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发布时间：2023-10-02 09:47:34 来源：文档文库
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第4 关羽开门 刀举成功
●计名释义
关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.
数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！
●典例示范
［例1］ （2006年四川卷第19题）
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1AB=2a. 的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1； （Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小； （Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.
［分析］ 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.
［解Ⅰ］ 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里. 易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）.
［插语］ 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.
【例2】 (04·重庆卷题21设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.
（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上； （Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
【分析】 （Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=
(2证|OA|2+|OB|2=|AB|2 （3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.
显然，利用向量知识证OAOB=0,当为明智之举 