AD'C的法向量ni=(3,0,1),

| ni • n2|= |9+5| =7远

I n|| n21 =5—2 •—10= 25

⑵直线AM的方程为y=k(x+ t),

xx；22ex>f(0)= - 1,「.(x - 2)ex+x+2>0o

1 1 1 111 11

24、解析：(1)当 x< - 时，f(x)= - x - x - 2=- 2x ,若-1- 2；当—2三xW ㊁时，f(x)=㊁-x+x+^=1<2 恒成

1 1

立；当 x>2时，f(x)=2x ,若 f(x)<2 , 2.综上可得， M={x| - 1.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2)当 a , b€ ( - 1,1)时，有(a - 1)(b - 1)>0 ,即 a b +1>a +b ,贝U a b +2ab+1>a +2ab+b ,则(ab+1) >(a+b), 即 |a+b|<|ab+1| ,

证毕.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/50735f8830b765ce0508763231126edb6e1a7602.html