数学精品复习资料
安徽省安庆市中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)在每小题给出的A、B、C、D四个选项中,只有一项是正确的,把正确选项的代号填在答题卡上.
1.﹣3的倒数是( )
A. B.﹣ C.3 D.﹣3
2.下列图形中既是轴对称又是中心对称的图形是( )
A. B. C. D.
3.2016年3月,中国中车集团中标美国地铁史上最大一笔采购订单:芝加哥地铁车辆采购项目.该项目标的金额为13.09亿美元.13.09亿用科学记数法表示为( )
A.13.09×108 B.1.309×1010 C.1.309×109 D.1309×106
4.反比例函数y=图象的每条曲线上y都随x增大而增大,则k的取值范围是( )
A.k>1 B.k>0 C.k<1 D.k<0
5.由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,关于它的视图,说法正确的是( )
A.主视图的面积最大 B.左视图的面积最大
C.俯视图的面积最大 D.三个视图的面积一样大
6.某地4月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温这组数据中,众数和中位数分别是( )
A.19,19 B.19,19.5 C.21,22 D.20,20
7.不等式组:的解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
8.平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的起始位置如图1所示,边AB在x轴上,现将正六边形沿x轴正方向无滑动滚动,第一次滚动后,边BC落在x轴上(如图2);第二次滚动后,边CD落在x轴上,如此继续下去.则第2016次滚动后,落在x轴上的是( )
A.边DE B.边EF C.边FA D.边AB
9.如图,Rt△ABC内接于⊙O,BC为直径,AB=8,AC=6,D是弧AB的中点,CD与AB的交点为E,则CE:DE等于( )
A.7:2 B.5:2 C.4:1 D.3:1
10.如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆,垂直于x轴的直线l:x=t(0≤t≤a)从原点O向右平行移动,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若y关于t函数的图象大致如图,那么平面图形的形状不可能是
( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.分解因式:x3﹣4x= .
12.如图,一束平行太阳光照射到正方形上,若∠α=28°,则∠β= .
13.据统计,2015年末,我省民用轿车拥有量277.5万辆,比上年增长22.7%,其中私人轿车254.6万辆,比上年增长24.1%.设2014年末我省私人轿车拥有量为x万辆,根据题意可列出的方程是 .
14.如图,O为正方形ABCD的重心,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,连接OG、OC,OC交BG于点H.下面四个结论:①△BCE≌△DCF;②OG∥AD;③BH=GH;④以BG为直径的圆与DF相切于点G.其中正确的结论有 .(把你认为正确结论的序号都填上)
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算: +(﹣)﹣2﹣|1﹣|
16.先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=3.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(﹣3,﹣1),C(﹣3,1),D(﹣2,﹣2),E(0,﹣3).
(1)画出△ABC的外接圆⊙P,并指出点D与⊙P的位置关系;
(2)若直线l经过点D(﹣2,﹣2),E(0,﹣3),判断直线l与⊙P的位置关系.
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18.某班开展安全知识竞赛活动,满分为100分,得分为整数,全班同学的成绩都在60分以上.班长将所有同学的成绩分成四组,并制作了所示的统计图表:
根据图表信息,回答下列问题:
(1)该班共有学生 人;表中a= ;
(2)丁组的五名学生中有2名女生,3名男生,现从丁组中随机挑选两名学生参加学校的决赛,请借助树状图、列表或列举等方式,求参加决赛的两名学生是一男、一女的概率.
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五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.已知抛物线C:y=x2﹣4x+3.
(1)求该抛物线关于y轴对称的抛物线C1的解析式.
(2)将抛物线C平移至C2,使其经过点(1,4).若顶点在x轴上,求C2的解析式.
20.我国宣布划设东海防空识别区如图所示,具体范围为六点连线与我领海线之间空域.其A、B、C三点的坐标数据如表:
(1)A点与B或C两点的经度差为 (单位:度).
(2)通过测量发现,∠BAC=95°,∠BCA=30°,已知北纬31°00′(即点A所在的纬度)处两条相差1°的经线之间的实际距离为96km.我空军一架巡逻机在该区域执行巡逻任务,飞行速度为30km/min,求飞机沿东经125°经线方向从B点飞往C点大约需要多少时间.(已知tan35°=0.7,tan55°=word/media/image34_1.png,结果保留整数)
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六、(本题满分12分)
21.如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是边AC的中点,点E是斜边AB上的动点,将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.
(1)当点A1落在边BC(含边BC的端点)上时,折痕DE的长是多少?(可在备用图上作图)
(2)连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B长的最小值.
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七、(本题满分12分)
22.某园林门票每张10元,只供一次使用,考虑到人们的不同需求,园林管理处还推出一种“购个人年票”的售票方法(个人年票从购买之日起,可供持票者使用一年).年票分A、B、C三类:A类年票每张120元,持票者进人园林时无需再购买门票;B类年票每张60元,持票者进入园林时,需再购买门票,每次2元;C类年票每张40元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次3元.
(1)如果你只选择一种购票方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,从以上4种购票方式中找出进入该园林次数最多的购票方式;
(2)设一年中进园次数为x,分别写出购买B、C两类年票的游客全年的进园购票费用y与x的函数关系;当x≥10时,购买B、C两类年票,哪种进园费用较少?
(3)求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买A类门票进园的费用最少.
八、(本题满分14分)
23.如图①,平行四边形ABCD中,AB=AC,CE⊥AB于点E,CF⊥AC交AD的延长线于点F.
(1)求证:△BCE∽△AFC;
(2)连接BF,分别交CE、CD于G、H(如图②),求证:EG=CG;
(3)在图②中,若∠ABC=60°,求word/media/image34_1.png.
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安徽省安庆市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)在每小题给出的A、B、C、D四个选项中,只有一项是正确的,把正确选项的代号填在答题卡上.
1.﹣3的倒数是( )
A.word/media/image43_1.png B.﹣word/media/image43_1.png C.3 D.﹣3
【考点】倒数.
【分析】根据倒数的概念:乘积是1的两数互为倒数可得答案.
【解答】解:﹣3的倒数是﹣word/media/image43_1.png,
故选:B.
【点评】此题主要考查了倒数,关键是掌握倒数的定义.
2.下列图形中既是轴对称又是中心对称的图形是( )
A.word/media/image46_1.png B.word/media/image48_1.png C.word/media/image50_1.png D.word/media/image52_1.png
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形.故正确;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误.
故选B.
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
3.2016年3月,中国中车集团中标美国地铁史上最大一笔采购订单:芝加哥地铁车辆采购项目.该项目标的金额为13.09亿美元.13.09亿用科学记数法表示为( )
A.13.09×108 B.1.309×1010 C.1.309×109 D.1309×106
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:13.09亿=13 0900 0000=1.309×109,
故选:C.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.反比例函数y=word/media/image54_1.png图象的每条曲线上y都随x增大而增大,则k的取值范围是( )
A.k>1 B.k>0 C.k<1 D.k<0
【考点】反比例函数的性质.
【分析】对于函数y=word/media/image43_1.png来说,当k<0时,每一条曲线上,y随x的增大而增大;当k>0时,每一条曲线上,y随x的增大而减小.
【解答】解:∵反比例函数y=word/media/image54_1.png的图象上的每一条曲线上,y随x的增大而增大,
∴1﹣k<0,
∴k>1.
故选:A.
【点评】本题考查反比例函数的增减性的判定.在解题时,要注意整体思想的运用.易错易混点:学生对解析式y=word/media/image43_1.png中k的意义不理解,直接认为k<0,造成错误.
5.由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,关于它的视图,说法正确的是( )
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A.主视图的面积最大 B.左视图的面积最大
C.俯视图的面积最大 D.三个视图的面积一样大
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数,再根据所看到的小正方形的个数可得答案.
【解答】解:主视图有4个小正方形,左视图有4个小正方形,俯视图有5个小正方形,因此俯视图的面积最大,
故选:C.
【点评】此题主要考查了组合体的三视图,关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.
6.某地4月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温这组数据中,众数和中位数分别是( )
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A.19,19 B.19,19.5 C.21,22 D.20,20
【考点】众数;条形统计图;中位数.
【分析】根据条形统计图得到各数据的权,然后根据众数和中位数的定义求解.
【解答】解:这组数据中,21出现了10次,出现次数最多,所以众数为21,
第15个数和第16个数都是22,所以中位数是22.
故选C.
【点评】本题考查了众数和中位数的定义,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.也考查了条形统计图.
7.不等式组:word/media/image61_1.png的解集在数轴上表示为( )
A.word/media/image63_1.png B.word/media/image64_1.png C.word/media/image65_1.png D.word/media/image64_1.png
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】先解不等式组中的每一个不等式,再把不等式的解集表示在数轴上,即可.
【解答】解:解不等式组得word/media/image67_1.png,
再分别表示在数轴上为word/media/image65_1.png.
故选C.
【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集.不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
8.平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的起始位置如图1所示,边AB在x轴上,现将正六边形沿x轴正方向无滑动滚动,第一次滚动后,边BC落在x轴上(如图2);第二次滚动后,边CD落在x轴上,如此继续下去.则第2016次滚动后,落在x轴上的是( )
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A.边DE B.边EF C.边FA D.边AB
【考点】正多边形和圆;坐标与图形性质;旋转的性质.
【专题】规律型.
【分析】由正六边形ABCDEF一共有6条边,即6次一循环;易得第2016次滚动后,与第六次滚动后的结果一样,继而求得答案.
【解答】解:∵正六边形ABCDEF一共有6条边,即6次一循环;
∴2016÷6=336,
∵第一次滚动后,边BC落在x轴上(如图2);第二次滚动后,边CD落在x轴上,如此继续下去,第六次滚动后,边AB落在x轴上,
∴第2016次滚动后,落在x轴上的是:边AB.
故选D.
【点评】此题属于规律题,考查了正多边形与圆的知识.注意得到6次一循环,第2016次滚动后,与第六次滚动后的结果一样是关键.
9.如图,Rt△ABC内接于⊙O,BC为直径,AB=8,AC=6,D是弧AB的中点,CD与AB的交点为E,则CE:DE等于( )
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A.7:2 B.5:2 C.4:1 D.3:1
【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理.
【分析】利用垂径定理的推论得出DO⊥AB,AF=BF,进而得出DF的长和△DEF∽△CEA,再利用相似三角形的性质求出即可.
【解答】解:连接DO,交AB于点F,
∵D是word/media/image73_1.png的中点,
∴DO⊥AB,AF=BF,
∵AB=8,
∴AF=BF=4,
∴FO是△ABC的中位线,AC∥DO,
∵BC为直径,AB=8,AC=6,
∴BC=5=10,FO=word/media/image43_1.pngAC=3,
∴DO=5,
∴DF=5﹣3=2,
∵AC∥DO,
∴△DEF∽△CEA,
∴word/media/image76_1.png,
∴word/media/image78_1.png=3.
故选:D.
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【点评】此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质,根据已知得出△DEF∽△CEA是解题关键.
10.如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆,垂直于x轴的直线l:x=t(0≤t≤a)从原点O向右平行移动,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若y关于t函数的图象大致如图,那么平面图形的形状不可能是
( )
word/media/image82_1.png
A.word/media/image84_1.png B.word/media/image86_1.png C.word/media/image88_1.png D.word/media/image90_1.png
【考点】动点问题的函数图象.
【专题】探究型.
【分析】根据题干图象和函数的图象,可以判断出平面图形的形状不可能是哪一个,本题得以解决.
【解答】解:由函数图象可知,阴影部分的面积随t的增大而增大,图象都是曲线,
故选项A、B、D符合函数的图象,而C中刚开始的图象符合,到t到梯形上底边时图象符合一次函数的图象,
故选C.
【点评】本题考查动点问题的函数图象,解题的关键是利用数形结合的思想解答问题.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.分解因式:x3﹣4x= x(x+2)(x﹣2) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【专题】因式分解.
【分析】应先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
【解答】解:x3﹣4x,
=x(x2﹣4),
=x(x+2)(x﹣2).
故答案为:x(x+2)(x﹣2).
【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解,分解因式一定要彻底,直到不能再分解为止.
12.如图,一束平行太阳光照射到正方形上,若∠α=28°,则∠β= 62° .
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【考点】平行线的性质.
【分析】如图,根据平行线的性质可以求出∠1的大小,再根据三角形内角和定理即可解决问题.
【解答】解:如图,
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∵a∥b,
∴∠α=∠1=28°,
∵∠3=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠2=90°﹣∠1=62°,
∵∠β=∠2,
∴∠β=62°.
故答案为62°.
【点评】本题考查平行线的性质、正方形的性质、三角形内角和定理、对顶角相等等知识,解题的关键是利用两直线平行同位角相等解决问题,记住正方形的性质以及内角和定理,属于中考常考题型.
13.据统计,2015年末,我省民用轿车拥有量277.5万辆,比上年增长22.7%,其中私人轿车254.6万辆,比上年增长24.1%.设2014年末我省私人轿车拥有量为x万辆,根据题意可列出的方程是 (1+24.1%)x=254.6 .
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】2014年末我省私人轿车拥有量×(1+增长率)=2015年末我省私人轿车拥有量,把相关数值代入即可.
【解答】解:设2014年末我省私人轿车拥有量为x万辆,根据题意
得(1+24.1%)x=254.6.
故答案为(1+24.1%)x=254.6.
【点评】此题主要考查了由实问题抽象出一元一次方程;得到2015年末我省私人轿车拥有量的等量关系是解决本题的关键.
14.如图,O为正方形ABCD的重心,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,连接OG、OC,OC交BG于点H.下面四个结论:①△BCE≌△DCF;②OG∥AD;③BH=GH;④以BG为直径的圆与DF相切于点G.其中正确的结论有 ①,②,④ .(把你认为正确结论的序号都填上)
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【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
【专题】压轴题.
【分析】根据SAS可知△BCE≌△DCF,①正确;则∠CDF=∠DBG,从而可得∠BGD=∠CDG+∠F=90°,则BG垂直平分DF,OG为△BDF的中位线,②正确;根据切线的判定可知④正确.
【解答】解:①∵在△BCE与△DCF中,BC=DC,∠BCE=∠DCF,CE=CF,∴△BCE≌△DCF,正确;
②∵△BCE≌△DCF,∴∠F=∠BEC,
又∵∠BEC+∠CBE=90°,∴∠F+∠CBE=90°,∴BG⊥DF,
又∵BE平分∠DBC,∴BG垂直平分DF,∴所以G为中点.
∵O为正方形中心即为重心,∴OG为△BDF的中位线,∴OG∥BC∥AD,正确;
③∵C不是BF中点,∴OC与DF不平行,而O为BD中点,∴BH≠GH,错误;
④∵BG⊥DF,∴以BG为直径的圆与DF相切于点G,正确.
故正确的结论有①,②,④.
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【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA.
注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:word/media/image97_1.png +(﹣word/media/image43_1.png)﹣2﹣|1﹣word/media/image98_1.png|
【考点】实数的运算;负整数指数幂.
【专题】计算题;实数.
【分析】原式第一项化为最简二次根式,第二项利用负整数指数幂法则计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.
【解答】解:原式=3word/media/image98_1.png+4﹣word/media/image98_1.png+1=2word/media/image98_1.png+5.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.先化简,再求值:(word/media/image54_1.png﹣word/media/image43_1.png)÷word/media/image99_1.png,其中x=3.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=word/media/image101_1.png•word/media/image103_1.png
=word/media/image105_1.png,
当x=3时,原式=word/media/image105_1.png=word/media/image43_1.png.
【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(﹣3,﹣1),C(﹣3,1),D(﹣2,﹣2),E(0,﹣3).
(1)画出△ABC的外接圆⊙P,并指出点D与⊙P的位置关系;
(2)若直线l经过点D(﹣2,﹣2),E(0,﹣3),判断直线l与⊙P的位置关系.
word/media/image30_1.png
【考点】直线与圆的位置关系;点与圆的位置关系;作图—复杂作图.
【专题】压轴题;探究型.
【分析】(1)在直角坐标系内描出各点,画出△ABC的外接圆,并指出点D与⊙P的位置关系即可;
(2)连接PE,用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可.
【解答】解:(1)如图所示:
△ABC外接圆的圆心为(﹣1,0),点D在⊙P上;
(2)方法一:连接PD,
设过点P、D的直线解析式为y=kx+b,
∵P(﹣1,0)、D(﹣2,﹣2),
∴word/media/image109_1.png,
解得word/media/image111_1.png,
∴此直线的解析式为y=2x+2;
设过点D、E的直线解析式为y=ax+c,
∵D(﹣2,﹣2),E(0,﹣3),
∴word/media/image109_1.png,
解得word/media/image114_1.png,
∴此直线的解析式为y=﹣word/media/image43_1.pngx﹣3,
∵2×(﹣word/media/image43_1.png)=﹣1,
∴PD⊥DE,
∵点D在⊙P上,
∴直线l与⊙P相切.
方法二:连接PE,PD,
∵直线 l过点 D(﹣2,﹣2 ),E (0,﹣3 ),
∴PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,..
∴PE2=PD2+DE2.
∴△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.
∴PD⊥DE.
∵点D在⊙P上,
∴直线l与⊙P相切.
word/media/image117_1.png
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
18.某班开展安全知识竞赛活动,满分为100分,得分为整数,全班同学的成绩都在60分以上.班长将所有同学的成绩分成四组,并制作了所示的统计图表:
根据图表信息,回答下列问题:
(1)该班共有学生 40 人;表中a= 20 ;
(2)丁组的五名学生中有2名女生,3名男生,现从丁组中随机挑选两名学生参加学校的决赛,请借助树状图、列表或列举等方式,求参加决赛的两名学生是一男、一女的概率.
word/media/image32_1.png
【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表;扇形统计图.
【分析】(1)由两个统计图可求得该班学生数与a的值;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与参加决赛的两名学生是一男、一女的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:(1)该班共有学生:10÷25%=40(人),a=40×50%=20(人);
故答案为:40,20;
(2)画树状图得:
word/media/image120_1.png
∵共有20种等可能的结果,参加决赛的两名学生是一男、一女的有12种情况,
∴参加决赛的两名学生是一男、一女的概率为:word/media/image34_1.png =word/media/image43_1.png.
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形统计图的知识.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.已知抛物线C:y=x2﹣4x+3.
(1)求该抛物线关于y轴对称的抛物线C1的解析式.
(2)将抛物线C平移至C2,使其经过点(1,4).若顶点在x轴上,求C2的解析式.
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】(1)利用原抛物线上的关于y轴对称的点的特点:纵坐标相同,横坐标互为相反数就可以解答.
(2)设平移后的解析式为:y=(x﹣h)2,代入点(1,4)求得h的值即可.
【解答】解:(1)配方,y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1.
∴抛物线C:顶点(2,﹣1),与y 轴交点(0,3)
∵C1与C关于y轴对称,
∴C1顶点坐标是(﹣2,﹣1),且与y轴交点(0,3).
设C1的解析式为y=a(x+2)2﹣1、把(0,3)代入,解得:a=1,
∴C1的解析式为y=x2+4x+3.
(2)由题意,可设平移后的解析式为:y=(x﹣h)2,
∵抛物线C2经过点(1,4),
∴(1﹣h)2=4,解得:h=﹣1或h=3,
∴C2的解析式为:y=(x+1)2或y=(x﹣3)2,
即y=x2+2x+1或y=x2﹣6x+9.
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换,解决本题的关键是抓住关于y轴对称的坐标特点和平移的规律.
20.我国宣布划设东海防空识别区如图所示,具体范围为六点连线与我领海线之间空域.其A、B、C三点的坐标数据如表:
(1)A点与B或C两点的经度差为 word/media/image34_1.png (单位:度).
(2)通过测量发现,∠BAC=95°,∠BCA=30°,已知北纬31°00′(即点A所在的纬度)处两条相差1°的经线之间的实际距离为96km.我空军一架巡逻机在该区域执行巡逻任务,飞行速度为30km/min,求飞机沿东经125°经线方向从B点飞往C点大约需要多少时间.(已知tan35°=0.7,tan55°=word/media/image34_1.png,结果保留整数)
word/media/image36_1.png
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】(1)用A点的经度值减去B点的经度值即可;
(2)过点A作AD⊥BC于D,则AD=word/media/image34_1.png×96=320(km),解直角△ABD,求出BD,解直角△ACD,求出CD,那么BC=BD+CD,再根据时间=路程÷速度即可求解.
【解答】解:(1)128°20′﹣125°=3°20′=(word/media/image34_1.png)°.
故答案为word/media/image34_1.png;
(2)过点A作AD⊥BC于D.
则AD=word/media/image34_1.png×96=320(km).
∵在△ABD中,∠B=180°﹣95°﹣30°=55°,
∴BD=AD÷tan∠B=320×0.7=224(km),
∵在△ACD中,CD=AD÷tan∠C=word/media/image128_1.png=320word/media/image98_1.png≈554(km),
∴BC=BD+CD≈778(km),
∴778÷30≈26(min).
word/media/image131_1.png
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,路程、速度与时间的关系,三角函数定义.对于解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
六、(本题满分12分)
21.如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是边AC的中点,点E是斜边AB上的动点,将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.
(1)当点A1落在边BC(含边BC的端点)上时,折痕DE的长是多少?(可在备用图上作图)
(2)连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B长的最小值.
word/media/image38_1.png
【考点】翻折变换(折叠问题);全等三角形的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理.
【分析】(1)点A1落在边BC即点A1与点C重合,可知此时DE为△ABC的中位线,得DE=word/media/image43_1.pngBC;
(2)Rt△BCD中求出BD的长,由折叠可得A1D=AD=1,根据A1B+A1D≥BD可得A1B长的最小值.
【解答】解:(1)∵点D到边BC的距离是DC=DA=1,
∴点A1落在边BC上时,点A1与点C重合,如图1所示.
此时,DE为AC的垂直平分线,即DE为△ABC的中位线,
∴DE=word/media/image43_1.pngBC=1;
word/media/image135_1.png
(2)连接BD,DE,
在Rt△BCD中,BD=word/media/image137_1.png=word/media/image98_1.png,
由折叠知△A1DE≌△ADE,
∴A1D=AD=1,
由A1B+A1D≥BD,得:A1B≥BD﹣A1D=word/media/image98_1.png﹣1,
∴A1B长的最小值是word/media/image98_1.png﹣1.
【点评】本题考查了折叠的性质、勾股定理及三角形全等的判定与性质,关键是熟练掌握折叠变换的性质.
七、(本题满分12分)
22.某园林门票每张10元,只供一次使用,考虑到人们的不同需求,园林管理处还推出一种“购个人年票”的售票方法(个人年票从购买之日起,可供持票者使用一年).年票分A、B、C三类:A类年票每张120元,持票者进人园林时无需再购买门票;B类年票每张60元,持票者进入园林时,需再购买门票,每次2元;C类年票每张40元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次3元.
(1)如果你只选择一种购票方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,从以上4种购票方式中找出进入该园林次数最多的购票方式;
(2)设一年中进园次数为x,分别写出购买B、C两类年票的游客全年的进园购票费用y与x的函数关系;当x≥10时,购买B、C两类年票,哪种进园费用较少?
(3)求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买A类门票进园的费用最少.
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)根据题意分别求出不购年票和购买年票一年进入园林的次数,再进行比较就可以求出结论;
(2)设一年去园林的次数为x次,购买年票的一年的费用为yB元,不购卖年票的一年的费用为yC元,由WB>WC建立不等式求出其解即可;
(3)设一年中进入该园林x次,根据题意列出不等式组解答即可.
【解答】解:(1)若不购买年票,则能够进入该园林80÷10=8(次);
因为80<120,所以不可能选择A类年票;
若只选择购买B类年票,则能够进入该园林(80﹣60)÷2=10(次);
若只选择购买C类年票,则能够进入该园林(80﹣40)÷3≈13(次).
所以,一年中用80元购买门票,进园次数最多的购票方式是购买C类年票.
(2)由题意得yB=2x+60;yC=3x+40;
由2x+60>3x+40,
解得x<20,
又∵x≥10,
∴一年中进园次数10≤x<20时,选择C类年票花费较少;
当x=20时,选择B、C两种方式花费一样多;
当x>20时,选择B类年票花费较少.
(3)设一年中进入该园林x次,根据题意,得:word/media/image141_1.png,
解得x>30.
答:一年中进入该园林至少超过30次时,购买A类年票比较合算.
【点评】此题主要考查了一次函数的实际运用,一元一次不等式组的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的数量关系,列出函数解析式与不等式组解决问题.
八、(本题满分14分)
23.如图①,平行四边形ABCD中,AB=AC,CE⊥AB于点E,CF⊥AC交AD的延长线于点F.
(1)求证:△BCE∽△AFC;
(2)连接BF,分别交CE、CD于G、H(如图②),求证:EG=CG;
(3)在图②中,若∠ABC=60°,求word/media/image34_1.png.
word/media/image41_1.png
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACF=90°,由四边形ABCD是平行四边形,得到AB∥CD,根据等腰三角形的性质即可得到结论;
(2)根据相似三角形的性质得到word/media/image145_1.png,根据平行线分线段成比例定理得到word/media/image145_1.png,推出△BGE≌△HGC,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(3)根据等边三角形的判定定理得到△ABC是等边三角形,由全等三角形的性质得到BE=CH,等量代换得到CH=DH,于是得到结论.
【解答】(1)证明:∵CE⊥AB,CF⊥AC,
∴∠BEC=∠ACF=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
又∵AB=AC,∴∠EBC=∠ACB=∠CAF,
∴△BCE∽△AFC;
(2)证明:∵△BCE∽△AFC,
∴word/media/image145_1.png,
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴word/media/image145_1.png,
∴BE=CH,
∵AB∥CD,
∴∠BEG=∠HCG,
∠EBG=∠CHG,在△BGE与△HGC中,word/media/image148_1.png,
∴△BGE≌△HGC,
∴EG=CG;
(3)解:∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵CE⊥AB,
∴BE=AE,
∵△BGE≌△HGC,
∴BE=CH,
∴CH=DH,
∵AD∥BC,
∴BH=FH,
∵BG=GH,
∴BG:GF=1:3.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,平行线的性质,平行线分线段成比例,平行四边形的性质,证得△BGE≌△HGC是解题的关键.
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