第2课 - 平行线分线段成比例定理及其推论

（1）平行线分线段成比例定理及其推论

学习目标：

1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理，并会灵活应用．

2．在巩固平行线等分线段定理的基础上掌握其推论及推论的应用．

新课学习：

word/media/image1_1.png一、探究

1．如图，线段BE为梯形ACFD的中位线，

由此可知：①l3 l4 l5；

②∵( )， ( )

∴ ；（填“＝”或“≠” ）

2．如图，线段BE不再是梯形ACFD的中位线，而直线，若AB＝m，BC＝n，

word/media/image6_1.png由此可知： ( )

猜想： ( )，

也就是我们认为： ；

3．总结：

如图2，∵l3∥l4∥l5

∴( )， ( )， ( )，

( )， ( )， ( )；

为了便于记忆，上述的6个比例式，可用以下简单的形象化语言叙述：

，，，，，

二、例题学习

例1，如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，EF＝6，求BC.

解：∵l1∥l2∥l3

∴

(代入数据)

∴BC＝

即学即练：

1．如图，l1∥l2∥l3，请你写出一个正确的比例式，可以是 .

2．如图，l1∥l2∥l3，AB＝5，BC＝2，EF＝3，则DF＝ .

三、推论

1．观察下图变形后填空：

在图3和图4中，都有( )，……；

2．总结：

word/media/image23_1.png

几何语言：∵BE∥CF（或AD∥CF）

∴……

四、例题学习

例2，已知：如图，DE∥BC，AB=15，AC=9，BD＝4，求：AE．

解：∵DE∥BC

∴

(代入数据)

∴CE＝

∴AE＝ ＋ ＝

五、课堂练习

word/media/image28_1.pngA组：

1．如图，已知l1//l2//l3，下列比例式中错误的是（ ）

A、 B、

C、 D、

word/media/image33_1.png2．如图，已知l1//l2//l3，下列比例式中成立的是（ ）

A、 B、

C、 D、

一、 1、探究

如图，任意画两条直线AC，DF，再画三条与AC，DF相交的平行线AD，BE，

CF。分别度量AD，BE，CF在AC上截得的两条线段AB，BC和在DF上截得的两条线段DE，EF的长度，与相等吗？任意平移CF，再度量AB,BC,DE,EF的长度，与相等吗？

答：用直尺度量并计算得：

∵=

=

井字型

∴

事实上，当AD∥BE∥CF时，都可以得到 ，还可以得到

, ,

2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比

。

几何描述：∵ ∥ ∥

∴= ， ，

3、熟悉定理的几种变形

（1）∵ ∥ ∥

∴= ，

，

A字型

（2）∵ ∥ ∥

∴= ，

，

X字型

（3）∵ ∥ ∥

∴= ，

，

倒A型

（4）∵ ∥ ∥

∴= ，

，

畸形（O无用）

由上面的A字型和X字型我们可以得到

(1)∵在△ABC中，BE∥CF

∴= ， ，

(2) ∵在△ABC中，AD∥CF

∴= ， ，

小结：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比

二、 例题讲解：

例1：如图AD∥BE∥CF，AB=3，AC=8，DF=10，求DE、EF的长

word/media/image51_1.png例2：已知线段a,b,c,求作线段,使

作法：
1.作线段AB=a
2.延长AB到点D，使BD=b
3.作射线AM，在AM上截取AC=c
4..连接BC，作DE‖BC，交AM于点E
则CE就是a,b,c的第四比例项

三、巩固练习

1、在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，且AE：EB=5：3，DC=16cm,求FC的长。

word/media/image54_1.png

2、如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长

word/media/image56_1.png3、如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连结AE，交CD边于点F。AD=6，CE=3，AF=5，求AE的长

1．已知：如图，AD∥CF，AB=3，BC=5，DB=4.5，求BF.

word/media/image57_1.png

2．已知：如图，，AB=a，BC=b，DF=c，求EF.

word/media/image59_1.png

平行线分线段成比例

1、 如图，∥∥，ＡＢ＝２ｃｍ，ＡＣ＝５ｃｍ，ＤＦ＝７ｃｍ，求ＥＦ和ＢＣ的长．

2、如图，∥∥，且ＡＢ＝２ＢＣ，ＤＦ＝５ｃｍ，ＡＧ＝４ｃｍ．求：ＧＦ、ＡＦ、ＥＦ的长度．

3、如图，∥∥，且ＡＢ：ＰＭ：ＤＥ＝５：３：４，ＡＣ＋ＰＮ＋ＤＦ＝４８ｃｍ．求ＡＣ、ＰＮ、ＤＦ的值．

4、如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在边ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ上，且四边形ＥＦＣＧ是矩形，若ＡＣ＝３cm，ＢＣ＝４cm，ＣＧ＝１cm，求ＡＥ、ＢＦ、ＣＦ的值．

5、已知：如图，Ｅ、Ｃ分别是ＡＣ、ＢＤ的中点，延长ＤＥ交ＡＢ于点Ｆ，过Ｅ作ＥＧ∥ＡＢ．(1）求证：ＤＧ＝３ＢＧ；（２）求DE/EF的值．

6、已知：如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＣ边上的一点，ＣＤ＝４ＡＤ，Ｅ为ＢＤ的中点，ＡＥ的延长线交ＢＣ于点Ｆ．求证：　ＢＦ／ＣＦ＝１／５

8、已知：如图，，ＤＦ∥ＥＣ．求证：ＥＦ∥ＢＣ．

9、已知：如图，∠１＝∠２，且ＡＭ／ＢＭ＝ＡＮ／ＮＣ，ＡＭ＝４ｃｍ，ＡＮ＝３ｃｍ，ＡＣ＝５ｃｍ，求ＭＮ的长

10、已知：如图，点Ｍ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的延长线上的任意一点，ＤＭ分别交ＢＣ、ＡＣ于点Ｎ、Ｐ，求证： DC/AM =CN/AD

11、已知：如图，点Ｍ为平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的中点，点Ｎ在ＢＣ上，且BN/CN=1/3，ＭＮ交ＢＤ于点Ｅ．求ＢＥ：ＥＤ的值．

12、已知：如图，Ｐ是平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上的任意一点，ＥＦ、GＨ过点Ｐ且分别交两组对边于点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ．求ＧＥ∥ＦＨ．

13、已知：如图，Ｃ，Ｅ、Ｂ在一直线上，直立在点Ｅ处的标杆ＥＦ＝２．５ｍ，站立在Ｃ处的观测者从点Ｄ处看到杆顶Ｆ，树顶Ａ在一条直线上．已知ＢＥ＝６ｍ，ＣＥ＝２ｍ，人目高ＣＤ＝１．７ｍ，求树高ＡＢ．

14、已知：如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，Ｅ、Ｆ为对角线ＡＣ上的点，

ＥＧ⊥ＡＤ，ＦＨ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｇ、Ｈ，且ＥＧ＋ＦＨ＝ＥＦ．求线段ＥＦ的长．

15、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ、Ｇ为对角线上三点，且ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＤ，

连结ＡＥ并延长交ＢＣ于Ｈ，连结ＨＧ并延长交ＡＤ于Ｋ．求ＡＤ：ＫＤ的值

16、如图，平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２８，Ｅ、Ｆ是对角线ＡＣ上的两点，且ＡＥ＝ＥＦ＝ＦＣ，ＤＥ交ＡＢ于点Ｍ，ＭＦ交ＣＤ于点Ｎ，求ＣＮ的长

17、如图，点Ｆ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＤＣ的延长线上一点，ＡＦ交ＢＣ于点Ｅ，

ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＤ＝７ｃｍ，ＢＥ＝４ｃｍ．求ＣＦ的长．

18、如图，ＡＤ∥ＥＦ∥ＢＣ，ＡＥ∶ＥＢ＝１∶２，若ＡＤ＝３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，求ＥＦ的长

19、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ在ＡＢ上ＡＥ∶ＥＢ＝１∶３．

ＤＥ交ＡＣ于点Ｆ．求ＡＦ∶ＦＯ∶ＯＣ的值

20、已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＭＮ∥ＢＣ，四边形ＭＮＰＱ是平行四边形，ＢＱ，ＣＰ的延长线相交于点Ｄ．求证：ＡＤ∥ＮＰ．

23、设点Ｐ是△ＡＢＣ的中线ＡＤ上一点，过Ｐ作ＡＢ，ＡＣ的平行线ＥＰ，ＦＰ分别交ＢＣ于点Ｅ、Ｆ．

求证：ＢＥ＝ＣＦ．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6031a731ad02de80d4d840d9.html