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高等数学入学考试大纲

本大纲根据2002年“全国各类成人高考复习考试辅导教材专科起点升本科——高等数学（二）（第二版）”的要求编导而成。

（一）函数、极限和连续

1、函数

（1）理解函数的定义；会用集合或区间来表示函数的定义域；分清显函数、隐函数和分段函数；熟知六大类基本初等函数（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）的解析式、定义域、值域及函数的图象；掌握初等函数的定义及构成。

（2）会求已给函数的反函数

（3）弄清复合函数的定义及给定一个复合函数要搞清它是由哪几个简单函数复合而成。

（4）掌握函数的简单性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性）。

（5）认清分段函数的特点：

①分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数；

②由于一个分段函数的函数关系是用几个公式分段表示的，所以各段的定义域必须明确表示；

③对分段函数求值时，不同点的函数值应代入点所在的相应段的解析式中去求；

④一个分段函数的定义域是它的各段定义域的并集。

2、极限

（1）熟练地求出两种过程（x—>x0和x—>∞）f(x)的极限或数列{an}的极限«Skip Record If...»，要掌握：

①利用极限的四则运算求极限；

②利用无穷小（大）量的性质求极限；

③利用等价无穷小求极限；

④利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”来求极限；

⑤利用两个重要极限来求极限。

注意1：两个重要极限：«Skip Record If...»=1，«Skip Record If...»=e（或«Skip Record If...»=e）

常用推广形式：«Skip Record If...»=1，«Skip Record If...»=e（或«Skip Record If...»）=e）

注意2：对于分式函数的极限lim«Skip Record If...»，以下七种情况是定型的，可以马上写出结果：（在x 的同一变化过程中）

10 f(x)—>a(a≠0)，g(x) —>b(b≠0),则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»（简记“«Skip Record If...»”=«Skip Record If...»）；

20 f(x)—>a(a≠0)，g(x) —>0，则«Skip Record If...»—>∞（简记“«Skip Record If...»”=∞）；

30 f(x)—>a(a≠0)，g(x) —>∞，则«Skip Record If...»—>0（简记“«Skip Record If...»”=0）；

40 f(x)—>0，g(x) —>b(b≠0), 则«Skip Record If...»—>0（简记“«Skip Record If...»”=0）；

50 f(x)—>0，g(x) —>∞，则«Skip Record If...»—>0（简记“«Skip Record If...»”=0）；

60 f(x)—>∞，g(x) —>b(b≠0), 则«Skip Record If...»—>∞（简记“«Skip Record If...»”=∞）；

70 f(x)—>∞，g(x) —>0, 则«Skip Record If...»—>∞（简记“«Skip Record If...»”=∞）。

注意3：要会用分解因式或分子分母同乘同一个共轭根式后消去零因子法或用罗必达法则等方法把“«Skip Record If...»”型化注意2中的结果。

注意4：要会用消去分子、分母中的“∞”因子法或用罗必达等方法把“«Skip Record If...»”型化为注意2中的结果或有时用下面的结果直接得到结论也可：

«Skip Record If...» «Skip Record If...» =«Skip Record If...»

（2）会运用极限存在的充要条件来求函数极限或判函数极限的存在性：

«Skip Record If...» «Skip Record If...» =A«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=A

（这是求分段函数在分界点的极限或判别分界点极限存在性的依据）

（3）知道无穷小的比较及无穷小与无穷大的关系。

3、连续

（1）熟记连续函数的两个等价定义：

定义1：若y=f(x)在x=x0及其领域有定义，且«Skip Record If...»=0，则称y=f(x)在x0点连续；

定义2：若y= f(x)在x=x0及其领域有定义，且«Skip Record If...»=f(x0)，则称y=f(x)在x0连续。

（2）仿上，相应地会导出f(x)在x0左连续和右连续的定义。

（3）熟悉和会应用函数f(x)在x0点连续的充分且必要条件定理：

«Skip Record If...»=f(x0)«Skip Record If...»f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0)

（这是判定分段函数在分段点连续性的依据）

（4）了解函数间断点的分类及间断的原因

f(x)在x0点间断«Skip Record If...»

（5）了解闭区间[a,b]上连续函数的基本性质：

最大值与最小值存在定理、有界性定理、介值定理、零点存在定理。

要熟练掌握用“零点存在定理”来判定方程f(x)=0的根的存在性。

（6）熟记“初等函数在它的定义区间内是连续的”。

（二）一元函数微分学

1、导数与微分

（1）熟记导数的定义：

f＇（x0）=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»（或=«Skip Record If...»）

相应地把上述各极限改为左极限就得到左导数f＇(x0)的定义，把各极限改为右极限就得到右导数的定义了。

（2）熟记和会应用f＇（x0）存在的“充要条件”定理：

f＇（x0）存在«Skip Record If...» f-＇（x0）、f+＇（x0）都存在且相等（这时f-＇（x0）=f+＇（x0）=f＇（x0）），

（这是求分段函数在分段点的导数或判断它在分段点可导性的依据）

注：“f(x)在x0点连续”是f(x)在x0点可导的必要条件（但不是充分条件）。

（3）熟记求导法则和求导公式

（4）能熟练地求出不太复杂的复合函数的导数

（5）会求隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数。

求由方程F(x,y)=0所确定的隐函数的导数«Skip Record If...»方法有两种：

方法一：方程两边对x求导，y视为x的函数（即求导时y视为中间变量）

则«Skip Record If...»+«Skip Record If...»·«Skip Record If...»=0 —>«Skip Record If...»=-«Skip Record If...»

方法二：直接用公式«Skip Record If...»=-«Skip Record If...»，但要注意所给方程必须是右端为0，否则要把非零项移到左边，这时的左边的代数式才是F（x,y）.

（6）能用对数求导法求幂指函数«Skip Record If...»或形如y=«Skip Record If...»或y=«Skip Record If...»等含乘、除、乘幂、开方等函数的导数。

（7）会求高阶导数（主要是二阶导数）

（8）会用公式dy=f(x)dx来求微分

2、中值定理及洛必达（或译成罗必达）法则

（1）熟记洛尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理的条件和结论，要求：

已知f(x)，要会检验它在区间[a,b]上是否满足洛尔定理（或拉格朗日定理）的条件，若满足，还要会把«Skip Record If...»求出来。

（2）要熟练和准确地利用洛必达法则求“«Skip Record If...»”或“«Skip Record If...»”型待定式的极限。

（3）会求0·∞或∞·0型、∞-∞型待定式的极限。

3、导数的应用

（1）理解导数的实际意义（几何意义和物理意义），并用以求出已给曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线和法线方程。

（2）对某些不太复杂的函数f(x)能熟练地求出：

①f(x)的单调区间和极值；

②f(x)的凹凸区间（或称凹性区间或凸性区间）和拐点；

③f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值；

④y=f(x)的图象的水平渐进线和铅直（或称垂直）渐进线。

（三）一元函数积分学

1、不定积分

（1）熟悉原函数的定义、不定积分的定义和运算 ，特别要记住不定积分的两个基本性质：

10«Skip Record If...»=f(x)或d(«Skip Record If...»)=f(x)dx;

20«Skip Record If...»=F(x) +c或«Skip Record If...»。

（2）熟记基本积分公式；

（3）要熟练地用第一换元法（即凑微分法）来求不定积分。

（4）会用第二换元法和分部积分法求某些较简单的不定积分。

2、定积分

（1）定积分的定义

它的数学模型是：求以y=f(x)(f(x)≥0，a≤x≤b)为曲边，区间[a,b]为底边的曲边梯形的面积A；

A=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»。

（2）定积分的性质（线性性质和可加性性质等）

（3）牛顿-莱布尼兹公式：设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的任意一个原函数，则«Skip Record If...»

（4）会用换元法和分部积分法计算定积分；

（5）知道可变上限的定积分«Skip Record If...»的导数«Skip Record If...»，可用于“«Skip Record If...»”型极限的运算。

例«Skip Record If...»

（6）定积分的应用

会用定积分来计算平面图形的面积和旋转体的体积。

3、广义积分

知道无界广义积分和无穷限广义积分的定义及计算方法。

（四）多元函数微积分初步

1、多元函数微分学

（1）了解二元函数的定义，会求二元函数的定义域；

注意：二元函数的定义域是平面上的一个点集；

二元函数的图象是三维空间的一个曲面（这里平面也可视为曲面的特殊情况）。

（2）掌握偏导数的定义并熟练地掌握它的计算方法

（设z=f(x,y),求«Skip Record If...»实质上是把f(x,y)中的y视为常数，x为变量，则f(x,y)视为x的一元函数，按一元函数的求导法则和求导公式来求导。类似地，求«Skip Record If...»,是把x视为常数，f(x,y)视为y的一元函数来求一元函数的导数。）

（3）全微分公式：dz=«Skip Record If...»

2、二重积分（重点放在直角坐标系下的二重积分）

（1）会化二重积分为累次积分；

（2）会交换二重积分的积分次序；

（3）会计算二重积分（积分区域D由常见的较简单的曲线和直线所围城）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5afd1a0ebb0d4a7302768e9951e79b896902685a.html