计算24点的基本方法

计算24点的基本方法

I. 1 的活用方法

在1至13的數字中，1是最具靈活性的，也是運算過程中的潤滑劑。

因此在計算24點時，有1出現的組合相對容易解答。

規律8： 1不僅可看成1，還可看成 “不作計算”

例如： 1 2 8 8 看成1 (8 ÷ 2 - 1) ⨯ 8 = 24

看成 “不作計算” (8 ⨯ 2 + 8) ⨯ 1 = 24

看成1的例子： 1 2 4 7 (7 + 4 + 1) ⨯ 2 = 24

1 3 4 9 9 ⨯ 3 - (4 - 1) = 24

1 7 12 13 (13 + 1) ÷ 7 ⨯ 12 = 24

看成 “不作計算” 的例子： 1 5 8 8 (8 - 5) ⨯ 8 ⨯ 1 = 24

1 3 4 12 (12 - 4) ⨯ 3 ÷ 1 = 24

1 3 3 9 (9 ⨯ 3 - 3) ⨯ 1 = 24

有1出現的組合不但容易解答，而且往往是一題多解的例子：

例如： 1 3 3 9 的算式還有 (9 ⨯ 3 - 3) ÷ 1 = 24

9 ⨯ 3 - 3 ⨯ 1 = 24

9 ⨯ 3 - 3 ÷ 1 = 24

9 ⨯ 3 ⨯ 1 - 3 = 24

9 ⨯ 3 ÷ 1 - 3 = 24

練習八：

1. 1 2 3 4 = 24

2. 1 2 5 9 = 24

3. 1 2 2 7 = 24

4. 1 1 5 5 = 24

5. 1 7 7 9 = 24

6. 1 1 3 10 = 24

7. 1 5 10 12 = 24

8. 1 2 2 13 = 24

9. 1 9 10 13 = 24

10. 1 5 7 11 (必須列出所有算式)

= 24 = 24

= 24 = 24

= 24 = 24

= 24 = 24

= 24

II. 難題的速算策略

難題是指那些不能採用3 ⨯ 8、4 ⨯ 6、2 ⨯ 12及1 ⨯ 24的基本方法求

解的組合。因此，在計算難題時，第三步大多使用加法、減法或除法

計算。

例如： 2 2 9 10 (9 - 2) ⨯ 2 + 10 = 24

以上的難題出現時，可考慮固定10，然後將2、2、9三個數處理成

14，再以14加10得 24。

例如： 2 7 8 9 (7 + 9) ⨯ 2 - 8 = 24

以上的難題出現時，可考慮固定8，然後將2、7、9三個數處理成

32，再以32減8得 24。

例如： 6 6 9 10 (9 - 6) ⨯ 10 - 6 = 24

以上的難題出現時，可考慮固定6，然後將6、9、10三個數處理成

30，再以30減6得 24。

例如： 2 5 8 8 (5 ⨯ 8 + 8) ÷ 2 = 24

以上的難題出現時，可考慮固定2，然後將5、8、8三個數處理成

48，再以48除以2得 24。

從以上的分析，要解難題先要有一個

穩健的四則運算的基礎，現在讓我們

先熟練以下的運算：

加法： + 1 = 24、 + 2 = 24、 + 3 = 24、

+ 4 = 24、 + 5 = 24、 + 6 = 24、

+ 7 = 24、 + 8 = 24、 + 9 = 24、

+ 10 = 24、 + 11 = 24、 + 12 = 24、

+ 13 = 24

減法： - 1 = 24、 - 2 = 24、 - 3 = 24、

- 4 = 24、 - 5 = 24、 - 6 = 24、

- 7 = 24、 - 8 = 24、 - 9 = 24、

- 10 = 24、 - 11 = 24、 - 12 = 24、

- 13 = 24

除法： ÷ 2 = 24、 ÷ 3 = 24、 ÷ 4 = 24、

÷ 5 = 24、 ÷ 6 = 24、 ÷ 7 = 24

在難解題的式子中，又以使用除法計算第三步的組合的難度最高。

例如： 2 4 4 13 (13 ⨯ 4 - 4) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24

3 8 8 10 (10 ⨯ 8 - 8) ÷ 3 = 72 ÷ 3 = 24

4 7 12 12 (12 ⨯ 7 + 12) ÷ 4 = 96 ÷ 4 = 24

1 5 11 11 (11 ⨯ 11 - 1) ÷ 5 = 120 ÷ 5 = 24

6 11 12 12 (12 ⨯ 11 + 12) ÷ 6 = 144 ÷ 6 = 24

1 7 13 13 (13 ⨯ 13 - 1) ÷ 7 = 168 ÷ 7 = 24

練習九：

1. 2 5 6 9 = 24

2. 1 5 7 10 = 24

3. 5 7 7 10 = 24

4. 4 7 9 11 = 24

5. 8 9 11 11 = 24

6. 1 2 7 7 = 24

7. 5 7 9 10 = 24

8. 6 7 7 11 = 24

9. 5 10 10 11 = 24

10. 4 4 10 10 = 24

III. 難題的分數巧算法

有些難題不能用整數的方法處理時，就必須考慮使用分數巧算法。

這類題目難度很高，需要動一番腦筋才行。

第一種分數巧算法： 第三步成為 8 ÷ = 24 或 3 ÷ = 24。

例如： 8 1 2 3 8 ÷ (1 - 2 ÷ 3) = 24

以上的難題出現時，因為有8就可考慮將1、2、3三個數處理成

，再以8 ÷ = 24。 其他可用 8 ÷ 的例子如下：

8 1 4 6 8 ÷ (1 - 4 ÷ 6) = 24

8 1 6 9 8 ÷ (1 - 6 ÷ 9) = 24

8 1 8 12 8 ÷ (1 - 8 ÷ 12) = 24

8 2 3 5 8 ÷ (2 - 5 ÷ 3) = 24

8 3 3 8 8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24

8 3 4 11 8 ÷ (4 - 11 ÷ 3) = 24

8 1 3 4 8 ÷ (4 ÷ 3 - 1) = 24

8 1 6 8 8 ÷ (8 ÷ 6 - 1) = 24

8 1 9 12 8 ÷ (12 ÷ 9 - 1) = 24

8 2 3 7 8 ÷ (7 ÷ 3 - 2) = 24

8 3 3 10 8 ÷ (10 ÷ 3 - 3) = 24

8 3 4 13 8 ÷ (13 ÷ 3 - 4) = 24

可用 3 ÷ = 24 的例子如下：

例如： 3 1 7 8 3 ÷ (1 - 7 ÷ 8) = 24

3 1 8 9 3 ÷ (9 ÷ 8 - 1) = 24

第二種分數巧算法： 第三步成為 6 ÷ = 24 或 4 ÷ = 24。

例如： 6 1 3 4 6 ÷ (1 - 3 ÷ 4) = 24

以上的難題出現時，因為有6就可考慮將1、3、4三個數處理成

，再以6 ÷ = 24。

其他可用6 ÷ 的例子如下：

6 1 6 8 6 ÷ (1 - 6 ÷ 8) = 24

6 1 9 12 6 ÷ (1 - 9 ÷ 12) = 24

6 2 4 7 6 ÷ (2 - 7 ÷ 4) = 24

6 3 4 11 6 ÷ (3 - 11 ÷ 4) = 24

6 1 4 5 6 ÷ (5 ÷ 4 - 1) = 24

6 1 8 10 6 ÷ (10 ÷ 8 - 1) = 24

6 2 4 9 6 ÷ (9 ÷ 4 - 2) = 24

6 3 4 13 6 ÷ (13 ÷ 4 - 3) = 24

可用4 ÷ = 24 的例子如下：

例如： 4 1 5 6 4 ÷ (1 - 5 ÷ 6) = 24

4 1 10 12 4 ÷ (1 - 10 ÷ 12) = 24

4 2 6 11 4 ÷ (2 - 11 ÷ 6) = 24

4 1 6 7 4 ÷ (7 ÷ 6 - 1) = 24

4 2 6 13 4 ÷ (13 ÷ 6 - 2) = 24

第三種分數巧算法： 第三步成為12 ÷ 或2 ÷ 。

例如： 12 1 1 2 12 ÷ (1 - 1 ÷ 2) = 24

以上的難題出現時，因為有12就可考慮將1、1、2三個數處理成

，再以12 ÷ = 24。

其他可用12 ÷ 的例子如下：

12 1 2 4 12 ÷ (1 - 2 ÷ 4) = 24

12 1 3 6 12 ÷ (1 - 3 ÷ 6) = 24

12 1 4 8 12 ÷ (1 - 4 ÷ 8) = 24

12 1 5 10 12 ÷ (1 - 5 ÷ 10) = 24

12 1 6 12 12 ÷ (1 - 6 ÷ 12) = 24

12 2 2 3 12 ÷ (2 - 3 ÷ 2) = 24

12 2 4 6 12 ÷ (2 - 6 ÷ 4) = 24

12 2 6 9 12 ÷ (2 - 9 ÷ 6) = 24

12 2 8 12 12 ÷ (2 - 12 ÷ 8) = 24

12 2 3 5 12 ÷ (3 - 5 ÷ 2) = 24

12 3 4 10 12 ÷ (3 - 10 ÷ 4) = 24

12 2 4 7 12 ÷ (4 - 7 ÷ 2) = 24

12 2 5 9 12 ÷ (5 - 9 ÷ 2) = 24

12 2 6 11 12 ÷ (6 - 11 ÷ 2) = 24

12 2 7 13 12 ÷ (7 - 13 ÷ 2) = 24

12 1 2 3 12 ÷ (3 ÷ 2 - 1) = 24

12 1 4 6 12 ÷ (6 ÷ 4 - 1) = 24

12 1 6 9 12 ÷ (9 ÷ 6 - 1) = 24

12 1 8 12 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1) = 24

12 2 2 5 12 ÷ (5 ÷ 2 - 2) = 24

12 2 4 10 12 ÷ (10 ÷ 4 - 2) = 24

12 2 3 7 12 ÷ (7 ÷ 2 - 3) = 24

12 2 4 9 12 ÷ (9 ÷ 2 - 4) = 24

12 2 5 11 12 ÷ (11 ÷ 2 - 5) = 24

12 2 6 13 12 ÷ (13 ÷ 2 - 6) = 24

可用2 ÷ = 24 的例子如下：

例如： 2 1 11 12 2 ÷ (1 - 11 ÷ 12) = 24

2 1 12 13 2 ÷ (13 ÷ 12 - 1) = 24

除了以上的分數式可計算出數24外，還有以下的分數式可用：

5 ⨯ 、 7 ⨯ 、 11 ⨯ 、 13 ⨯

9 ⨯ 、 9 ÷ 、 9 ⨯ 、 9 ⨯ 、

10 ⨯ 、 10 ÷ 、 10 ⨯ 、

例如： 1 5 5 5 5 ⨯ (5 - 1 ÷ 5) = 24

4 9 9 12 9 ⨯ (4 - 12 ÷ 9) = 24

1 7 10 12 10 ÷ (1 - 7 ÷ 12) = 24

2 4 10 10 10 ⨯ (2 + 4 ÷ 10) = 24

1 11 13 13 13 ⨯ (1 + 11 ÷ 13) = 24

2 2 13 13 13 ⨯ (2 - 2 ÷ 13) = 24

練習十：(以下題目必須用分數式作答)

1. 1 4 6 7 = 24

2. 3 3 8 8 = 24

3. 2 4 6 9 = 24

4. 1 5 7 10 = 24

5. 1 8 9 11 = 24

6. 2 5 11 12 = 24

7. 1 2 12 13 = 24

8. 1 3 6 12 = 24

9. 2 8 9 13 = 24

10. 2 6 12 13 = 24

IV. 單數的思考方法

有些同學在計算24點時害怕單數的出現，特別怕碰到單數多及單數

大的情況。因此，我們也不妨談談單數的思考方法，也許你就不會那

麼怕了。在介紹單數的計算方法之前，先看看四則運算的性質：

(1) 單數 + 單數 = 雙數 (5) 單數 + 雙數 = 單數

(2) 單數 - 單數 = 雙數 (6) 單數 - 雙數 = 單數

(3) 單數 ⨯ 單數 = 單數 (7) 單數 ⨯ 雙數 = 雙數

(4) 單數 ÷ 單數 = 單數 (8) 雙數 ÷ 單數 = 雙數 (如可整除)

(9) 雙數 ÷ 雙數 = 單數

A. 一個單數的思考方法

1. 一個單數和三個雙數的組合必然有1、2、3、4、6、8或12的數

字出現，所以可考慮先採用3 ⨯ 8、4 ⨯ 6、2 ⨯ 12的基本方法或1

的活用法求解。

例如： 3 4 6 6 (6 + 6 - 4) ⨯ 3 = 24

2 4 6 9 (9 - 6) ⨯ 2 ⨯ 4 = 24

5 6 8 10 6 ⨯ 5 ÷ 10 ⨯ 8 = 24

4 7 10 12 (10 - 7) ⨯ (12 - 4) = 24

2. 如以上的方法不能使用時，可考慮在第三步之前將單數處理掉，

使最後兩數都是雙數，才作求解。

例如： 2 2 9 10 (9 - 2) ⨯ 2 + 10 = 24

6 7 10 10 (10 - 7) ⨯ 10 - 6 = 24

2 2 10 13 2 ÷ 2 + 13 + 10 = 24

2 10 10 9 10 ÷ 2 + 9 + 10 = 24

2 2 5 10 (10 ⨯ 5 - 2) ÷ 2 = 24

3. 有時也可將該單數留在第三步才處理，而求解時往往需要使用除

法計算；但該些組合出現的次數極少。

例如： 2 10 12 13 (10 + 12) ÷ 2 + 13 = 24

3 8 8 10 (10 ⨯ 8 - 8) ÷ 3 = 24

B. 兩個單數的思考方法

1. 兩個單數和兩個雙數的組合也必然有1、2、3、4、6、8或12的

數字出現，所以可考慮先採用3 ⨯ 8、4 ⨯ 6、2 ⨯ 12的基本方法或

1的活用法求解。

例如： 5 6 8 9 (9 + 6) ÷ 5 ⨯ 8 = 24

3 9 10 10 (9 - 10 ÷ 10) ⨯ 3 = 24

2. 可通過兩個單數之間的相加或相減變成雙數，才作求解。

例如： 4 4 5 13 13 - 5 + 4 ⨯ 4 = 24

2 6 7 13 (13 - 7) ⨯ (6 - 2) = 24

3. 當兩個單數之間可以相除的話，也不妨一除。

例如： 2 3 6 9 9 ÷ 3 ⨯ (2 + 6) = 24

4 6 11 11 4 ⨯ 6 ⨯ 11 ÷ 11 = 24

4. 亦可分成兩組，每組各有單數和雙數，通過「單數 ⨯ 雙數」或

「雙數 ÷ 單數」，變成兩個雙數後，才作求解。

例如： 5 7 12 12 7 ⨯ 12 - 5 ⨯ 12 = 24

2 5 10 13 2 ⨯ 13 - 10 ÷ 5 = 24

6 9 10 11 9 ⨯ 10 - 6 ⨯ 11 = 24

5. 「單數 ⨯ 單數」的形式不宜採用，因為相乘後仍是單數，且數目

偏大，與其他兩個雙數配合時很難解題，但也有例外。

例如： 5 5 10 10 5 ⨯ 5 - 10 ÷ 10 = 24

3 4 9 12 3 ⨯ 9 - 12 ÷ 4 = 24

6. 有時也可保留一個單數在第三步才計算。

例如： 6 9 9 10 10 ⨯ 9 ÷ 6 + 9 = 24

5 10 10 11 (11 ⨯ 10 + 10) ÷ 5 = 24

C. 三個單數的思考方法

1. 在沒有解的組合中，大多屬於三個單數或四個單數的組合。

例如： 5 5 5 8 沒有解

6 7 7 9 沒有解

7 7 9 9 沒有解

2. 可看成一個雙數。

例如： 3 3 5 6 (3 + 3) ⨯ 5 - 6 = 24

3 9 9 4 (9 + 9) ÷ 3 ⨯ 4 = 24

1 7 7 2 (7 ⨯ 7 - 1) ÷ 2 = 24

3. 也可保留一個單數在第三步才計算。

例如： 3 5 9 8 (8 - 5) ⨯ 9 - 3 = 24

5 7 9 10 (10 - 7) ⨯ 5 + 9 = 24

1 4 7 11 (4 + 1) ⨯ 7 - 11 = 24

練習十一：

1. 2 4 4 5 = 24

2. 2 5 6 6 = 24

3. 2 4 8 11 = 24

4. 4 7 9 10 = 24

5. 2 3 11 12 = 24

6. 2 2 7 13 = 24

7. 3 3 7 8 = 24

8. 5 8 11 13 = 24

9. 7 8 9 13 = 24

10. 9 9 10 13 = 24

「合廿四」數學遊戲研習課程(II)

*** 題 解 ***

練習八：

1. 1 2 3 4 4 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ 1， (3 + 2 + 1) ⨯ 4 = 24

2. 1 2 5 9 (9 - 1) ⨯ (5 - 2) = 24

3. 1 2 2 7 (7 - 1) ⨯ (2 + 2) = 24

4. 1 1 5 5 5 ⨯ 5 - 1 ÷ 1 = 24

5. 1 7 7 9 1 + 7 + 7 + 9 = 24

6. 1 1 3 10 (10 - 1 - 1) ⨯ 3 = 24

7. 1 5 10 12 10 ÷ 5 ⨯ 12 ⨯ 1，10 ÷ 5 ⨯ 12 ÷ 1 = 24

8. 1 2 2 13 13 ⨯ 2 - 1 ⨯ 2， 13 ⨯ 2 ⨯ 1 - 2 = 24

9. 1 9 10 13 (13 - 10) ⨯ (9 - 1) = 24

10. 1 5 7 11

(7 - 5) ⨯ (11 + 1) = 24 (11 - 7) ⨯ (5 + 1) = 24

1+ 5 + 7 + 11 = 24 (5 ⨯ 7 - 11) ⨯ 1 = 24

(5 ⨯ 7 - 11) ÷ 1 = 24 5 ⨯ 7 - 11 ⨯ 1 = 24

5 ⨯ 7 - 11 ÷ 1 = 24 5 ⨯ 7 ⨯ 1 - 11 = 24

5 ⨯ 7 ÷ 1 - 11 = 24

練習九：

1. 2 5 6 9 6 ÷ 2 ⨯ 5 + 9 = 24

2. 1 5 7 10 5 ⨯ 7 - 1 - 10 = 24

3. 5 7 7 10 (7 - 5) ⨯ 7 + 10 = 24

4. 4 7 9 11 (9 - 4) ⨯ 7 - 11 = 24

5. 8 9 11 11 (11 - 8) ⨯ 11 - 9 = 24

6. 1 2 7 7 (7 ⨯ 7 - 1) ÷ 2 = 24

7. 5 7 9 10 (10 - 7) ⨯ 5 + 9 = 24

8. 6 7 7 11 6 ⨯ 7 - 7 - 11 = 24

9. 5 10 10 11 (11 ⨯ 10 + 10) ÷ 5 = 24

10. 4 4 10 10 (10 ⨯ 10 - 4) ÷ 4 = 24

練習十：(以下題目必須用分數式作答)

1. 1 4 6 7 4 ÷ (7 ÷ 6 - 1) = 24

2. 3 3 8 8 8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24

3. 2 4 6 9 6 ÷ (9 ÷ 4 - 2) = 24

4. 1 5 7 10 10 ⨯ (1 + 7 ÷ 5) = 24

5. 1 8 9 11 9 ÷ (11 ÷ 8 - 1) = 24

6. 2 5 11 12 12 ÷ (11 ÷ 2 - 5) = 24

7. 1 2 12 13 2 ÷ (13 ÷ 12 - 1) = 24

8. 1 3 6 12 12 ÷ (1 - 3 ÷ 6) = 24

9. 2 8 9 13 9 ÷ (2 - 13 ÷ 8) = 24

10. 2 6 12 13 12 ÷ (13 ÷ 2 - 6) = 24

練習十一：

1. 2 4 4 5 (5 - 2) ⨯ (4 + 4) = 24

2. 2 5 6 6 (5 - 2) ⨯ 6 + 6 = 24

3. 2 6 10 11 6 ÷ 2 + 11 + 10 = 24

4. 5 5 8 10 (10 + 5) ÷ 5 ⨯ 8 ， (5 - 10 ÷ 5) ⨯ 8 = 24

5. 2 3 11 12 11 + 3 - 2 + 12 = 24

6. 2 2 7 13 (13 - 7) ⨯ 2 ⨯ 2，2 ⨯ 2 + 7 + 13 = 24

7. 3 3 7 8 3 ⨯ 3 + 7 + 8 = 24

8. 5 8 11 13 (11 + 5 - 13) ⨯ 8，(11 - 8) ⨯ (13 - 5) = 24

9. 7 8 9 13 (9 + 7 - 13) ⨯ 8 = 24

10. 9 9 10 13 9 ÷ 9 + 13 + 10 = 24

*** 題解完 ***

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/63e8b812b5360b4c2e3f5727a5e9856a5612267b.html