2019年浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷

2019年浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）

1．（4分）3的相反数是（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣ D．

2．（4分）据国家外汇管理局4月7日公布的数据显示，截至2019年3月末，我国外汇储备规模为30988亿美元将30988亿用科学记数法表示为（　　）

A．30988×108 B．3.0988×1012

C．3.0988×1011 D．3.0988×1013

3．（4分）有4个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

4．（4分）有6张扑克牌（如图），背面朝上，从中任抽一张，则抽到方块牌的概率是（　　）

A． B． C． D．

5．（4分）下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（　　）

A．18×（﹣）＝18×﹣18×

B．2（x﹣y）＝2x﹣2y

C．＝

D．a（b﹣1）＝ab﹣a

6．（4分）为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）．小聪为了说明“A．正方形；B．矩形；C．四边形；D．菱形；E．平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、②、③、④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（　　）（用名称前的字母代号表示）

A．C、E、B、D B．E、C、B、D C．E、C、D、B D．E、D、C、B

7．（4分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形上，AB与CD相交于点O，则tan∠AOD等于（　　）

A． B．2 C．1 D．

8．（4分）将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”．假如“筝形”下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（　　）

A．有两组邻边相等的四边形称为“筝形”

B．有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”

C．两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”

D．以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”

9．（4分）对于不为零的两个实数m，n，我们定义：m⊗n＝，那么函数y＝x⊗3的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（4分）在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BC＝m•BD，过D点作直线AB，AC的垂线，垂足分别为E、F，若AB＝n•AC．则＝（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

11．（5分）分解因式：4a2﹣b2＝　 　．

12．（5分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出7钱，还差3钱．则合伙人数为　 　人；羊价为　 　钱．

13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为π，则BC的长是　 　．

14．（5分）已知直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径作弧交直线l于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧），连结PM，作直线PA交MN于点O，若PO＝，MN＝2，则cos∠APM＝　 　．

15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（1，），以OP为斜边作等腰直角△OAP，直角顶点A在反比例函数y＝的图象上，则k的值是　 　．

16．（5分）如图，已知△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，EF＝10，顶点D，E分别在边AB，AC上滑动．则在滑动过程中，点A，F间距离的最大值为　 　．

三、解答题（本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，第2小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17．（8分）（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1

（2）解不等式：

18．（8分）“腹有诗书气自华，阅读路伴我成长”，我区某校学生会以“每天阅读1小时”为问卷主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅末完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：

（1）把折线统计图（图1）补充完整；

（2）该校共有学生1200名，请估算最喜爱科普类书籍的学生人数．

19．（8分）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮框D到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，．tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4）

20．（8分）小敏学习之余设计了一个求函数表达式的程序，具体如图所示，则当输入下列点的坐标时，请按程序指令解答．

（1）P1（1，0），P2（﹣3，0）．

（2）P1（2，﹣1），P2（4，﹣3）

21．（10分）如图，公路上有A、B、C三个汽车站，一辆汽车8：00从离A站10km的P地出发，向C站匀速行驶，15min后离A站30km．

（1）设出发x h后，汽车离A站y km，写出y与x之间的函数表达式；

（2）当汽车行驶到离A站250km的B站时，接到通知要在12：00前赶到离B站60km的C站．汽车按原速行驶，能否准时到达？如果能，那么汽车何时到达C站？

22．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′＝32°．

（1）求∠D′EF的度数；

（2）求线段AE的长．

23．（12分）在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN，直线BD与MN交于点E．

（1）如图1．当点M在BC上时，为证明“BD﹣2DE＝BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M作CD的平行线交BD于点P．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．

（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，则BD，DE，BM之间满足的数量关系是　 　．

（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，如图3，若，CM＝2，则线段DG＝　 　．

24．（14分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和点P给出如下定义：当∠APB＝90°时，称点P为线段AB的“直角视点”．

（1）若t＝﹣，在点C（0，），D（﹣1，），E（，）中，能够成为线段AB“直角视点”的是　 　．

（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（4，0），∠OMN＝30°．

①线段AB的“直角视点”P在直线MN上，且∠ABP＝60°，求点P的坐标．

②在①的条件下，记Q为直线MN上的动点，在点Q的运动过程中，△QAB的周长存在最小值，试求△QAB周长的最小值　 　．

③若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，则t的取值范围是　 　．

2019年浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）

1．（4分）3的相反数是（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣ D．

【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．

【解答】解：根据相反数的含义，可得

3的相反数是：﹣3．

故选：A．

【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．

2．（4分）据国家外汇管理局4月7日公布的数据显示，截至2019年3月末，我国外汇储备规模为30988亿美元将30988亿用科学记数法表示为（　　）

A．30988×108 B．3.0988×1012

C．3.0988×1011 D．3.0988×1013

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：30988亿＝3.0988×1011，

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（4分）有4个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1

【解答】解：如图所示：它的主视图是：．

故选：D．

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．

4．（4分）有6张扑克牌（如图），背面朝上，从中任抽一张，则抽到方块牌的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用概率公式求解．

【解答】解：观察图形知：6张扑克中有2张方块，

所以从中任抽一张，则抽到方块的概率＝＝．

故选：A．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

5．（4分）下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（　　）

A．18×（﹣）＝18×﹣18×

B．2（x﹣y）＝2x﹣2y

C．＝

D．a（b﹣1）＝ab﹣a

【分析】根据单项式乘多项式的法则、分式的性质解答．

【解答】解：A、18×（﹣）＝18×﹣18×，单项式乘多项式；

B、2（x﹣y）＝2x﹣2y，单项式乘多项式；

C、＝，根据分式的性质；

D、a（b﹣1）＝ab﹣a，单项式乘多项式；

则变形依据与其它三项不同的是C，

故选：C．

【点评】本题考查的是单项式乘多项式、分式的性质，掌握单项式乘多项式的法则、分式的性质是解题的关键．

6．（4分）为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）．小聪为了说明“A．正方形；B．矩形；C．四边形；D．菱形；E．平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、②、③、④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（　　）（用名称前的字母代号表示）

A．C、E、B、D B．E、C、B、D C．E、C、D、B D．E、D、C、B

【分析】根据矩形、菱形、正方形、平行四边形以及四边形联系进而得出即可．

【解答】解：①表示四边形，②表示平行四边形，③或④表示菱形或矩形，

故选：A．

【点评】此题主要考查了四边形有关的概念，正确区分它们是解题关键，本题属于基础题．

7．（4分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形上，AB与CD相交于点O，则tan∠AOD等于（　　）

A． B．2 C．1 D．

【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACO∽△BHO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得HO：CO＝1：3，即可得OF：CF＝OF：BF＝1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．

【解答】解：如图，连接BE，与CD交于点F，

∵四边形BCEH是正方形，

∴HF＝CF＝CH，BF＝EF＝BE，CH＝BE，BE⊥CH，

∴BF＝CF，

∵AC∥BH，

∴△ACO∽△BHO，

∴HO：CO＝BH：AC＝1：3，

∵CO＝HF，

∴HO：HF＝1：2，

∴HO＝OF＝，

在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2

∵∠AOD＝∠BOF，

∴tan∠AOD＝2．

故选：B．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关内容．

8．（4分）将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”．假如“筝形”下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（　　）

A．有两组邻边相等的四边形称为“筝形”

B．有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”

C．两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”

D．以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”

【分析】根据等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题；

【解答】解：由题意：“筝形”的一条对角线是另一条对角线的垂直平分线，

所以：“筝形”是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．

故选：D．

【点评】本题考查轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．

9．（4分）对于不为零的两个实数m，n，我们定义：m⊗n＝，那么函数y＝x⊗3的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】当x≥3时，y＝x﹣3，当x＜3时，y＝﹣，结合范围确定图象；

【解答】解：当x≥3时，y＝x﹣3，图象是一次函数的一段，

当x＜3时，y＝﹣，图象是反比例函数的一部分；

结合解析式，可知B．

故选：B．

【点评】本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质；能够根据定义，分别求出两段函数的表达式是解题的关键．

10．（4分）在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BC＝m•BD，过D点作直线AB，AC的垂线，垂足分别为E、F，若AB＝n•AC．则＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】分别用DE、DF表示S△ABD＝，S△ACD＝，通过线段比可知两三角形面积关系，进而得到＝（1﹣m），从而得到DE和DF关系即可解答．

【解答】解：连接AD，

∵BC＝m•BD，

∴CD＝（1﹣m）BD

∴S△ACD＝（1﹣m）S△ABD，

又∵S△ABD＝，S△ACD＝，

∴＝（1﹣m），

∵AB＝n•AC，

∴AC•DF＝（1﹣m）n•AC•DE

∴DF＝（1﹣m）n•DE

∴

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示等到等式是解题的关键．

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

11．（5分）分解因式：4a2﹣b2＝　（2a+b）（ 2a﹣b ）　．

【分析】首先把4a2写成（2a）2，再直接利用平方差公式进行分解即可．

【解答】解：4a 2─b2＝（2a）2﹣b2＝（2a+b）（ 2a﹣b ），

故答案为：（2a+b）（ 2a﹣b ）．

【点评】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，关键是掌握能够运用平方差公式分解因式的多项式的特点：①必须是二项式；②两项都能写成平方的形式；③符号相反．

12．（5分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出7钱，还差3钱．则合伙人数为　21　人；羊价为　150　钱．

【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据“每人出5钱，还差45钱：每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，

依题意，得：，

解得：．

故答案为：21；150．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为π，则BC的长是　3　．

【分析】设∠AEF＝n°，由题意＝π，解得n＝120，推出∠AEF＝120°，在Rt△EFD中，求出DE即可解决问题．

【解答】解：设∠AEF＝n°，

由题意＝π，解得n＝120，

∴∠AEF＝120°，

∴∠FED＝60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD，∠D＝90°，

∴∠EFD＝30°，

∴DE＝EF＝1，

∴BC＝AD＝2+1＝3，

故答案为3．

【点评】本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

14．（5分）已知直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径作弧交直线l于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧），连结PM，作直线PA交MN于点O，若PO＝，MN＝2，则cos∠APM＝　　．

【分析】利用基本作图，根据几何语言画出对应几何图形，利用作法得到AP垂直平分MN，则OM＝ON＝1，根据勾股定理计算出PM＝2，然后根据余弦定义求解．

【解答】解：如图，

有作法得AP垂直平分MN，则OM＝ON＝MN＝1，∠POM＝90°，

在Rt△POM中，PM＝＝2，

cos∠OPM＝＝，

即cos∠APM＝．

故答案为．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（1，），以OP为斜边作等腰直角△OAP，直角顶点A在反比例函数y＝的图象上，则k的值是　﹣或　．

【分析】分两种情况：当A点在OP的左边时，过A作AD⊥x轴于D，过P作PE⊥AD于E，则∠ADO＝∠PEA＝90°，

即可证得△AOC≌△BAD，证得AD＝PE，OD＝AE，设A的横坐标为m，则AD＝﹣m，PE＝1﹣m，由+m＝1﹣m，

求得A的坐标（，），代入解析式即可求得k的值；当A点在OP的右边时，同理证得A（，），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得．

【解答】解：

①如图1，当A点在OP的左边时，过A作AD⊥x轴于D，过P作PE⊥AD于E，则∠ADO＝∠PEA＝90°，

∵△APO是等腰直角三角形，

∴AO＝PA，∠PAO＝90°，

∴∠OAD+∠PAE＝∠OAD+∠AOD＝90°，

∴∠AOD＝∠PAE，

∴△AOC≌△BAD（AAS），

∴AD＝PE，OD＝AE，

∵点P坐标为（1，），

∴DE＝，

设A的横坐标为m，则AD＝﹣m，PE＝1﹣m，

∴+m＝1﹣m，

∴m＝，

∴A（，），

∵顶点A在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝×＝﹣；

②如图2当A点在OP的右边时，过A作AD⊥x轴于D，过P作PE⊥AD于E，则∠ADO＝∠PEA＝90°，

同理：△AOC≌△BAD，

AD＝PE，OD＝AE，

设A的纵坐标为n，则OD＝1+n，AE＝﹣n，

∴1+n＝﹣n，

解得n＝，

∴A（，），

∴k＝，

综上，k的值是﹣或，

故答案为：﹣或．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质的运用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

16．（5分）如图，已知△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，EF＝10，顶点D，E分别在边AB，AC上滑动．则在滑动过程中，点A，F间距离的最大值为　10　．

【分析】当ADFE时平行四边形时，AF最大，过点F作FG⊥AB，结合等腰直角三角形，分别求出AG和GF的长，进而求AF即可；

【解答】解：当ADFE时平行四边形时，AF最大，

过点F作FG⊥AB，

∵△DEF均等腰直角三角形，EF＝10，

∴ED＝DF＝10，

∴AD＝10，

∵∠ADE＝45°，∠EDF＝90°，

∴△DFG是等腰直角三角形，

∴GF＝DG＝5，

在直角三角形AGF中，AG＝15，

∴AF＝10；

故答案10；

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

三、解答题（本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，第2小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17．（8分）（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1

（2）解不等式：

【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）依据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．

【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣1+3＝2；

（2）3（1+x）﹣6≤2x，

3+3x﹣6≤2x，

3x﹣2x≤6﹣3，

x≤3

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

18．（8分）“腹有诗书气自华，阅读路伴我成长”，我区某校学生会以“每天阅读1小时”为问卷主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅末完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：

（1）把折线统计图（图1）补充完整；

（2）该校共有学生1200名，请估算最喜爱科普类书籍的学生人数．

【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得总人数，根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；

（2）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．

【解答】解：（1）一共调查了45÷30%＝150（名），

艺术的人数：150×20%＝30（名），

其它的人数：150×10%＝15（名）；

补全折线图如图：

（2）最喜爱科普类书籍的学生人数为：×1200＝320（人），

答：估算最喜爱科普类书籍的学生有320人．

【点评】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比，根据题意从统计图中读取有用信息是解题关键．也考查了用样本估计总体．

19．（8分）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮框D到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，．tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4）

【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，

∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22，

∴GM＝AB＝2.22，

在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，

∴sin60°＝＝，

∴FG＝2.125，

∴DM＝FG+GM﹣DF≈2.9米．

答：篮框D到地面的距离是2.9米．

【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．

20．（8分）小敏学习之余设计了一个求函数表达式的程序，具体如图所示，则当输入下列点的坐标时，请按程序指令解答．

（1）P1（1，0），P2（﹣3，0）．

（2）P1（2，﹣1），P2（4，﹣3）

【分析】（1）根据x1和x2的大小关系得出x1x2＝﹣3＜0，进而问题转化为待定系数法求二次函数的解析式，设出交点式，将点P坐标代入即可；

（2）根据x1和x2的大小关系得出y1y2＝3＞0，进而问题转化为待定系数法求一次函数的解析式，分别将点P1、P2坐标代入即可．

【解答】解：（1）∵P1（1，0），P2（﹣3，0），1＞﹣3，

∴x1x2＝﹣3＜0，

设过P1（1，0），P2（﹣3，0），P（﹣2，4）三点的抛物线的函数表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3），

将P（﹣2，4）代入解得a＝﹣，

∴y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣x+4；

（2）∵P1（2，﹣1），P2（4，﹣3），2＜4，

∴y1y2＝3＞0，

设直线P1P2的函数表达式为：y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝﹣x+1．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，解题的关键是根据题意判断出需要求解的函数解析式．

21．（10分）如图，公路上有A、B、C三个汽车站，一辆汽车8：00从离A站10km的P地出发，向C站匀速行驶，15min后离A站30km．

（1）设出发x h后，汽车离A站y km，写出y与x之间的函数表达式；

（2）当汽车行驶到离A站250km的B站时，接到通知要在12：00前赶到离B站60km的C站．汽车按原速行驶，能否准时到达？如果能，那么汽车何时到达C站？

【分析】（1）由路程＝速度×时间+原来的路程就可以得出结论；

（2）先求出AC之间的距离，再将AC的值代入解析式求出其值即可．

【解答】解：（1）由题意，得

汽车速度为：（30﹣10）÷15×60＝80km/h，

y与x之间函数表达式为：y＝10+80x．

答：y与x之间的函数表达式为y＝10+80x；

（2）由题意，得

AB＝250，BC＝60，

∴AC＝310．

当y＝310时，

310＝10+80x，

解得：x＝．

∵8+＝11，即11点45分＜12点．

∴汽车按原速行驶，可以准时到达．

【点评】本题考查了行程问题的数量关系路程＝速度×时间的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

22．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′＝32°．

（1）求∠D′EF的度数；

（2）求线段AE的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFB，由折叠的性质可得∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，由四边形内角和定理可求∠D′EF的度数；

（2）过点E作EH⊥AB于点H，设AE＝x，可得AH＝，HE＝x，由勾股定理可求x的值，即可求线段AE的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC

∴∠DEF＝∠EFB

∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处

∴∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，

∴∠D'EF＝∠EFB，

∵∠BGD′＝32°

∴∠D'GF＝148°

∵∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G＝360°

∴∠D'EF＝76°

（2）过点E作EH⊥AB于点H，

设AE＝x，

∵AD∥BC

∴∠HAD＝∠B＝60°，且EH⊥AB

∴AH＝，HE＝x，

∵点D'是AB中点

∴AD'＝AB＝2

∵HE2+D'H2＝D'E2，

∴x2+（2+）2＝（8﹣x）2，

∴x＝

∴AE＝

【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．

23．（12分）在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN，直线BD与MN交于点E．

（1）如图1．当点M在BC上时，为证明“BD﹣2DE＝BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M作CD的平行线交BD于点P．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．

（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，则BD，DE，BM之间满足的数量关系是　BD+2DE＝BM　．

（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，如图3，若，CM＝2，则线段DG＝　　．

【分析】（1）如图1，过点M作MP∥CD于点P，推出PM＝DN，根据AAS证△EPM和△EDN全等，推出DE＝EP，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；

（2）如图2，过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出PM＝DN，根据AAS证△EPM和△EDN全等，推出DE＝EP，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；

（3）如图3，证△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出正方形的边长，求出DG长即可．

【解答】解：（1）如图1，过点M作MP∥CD，交BD于点P，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，

∵PM∥CD，

∴∠NDE＝∠MPE，∠BPM＝∠CDB＝45°，

∴△BPM是等腰直角三角形，

∴PM＝BM，PB＝BM，

∵BM＝DN，

∴PM＝DN，

在△EPM和△EDN中，

，

∴△EPM≌△EDN（AAS），

∴EP＝ED，

∴PB＝BD﹣PD＝BD﹣2DE，

根据勾股定理得：BP＝BM，

即BD﹣2DE＝BM；

（2）如图2，过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，

∴∠PMB＝∠BCD＝90°，

∵∠CBD＝45°，

∴△BMP是等腰直角三角形，

∴BM＝PM＝DN，

与（1）证法类似：△EPM≌△EDN（AAS），

∴EP＝ED，

∴PB＝BD+PD＝BD+2DE，

根据勾股定理得：BP＝BM，

即BD+2DE＝BP＝BM，

故答案为：BD+2DE＝BM；

（3）如图3，∵AB∥CD，

∴AB∥DN，

∴△ABF∽△DNF，

∴AF：FD＝AB：ND，

∵AF：FD＝1：2，

∴AB：ND＝1：2，

设AB＝x，则DN＝2x，

∵BM＝DN，

∴x+2＝2x，x＝2，

∴AB＝AD＝2，DF＝，

∴BD＝2，

∵DF∥BM，

∴＝＝，

∴DG＝＝．

故答案为：．

【点评】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．并运用了类比推理的思想解决问题．

24．（14分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和点P给出如下定义：当∠APB＝90°时，称点P为线段AB的“直角视点”．

（1）若t＝﹣，在点C（0，），D（﹣1，），E（，）中，能够成为线段AB“直角视点”的是　C、D、E　．

（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（4，0），∠OMN＝30°．

①线段AB的“直角视点”P在直线MN上，且∠ABP＝60°，求点P的坐标．

②在①的条件下，记Q为直线MN上的动点，在点Q的运动过程中，△QAB的周长存在最小值，试求△QAB周长的最小值　2+　．

③若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，则t的取值范围是　﹣2＜t＜4　．

【分析】（1）若t＝﹣，则AB＝2，得出AB2＝8，由勾股定理得：AC2＝BC2＝4，得出AC2+BC2＝AB2，得出∠ACB＝90°，得出点C是线段AB的“直角视点”；同理AD2+BD2＝8＝AB2，∠ADB＝90°，得出点D是线段AB的“直角视点”；同理AE2+BE2＝8＝AB2，∠AEB＝90°，得出点E是线段AB的“直角视点”；

（2）①分两种情况：当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴上方时，由题意得出点P在以AB为直径的圆上，得出∠PAB＝30°，得出PB＝AB＝，PA＝PB＝，作PG⊥AB于G，则PG＝PA＝，求出OM＝4，GM＝PG＝，得出OG＝OM﹣GM＝4﹣，即可得出P（4﹣，）；当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，同理得：P（4﹣，﹣）；

②由AB＝2，若△QAB的周长最小，则AQ+BQ的值最小，作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，则AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，求出由直角三角形的性质得出AG＝PG＝，得出BG＝AB﹣AG＝，A'G＝AG＝，再由勾股定理求出A'B＝＝，即可得出结果；

③分别求出B与O重合，A与M重合时t的值，即可得出结果．

【解答】解：（1）若t＝﹣，则A（﹣，0），B（，0），

则AB＝2，

∴AB2＝8，

∵点C（0，），D（﹣1，），E（，），

由勾股定理得：AC2＝（）2+（）2＝4，BC2＝（）2+（）2＝4，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴点C是线段AB的“直角视点”；

同理：AD2＝（﹣1）2+（）2＝﹣2，BD2＝（+1）2+（）2＝+2，

∴AD2+BD2＝8＝AB2，

∴∠ADB＝90°，

∴点D是线段AB的“直角视点”；

同理：AE2＝（+）2+（）2＝6，EE2＝（﹣）2+（）2＝2，

∴AE2+BE2＝8＝AB2，

∴∠AEB＝90°，

∴点E是线段AB的“直角视点”；

故答案为：C、D、E；

（2）①分两种情况：当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴上方时，

∵点P是线段AB的“直角视点”，

∴∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的圆上，

∵∠ABP＝60°，

∴∠PAB＝30°，

∴PB＝AB＝，PA＝PB＝，

如图1所示：作PG⊥AB于G，

则PG＝PA＝，

∵点M的坐标是（4，0），∠OMN＝30°，

∴OM＝4，GM＝PG＝，

∴OG＝OM﹣GM＝4﹣，

∴P（4﹣，）；

当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，同理得：P（4﹣，﹣）；

综上所述，点P的坐标为（4﹣，）或（4﹣，﹣）；

②∵AB＝2，若△QAB的周长最小，则AQ+BQ的值最小，

作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，连接AA'，

则AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，

∵∠OMN＝30°，

∴∠MAA'＝60°，

∵AG＝PG＝，

∴BG＝AB﹣AG＝，A'G＝AG＝，

由勾股定理得：A'B＝＝，

∴△QAB最小值为2+；

故答案为：2+．

③如图3所示：

当B点与O重合，则t+2＝0，

∴t＝﹣2；

当A与M重合时，t＝4，

∴若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，t的取值范围是﹣2＜t＜4；

故答案为：﹣2＜t＜4．

【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形性质、最小值问题等知识；本题综合性强，有一定难度．

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