虚数i的定义
i^2=-1。显然，它是方程x^2 +1=0的解。虚数的一般形式为z=a+ib。由于数学研究的内容不一定是客观实在的，所以虚数频频出现在数学中也是可以理解的。但是，为什么研究客观实在的物理学也出现虚数？
在相对论中，四维位置矢量X=(x,y,z,ict)是一个复矢量，四维时空转动的变换矩阵A是一个复矩阵。在电磁理论中，电场E和磁场B可以是复数，介电常数和磁导率u也可以是复数。在量子力学中，薛定谔方程是一个复方程，概率幅w也是复数。我很长时间都不知道为什么不对应客观实在的虚数可以出现在物理中，但现在似乎明白了。
为了说明我的想法，不妨举一个简单的例子：设想有两块正方形A和B，正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，现在计算A和B的面积和。这里有两种截然不同的但理论上等价的操作程序，即实在操作和非实在操作。所谓实在是指在现实世界中存在，所谓非实在是指在现实世界中不存在，但可以在理论中存在。
实在操作：首先计算A的面积a^2，然后计算B的面积b^2，最后计算A和B的面积和a^+b^。
非实在操作：首先用虚数i建立A和B的关系，即z=a+ib，然后作运算|z|^2=a^2+ b^2。
非实在操作不是客观存在的，但在理论上等价（同构）于实在操作。在非实在操作中，虚数z不只是代表a，也不只是代表b，而是同时代表a和b。确切地说，虚数z代表的是a和b的联合关系（尽管这种关系不是客观实在的，仅仅是理论上的关系），代表这联合关系构成的一个整体。a和b本来是对立的不同实在，但我们试图用一个数将两者同时联系起来，而复数可以胜任这个任务。可以这样认为，复数i可以起到“对立统一”的效果，即将a和b对立起来而且联系起来。如果套用阴阳概念，那么a代表阳，b代表阴，从而有z=a+ib=阳 +i阴。若去掉i，是起不到这样效果的。我们可能会担心，复数z没有对应客观实在啊！没错，复数z没有对应客观实在，|z|^2也没有对应客观实在，而且z=a+ib和|z|^=a^ 2+ b^2联合起来的非实在操作也没有对应客观实在，但其最终的运算结果a^2+b^2却对应客观实在！非实在的操作过程的最终运算结果可以是实在的，这类似于学生做计算题：明明运算过程是错误的，但运算结果却是正确！其实只要错误的运算过程等价（同构）于正确的运算过程就可以了。
最后说说量子力学中的概率幅w为什么可以是复数。在量子力学里，真正客观实在的只有两类物理量：各种可观察力学量的数值和对应该数值的概率。这两个物理量是能够从实验测量中直接获得的，因而是客观实在的。但除此之外的其它物理量（概率幅、力学量算符、动力学态矢）都是主观人造的事物，非客观的。量子力学存在三种物理图象不同的但数学上等价的描述绘景（事实上可以存在无数种描述绘景），就是证明。所以，概率幅w并没有对应客观实在，自然可以是复数了。我们也可以认为，在唯象的意义上，概率幅描述的是阴阳“此消彼长”的对抗过程，w=w'+iw"=阳+i阴。概率幅的动力学演化，相当于这种对抗随时间演化。
笔者：谭建成
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/53ac1f0ae45c3b3566ec8b01.html
文档为doc格式