2019年天津市学业水平考试数学试题（解析版）

2019年天津市学业水平考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则等于（ ）

A．{1，2，3，4，5} B．{1，3，4} C．{2，5} D．{1，4}

【答案】D

【解析】根据交集定义求解．

【详解】

因为集合，，

所以．

故选：D．

【点睛】

本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题基础．

2．函数，的最小正周期为（ ）

A．2 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】由公式计算．

【详解】

函数，的最小正周期为．

故选：C．

【点睛】

本题考查余弦型复合函数的周期，属于简单题．

3．函数的定义域是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据分母不为零，偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域.

【详解】

由题意得，因此定义域为,选B.

【点睛】

本题考查函数定义域,考查基本求解能力,属基础题.

4．下列函数中，与相等的为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】确定函数的定义域和对应法则后可得结论．

【详解】

函数的定义域是，四个选项中只有的定义域是，排除，，对应法则不相同，排除D，，满足题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查函数的定义，两个函数是同一个函数，要求定义域、值域、对应法则都相同，值域是由定义域和对应法则确定，因此只要定义域和对应法则相同即可．

5．若向量=（2，3），=（-1，5），则+2的坐标为（ ）

A．（0，13） B．（1，8） C．（4，13） D．（0，7）

【答案】A

【解析】由向量线性运算的坐标表示计算．

【详解】

．

故选：A．

【点睛】

本题考查向量线性运算的坐标表示，掌握向量的坐标运算是解题基础．

6．若直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【解析】由两直线垂直的性质可得．

【详解】

因为直线与直线互相垂直，

所以，得．

故选：D．

【点睛】

本题考查两直线垂直的充要条件．斜率存在的两直线垂直的充要条件是斜率乘积为－1，一般情况下直线与垂直的充要条件是．

7．某班级有6名学生参加了演讲社团，其中有4名男同学2名女同学，现从这6名同学中随机选取2人参加学校演讲比赛，则恰好选中1名男生和1名女生的概率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】用列举法写出所有基本事件，然后计数后可得概率．

【详解】

6名学生中任取2名的所有基本事件有：，共15个，其中恰好选中1名男生和1名女生的事件有共8个，∴所求概率为．

故选：A．

【点睛】

本题考查古典概型，解题方法用列举法写出所有基本事件．

8．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为 ( )

A．65辆 B．76辆 C．88 辆 D．95辆

【答案】B

【解析】由直方图可知，时速超过60km/h的汽车的频率为，所以时速超过60km/h的汽车数量为辆，故选B

9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度

【答案】D

【解析】设出平移量a，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，解方程求出平移量，即可得到答案．

【详解】

设将函数的图象向右平移a个单位后，得到函数，的图象，则，

解得，

所以，函数的图象向右平行移动个单位长度，可得到函数，的图象，

故选：D

【点睛】

本题考查的知识点是函数的图象变换，其中设出平移量为a，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，是解答本题的关键．

10．已知，，，则，，的大小关系为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】把各数与中间值0，1比较即得．

【详解】

，，，∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查幂和对数的比较大小，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．不同底的幂或对数解题时可借助于中间值0，1等比较大小．

11．已知向量，的夹角为，且｜｜=，=（3，1），则的值等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出，然后由数量积的定义计算．

【详解】

因为向量，的夹角为，且｜｜=，=（3，1），

所以，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查向量模的坐标运算，掌握数量积的定义是解题基础．

12．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，

可得

【考点】空间线面平行垂直的判定与性质

13．已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据奇函数定义求出，确定函数的单调性，然后由的零点是0得出结论．

【详解】

∵是奇函数，∴，，，易知在上是增函数，

∴有唯一零点0，

函数的零点在区间内，∴在上有解，，∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点，解题关键是等价转化，把函数零点转化为方程在某个区间上有解，从而再转化为求函数值域．

14．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱CC1的中点，则异面直线AD1与DN所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】取的中点，可得，则（或其补角）是异面直线AD1与DN所成角，在三角形中可求．

【详解】

如图，取的中点，连接，连接，∵是中点，则，正方体中，则是平行四边形，∴，∴，∴（或其补角）是异面直线AD1与DN所成角，

因为正方体棱长为2，则，，

是等腰三角形，∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成角，然后在三角形中求解即可．

15．已知函数在上有最小值-1，则的值为（ ）

A．-1或1 B．

C．或1 D．或1或-1

【答案】A

【解析】根据二次函数性质分类讨论．

【详解】

，对称轴是，

当时，，，

当时，，，舍去；

当时，，，舍去．

综上，．

故选：A．

【点睛】

本题考查二次函数的最值问题，解题关键是分类讨论．根据对称轴与所给区间的关系求得最小值．

二、填空题

16．的值为______.

【答案】

【解析】用诱导公式化为锐角三角函数，再计算．

【详解】

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查诱导公式，考查特殊角的三角函数，掌握诱导公式是解题关键．

17．在△ABC中，若，，则BC的值为______.

【答案】

【解析】由余弦定理计算．

【详解】

由题意，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查余弦定理，掌握余弦定理是解题关键．

18．某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，采用男女分层抽样法抽取容量为20的样本，则男员工应选取的人数是_______.

【答案】8

【解析】分层抽样按比例抽取样本即可．

【详解】

设男员工应选取人，则，解得．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查分层抽样，掌握分层抽样的概念是解题基础．

19．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为_______.

【答案】

【解析】关于原点对称，三个坐标全变为相反数．

【详解】

点关于原点对称的点的坐标为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查空间直角坐标系，掌握对称点的坐标特征是解题关键．

20．已知函数，则不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】先研究函数单调性与奇偶性，再化简不等式得结果.

【详解】

因为，所以为奇函数，

因为，所以为R上单调递增函数，

因此等价于即解集为.

【点睛】

本题考查利用函数单调性与奇偶性解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.

三、解答题

21．已知.求

（1）；

（2）；

【答案】（1）（2）

【解析】（1）用二倍角公式计算；

（2）求出后用两角和的正弦公式计算．

【详解】

（1）；

（2）∵，∴，

∴．

【点睛】

本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式和同角间的三角函数关系，属于基础题．

22．已知圆C：，若直线与圆C相切.求：

（1）圆C的半径；

（2）实数b的值；

【答案】（1）2（2）b=9

【解析】（1）由圆的标准方程可得半径；

（2）由圆心到直线的距离等于半径可得．

【详解】

（1）由知圆半径为2．

（2）由圆心到直线的距离等于半径可得，解得（舍去）．

【点睛】

本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．直线与圆相切问题一般都是用圆心到直线距离等于半径进行判断求解．

23．已知=1，且｜｜=2，｜｜=1

（1）求向量与的夹角；

（2）求｜-2｜的值；

【答案】（1）（2）2

【解析】（1）由向量数量积定义求向量夹角；

（2）模平方后转化为向量的平方计算．

【详解】

（1），

，∴．

（2），

∴．

【点睛】

本题考查向量数量积的定义，考查数量积的性质，求向量的模常常利用模的平方等于向量的平方转化为数量积计算．

24．已知函数.

（1）若函数是偶函数，且，求的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数在上的最大、最小值；

（3）要使函数在上是单调函数，求的范围.

【答案】（1）；（2），；（3）或.

【解析】（1）根据偶函数的定义，求出的值，再由，求出；

（2）由（1）得对称轴为轴，结合函数特征，即可求解；

（3）求出的对称轴，要使函数在上是单调函数，对称轴不在区间之间，可得出关于的不等式，即可求出结论.

【详解】

（1）函数是偶函数，所以恒成立，

恒成立，，

，

（2）由（1），当时，取得最小值为，

当时，取得最大值为；

（3）对称轴为，

要使函数在上是单调函数，

需或，解得或.

所以的范围是或

【点睛】

本题考查二次函数的性质，并由性质求参数，对于常用函数的性质要熟练掌握，提高解题效益，属于基础题.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/55384fab0042a8956bec0975f46527d3240ca639.html